精品解析：2025年广东省中考数学学业水平考试训练（二）

2025年广东省中考学数学业水平考试训练（二） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A. B. C. D. 3. 随着我国科技迅猛发展，中国在芯片制造技术领域取得了显著的进步，成功自研出达到5纳米（）工艺制造技术的手机芯片．已知，将数据0.000000005用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如下图所示，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为-1，点B的横坐标为3．则时，与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 8. 如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形纸片中，点是的中点，且，的垂直平分线恰好过点，则矩形的一边的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直线翻折至，与反比例函数的图象交于点．若，为的中点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：x2﹣49=________． 12. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 13. 关于x的不等式组的解集是___________． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为______． 15. 如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（共3题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 18. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗 文化知识竞赛 ”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20 名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用 x 表示，共分为四组：A.，B.，C.，D．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 m 86 九年级 86.6 88.5 n 八年级抽取的竞赛成绩在 B 组中的数据为：89 ，88 ，86 ，86 ，86 ，86． 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99 ，98 ，96 ，96 ，94 ，92 ，92 ，90 ，90 ，89 ，88 ，88 ，88 ，82， 81 ，77 ，77 ，76 ，73 ，66． 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空： ， ，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）规定在 90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有 1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 20. 近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称）开发的大模型在全球范围内掀起了一股热潮．据悉，训练一个AI模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟．假设总数据量为条（），训练时间为分钟． （1）求关于的函数关系式； （2）若训练的总时间为45分钟，求使用的数据总量． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）点是轴上一动点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图像于点，连接，若的面积为15，求线段的长度． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在矩形中，，连接，点关于的对称点为点，连接、、、，与交于点．以点为圆心，为半径作圆． （1）如图1，当点在上时，求证：； （2）如图2，当点在上时，求的值； （3）如图3，、分别交于点、，请探究与的数量关系，并证明． 23. 【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省中考学数学业水平考试训练（二） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是实数的相反数，仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，熟记相反数的定义可得答案． 【详解】解：的相反数是； 故选：B． 2. 下列几何体中，主视图是三角形的为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别判断出各选项中的几何体的主视图，即可得出答案. 【详解】解：A、圆锥的主视图是三角形，故本选项符合题意； B、球的主视图是圆，故本选项不符合题意； C、长方体的主视图是长方形，故本选项不符合题意； D、三棱柱的主视图是长方形，故本选项不符合题意； 故选：A. 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟知常见几何体的主视图是解本题的关键. 3. 随着我国科技迅猛发展，中国在芯片制造技术领域取得了显著的进步，成功自研出达到5纳米（）工艺制造技术的手机芯片．已知，将数据0.000000005用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】A.根据单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； B.根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可； C.先判断，是不是同类项，能否合并，然后判断即可； D.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可． 本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则、同底数幂乘除法则、积的乘方和幂的乘方法则． 【详解】解：，此选项的计算正确，故此选项符合题意； B.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C.，不是同类项，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：． 5. 如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键要明确：树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，画树状图，共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：将开关依次编号为， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能发光的结果有4种， 使得小灯泡能发光的概率为， 故选：C． 6. 制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的应用，解答本题的关键是明确弧长计算公式．直接利用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵半径，圆心角， ∴这段弯管中的长为， 故选：A． 7. 如下图所示，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为-1，点B的横坐标为3．则时，与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可知当时，，即可判定当x=1时，与的大小关系． 【详解】解：由图象可知：当时，， 当x=1时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用一次函数与反比例函数的交点比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 8. 如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系．根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故选：C． 9. 如图，矩形纸片中，点是的中点，且，的垂直平分线恰好过点，则矩形的一边的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接CE，根据矩形的性质，线段垂直平分线的性质，得AD=BC=CE=2AE=2， 在直角三角形CDE中，实施勾股定理求解即可． 【详解】连接CE，∵四边形ABCD是矩形，点是的中点，且， ∴AD=BC=CE=2AE=2，∠CDE=90°，AB=CD，DE=1， ∵的垂直平分线恰好过点， ∴CE=BC=2， 在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得CD==， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，灵活运用线段垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，将等腰沿直线翻折至，与反比例函数的图象交于点．