8.6.3平面与平面垂直（第2课时 性质定理）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3 平面与平面垂直(2) 第八章 立体几何初步 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. ③ 二面角 -l- 或 二面角P-l-Q . 记法: ① 二面角 -AB- . ② 二面角P-AB-Q . 1、二面角 棱 面 面 复习回顾 O C D 2、二面角的平面角 0 ≤ ≤180 平面 与 所成的二面角是直二面角,记作 ⊥ . 3、平面与平面垂直 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直. a 证明关键:找垂直于平面的线 4. 平面与平面垂直的判定定理 图形语言: 符号语言: 线面垂直 面面垂直 判定 复习回顾 思考1:黑板所在的平面与地面所在的平面垂直,你能否 在黑板上画一条直线与地面垂直? 思考探究 垂直于交线 a b 思考2:如图, ⊥ , ∩ =a (1) 内的任意一条直线b与a有什么位置关系? (2) 相应地,b与 有什么位置关系? (3) 什么情况下 里的直线b和 垂直? 思考探究 b 平行 或相交 平行 或相交 b⊥a a 已知:如图, ⊥ , ∩ =a,b⊂ ,b⊥a. 求证:b⊥ . 思考探究 b A c 又由题意知b⊥a,且a∩c=A ∴b⊥ 则b和c所成角就是二面角 -a- 的平面角. ∵ ⊥ ∴b⊥c. 证明: 设b∩a=A 过点A在平面 内作c⊥a. 定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于 这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直. a b 1. 平面与平面垂直的性质定理 图形语言: 符号语言: 线面垂直 面面垂直 性质 相交 平面内 线线⊥ 面面⊥ 设平面 ⊥平面 ,点P在平面 内,过点P作平面 的 垂线a,直线a与平面 具有什么位置关系? 如图,∵ ⊥ ,设 ∩ =c, 过点P在 内作直线b⊥c, ∴ b⊥ . ∵过一点有且只有一条直线与 垂直,∴直线a与直线b重合, ∴ a . a 思考探究 c b .P 对于两个平面互相垂直的性质,我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内,或者把直线换成平面,你又能得到哪些结论? 思考探究 a 思考探究 a 例9 如图,已知平面平面,直线 判断与的位置关系. 解:在内作垂直于与交线的直线. ∵,∴. 又,∴, 又,∴. 即直线与平面平行. b 例10 如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC. 求证:BC⊥平面PAB. E 证明:过点A作AD⊥PB,垂足为E. ∵平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平PBC=PB,AE⊂平面PAB ∴AD⊥平面PBC. ∵BC 平面PBC, ∴BC⊥AD. ∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC, ∴BC⊥PA. 又PA∩AD=A,PA、AD 平面PAB ∴BC⊥平面PAB. 例题分析 从本节的讨论可以看到: ① 由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直; 由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直; ② 由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直; 由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直. 面面垂直 判定 性质 线线垂直 线面垂直 判定 定义 归纳总结 P A G B D C 课堂练习 练P159: 如图,是四边形所在平面外的一点,四边形 是边长为的菱形,且为的中点. 为正三角形,其所在平面垂直于底面. 求证:(1)平面; (2). 证明:如图,在菱形中,连接. 由已知,∴为正三角形. ∵为的中点,∴ ∵平面平面,平面, 且平面平面, ∴平面. P A G B D C 课堂练习 练P159: 如图,是四边形所在平面外的一点,四边形是边长为的菱形,且为的中点. 为正三角形,其所在平面垂直于底面. 求证:(1)平面; (2). 1. 判断下列命题是否正确,正确的在括号内画 “√”, 错误的画 “ ”. (1) 如果 ⊥ ,那么 内所有直线都垂直于 . (2) 如果 ⊥ ,那么 内一定存在直线平行于 . (3) 如果 不垂直于 ,那么 内一定不存在直线垂直于 . 课堂练习 (1) (2) √ (3) √ 2.若 ⊥ ,且 ∩ =l,则下列命题中正确的个数是( ) (1)平面 内的直线必垂直于平面 内的任意一条直线. (2)平面 内的已知直线必垂直于平面 内的无数条直线. (3)平面 内的任一条直线必垂直于平面 . (4)过平面 内任意一点作交线l的垂线,则此垂线必垂直于平面 . (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 课堂练习 C 3. 已知 , 是两个不同的平面,m为平面 内的一条直线,则 “ ⊥ ”是“m⊥ ”的( ). (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 课堂练习 B 4. 已知平面 , ,直线a,且 ⊥ , ∩ =AB,a// ,a⊥AB, 判断直线a与平面 的位置关系,并说明理由. 课堂练习 a A B b 定理 两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于 这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直. a b 平面与平面垂直的性质定理 图形语言: 符号语言: 相交 平面内 线线⊥ 面面⊥ 课堂小结 1. 如图,四棱锥V ABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面 ABCD,又VB⊥平面VAD.求证:平面VBC⊥平面VAC. 巩固提升 $$