若，为的中点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，折叠性质，解直角三角形，反比例函数的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 过点作轴于点，由等腰三角形的性质可得，，由折叠性质可知：，从而可证明三点共线，设，则，，所以，，再求出，代入，得出的值即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，， 由折叠性质可知：， ∴，， ∴， ∴三点共线， 设， ∴，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点在的图象， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴， 故选：． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：x2﹣49=________． 【答案】（x﹣7）（x+7） 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式．根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解） 【详解】解：可以直接用平方差分解为：﹣49=（x﹣7）（x+7）． 故答案为：（x﹣7）（x+7） 12. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 13. 关于x的不等式组的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接解不等式组即可． 【详解】解：由，得， 由，得， ∴不等式组的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 14. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 15. 如图，为半圆的直径，且，半圆绕点B顺时针旋转，点A旋转到的位置，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积的计算，根据“阴影部分的面积扇形的面积以为直径的半圆的面积 以为直径的半圆的面积扇形的面积”即可求解． 【详解】解： ． 故答案为． 三、解答题（共3题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】（1） 如下直线l即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求． （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接如下图： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 18. 为促进中学生对传统年俗文化知识的了解，重庆某中学在八年级和九年级开展了“传统年俗 文化知识竞赛 ”，并从八年级和九年级的学生中分别随机抽取了20 名学生的竞赛成绩（百分制），通过收集、整理、描述和分析（得分用 x 表示，共分为四组：A.，B.，C.，D．），得到如下不完全的信息： 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 86.6 m 86 九年级 86.6 88.5 n 八年级抽取的竞赛成绩在 B 组中的数据为：89 ，88 ，86 ，86 ，86 ，86． 九年级抽取的所有学生竞赛成绩数据为：99 ，98 ，96 ，96 ，94 ，92 ，92 ，90 ，90 ，89 ，88 ，88 ，88 ，82， 81 ，77 ，77 ，76 ，73 ，66． 请根据以上信息完成下列问题： （1）填空： ， ，并补全八年级的成绩条形统计图； （2）规定在 90分及其以上的为优秀等级，该校八年级和九年级参加知识竞赛的学生共有 1600名，请你估计八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有多少人？ 【答案】（1）87，88； 补全八年级的成绩条形统计图如图： （2）八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 680 人 【解析】 【分析】此题考查条形统计图，求中位数，众数， （1）根据中位数和众数定义解答，求出D组人数并补充条形统计图； （2）用优秀人数除以样本数据，再乘以总人数即可 【小问1详解】 解：根据条形统计图和 B 组数据可知，第 10 个数为 88 ，第 11 个数为 86， ∴八年级的中位数为 ∴； 由九年级取的所有学生竞赛成绩数据可知，出现最多的数据为88， ∴九年级的众数为 88， ∴． 故答案为：87 ，88； ∵八年级抽查的学生人数为 20 人， ∴（人）， ∴D 组人数为 2 人， 略； 【小问2详解】 解： （人） 答：八年级和九年级参加此次知识竞赛的学生中获得优秀等级的共有 680 人． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 图1是一盏台灯的照片，图2是其示意图．台灯底部立柱（与桌面垂直）的高为，支架长为，支架长为．若支架，的夹角为，支架与底部立柱的夹角为，求台灯的旋钮A到桌面的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，可得是矩形，即得，，得到，，，再分别解、，求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，分别过点、作直线的垂线、，垂足分别为点，则， ∵， ∴， ∴是矩形， ，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∵， ， 在中，， ， ， 答：台灯的旋钮到桌面的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解题关键是通过作垂直构造直角三角形求解． 20. 近期，由杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司（简称）开发的大模型在全球范围内掀起了一股热潮．据悉，训练一个AI模型时，初始数据量为2000条，每增加100条数据，训练时间延长3分钟．假设总数据量为条（），训练时间为分钟． （1）求关于的函数关系式； （2）若训练的总时间为45分钟，求使用的数据总量． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是列出函数关系式． （1）根据每增加100条数据，训练时间延长3分钟求出关于的函数关系式即可； （2）将代入表达式求解即可． 【小问1详解】 根据题意得，； 【小问2详解】 当时，， 解得． ∴若训练的总时间为45分钟，使用的数据总量为3500条． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图像交于点． （1）求一次函数的表达式； （2）点是轴上一动点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交两函数图像于点，连接，若的面积为15，求线段的长度． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题主要查了一次函数的图像和性质，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． （1）点代入，可得点C的坐标，再把点B，C得坐标代入，即可求解； （2）设点P的坐标为，则，可得点D的坐标为，点E的坐标为，从而得到，然后根据的面积为15，列出关于m的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设点P的坐标为，则， ∵轴于点P， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∵的面积为15，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图，在矩形中，，连接，点关于的对称点为点，连接、、、，与交于点．以点为圆心，为半径作圆． （1）如图1，当点在上时，求证：； （2）如图2，当点在上时，求的值； （3）如图3，、分别交于点、，请探究与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵点、关于对称， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 在与中， ∴； （2） （3）， 证明如下： 连接，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵点、关于对称， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据矩形、轴对称及圆的性质证明，，进而可证得； （2）根据矩形、轴对称得，则，进而可知，连接，可知，则，再证，由，得，，结合，，得，可知，进而得，即可求解； （3）连接，交于点，由矩形的性质得，，，可知，由轴对称可知，，，再证，得，可知，再证是的中位线，得，可知，得，进而可知，得，即可证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点、关于对称， ∴， ∴， ， ∴，则， ，， ∴， 连接， ∵点在上， ∴，则， ， ∴， ∵， ∴， ， ∵，则， ， 则， ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识点，掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 23. 【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）证明：设，则， ∵轴， ∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得：得， ∴， ∴， ∴， ∴将代入中得出， ∴函数的图象必经过点C； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解； （2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解； （3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围． 【详解】（1）略 （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H， ∵, ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $