9.2库仑定律 导学案 -2024-2025学年高二上学期物理人教版（2019）必修第三册

第九章 静电场及其应用 第2节 库仑定律（原卷版） 学习目标 1. 通过库仑定律的探究过程，体会实验与类比在定律的建立过程中发挥的重要作用．体会库仑扭秤实验的设计思路与实验方法。 2. 知道点电荷模型，理解库仑定律的内涵与适用条件。 3. 会应用库仑定律计算点电荷间的静电力，会利用力的合成的知识解决多个电荷间的相互作用问题。 课堂学习 一 库仑定律 【课堂探究】 1.带正电的带电体 C 置于铁架台旁，把系在丝线上质量为m，带正电的小球先后挂在 P1、P2、P3 等位置。 （1） 本实验如何计算电荷之间相互作用力的大小？ （2） 带正电的小球先后挂在 P1、P2、P3 等位置，随着距离的变远，小球之间的作用力如何变化？ （3） 在距离不变的情况下，若增加或减少小球C带的电荷量，则小球之间的作用力如何变化？ （4） 为了探究电荷之间的作用力，我们使用了什么方法？得到了什么结论？ （5）电荷之间的作用力和我们之前学习过的那个力特别相似呢？ 2.库仑通过扭秤实验提出来库仑定律，观看库仑扭秤实验动画演示(装置如图所示)，思考并解决以下问题： (1) 要定量研究力F与q1、q2及r之间的关系，采用何种研究方法？ (2) 如何测力F的？ (3) 如何测电荷量q1、q2的？ (4) 如何测r的？ (5) 由实验可知电荷间的作用力与电荷间距离和电荷量之间有什么定量关系？ 【知识梳理】 1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。这种电荷之间的力叫库仑力或静电力。 2．表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N· m2/C2，叫作静电力常量。 3．适用条件：真空中的静止点电荷。 (1)在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。 (2)当两个带电体间的距离远大于其本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。 4．库仑力的方向 由相互作用的两个带电体决定，即同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。 5.点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小以及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。点电荷是理想化模型。 【课堂探究】 3.现有两个带同种电荷的半径为R，质量为m，电荷量大小为q的两个小球，它们球心之间的距离为l （1） 请问万有引力F=吗？ （2） 请问库仑力F=吗？ （3） 若两个小球带同种电荷呢？ 二 库仑定律的应用 【知识梳理】 1．两点电荷间的库仑力与周围是否存在其他电荷无关。 2．两个或两个以上点电荷对某一点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。 3．静电力的合成与分解满足平行四边形定则，如图所示。 4．库仑力作用下的平衡问题 (1)分析静电力作用下点电荷平衡问题的步骤 ①确定研究对象。如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。 ②对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝k)。 ③建立坐标系。 ④根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0。 ⑤求解方程。 5．库仑力作用下的非平衡问题 分析库仑力作用下的带电体的非平衡问题，其方法与分析力学问题的方法相同，首先分析带电体受到的所有作用力，再依据牛顿第二定律F合＝ma进行求解。对相互作用的系统，要注意灵活使用整体法与隔离法，并首先选用守恒的观点从能量的角度分析。 【课堂探究】 1.现有三带电小球A、B、C放在光滑的水平地面上，三个小球都保持静止。 （1） 请问A小球带什么电荷？ （2） 是比较q1和q2的大小 （3） 若小球A电荷量为q3且q3>q2,是比较AB和AC的大小 典型例题 考点一：库仑力的简单计算 （2025·湖南郴州·模拟预测）两个分别带有电荷量+Q和+3Q的相同金属小球（均可视为点电荷）固定在间距为r的两处，它们之间库仑力的大小为F，现将两球接触后再放回原处，则两球间库仑力的大小变为（　　）例1 A． B． C．F D． （23-24高一下·贵州六盘水·期末）如图，三角形ABC为等边三角形，边长，将三个点电荷分别固定在A、B、C点，，，，已知静电力常量。求：变1-1 （1）对的库仑力大小； （2）受到的库仑力。 （24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图所示，在直角三角形ABC的顶点A、B分别固定有点电荷Q1、Q2，现将一试探电荷q固定于顶点C，测得q所受电场力与AB边垂直。已知，则（　　）变1-2 A．= B．= C．= D．= （多选）（24-25高二上·广东东莞·期末）夸克模型是一种粒子物理学上的分类方案，在1964年由默里·盖尔曼和乔治·茨威格分别独立提出，并已成为标准模型的一部分。根据夸克模型，中子内有一个上夸克和两个下夸克，质子内有两个上夸克和一个下夸克，上夸克带电量为，下夸克带电量为，现将中子和质子的夸克模型简化为三个夸克都在半径为的同一圆周上，如图所示。下面给出的四幅图中，能正确表示出各夸克所受静电作用力的是（　　）变1-3    A．   B．   C．   D．   考点二：非点电荷库仑力计算 （19-20高二上·北京·期末）如图所示，两个带电金属球半径为r，中心距离为4r，所带电荷量大小相等均为Q。结合库仑定律适用条件，关于它们之间电荷的相互作用力大小F，下列说法正确的是（  ）例2 A．若带同种电荷， B．若带异种电荷， C．若带同种电荷， D．无论何种电荷， （20-21高一下·山东日照·期末）如图所示，A为点电荷，电荷量为，B为一个固定的金属带电球壳，半径为R，电荷量为，点电荷A在P点时所受库仑力为F1，若将点电荷A移到带电球壳B的球心O点，点电荷A所受库仑力为F2，P点与O点的距离为r，且，则（　　）变2-1 A． B． C． D． （2025·河南·一模）如图所示，空间中有一均匀带正电的绝缘球壳，P、Q为竖直直径延长线上的两点，且，为水平直径。在P点放置一质量为、电荷量为（且q极小）的小球甲，小球甲恰能静止；移走小球甲，并截除半球壳（不影响半球壳的电荷分布），在Q点放置质量为、电荷量为的小球乙，小球乙也恰能静止。重力加速度为g，则半球壳对小球甲的作用力大小为（　　）变2-2    A． B． C． D． （24-25高二上·黑龙江·期中）如图所示，竖直面内固定一均匀带电圆环A，所带电荷量为Q，圆环A的轴线（过圆心且垂直于圆环平面）上距离圆心为r处有一质量为m、电荷量为q的小球，小球用绝缘细线悬挂于O点，静止时小球与O点连线与竖直方向的夹角为θ，小球与圆环连线与轴线的夹角为α，静电力常量为k，重力加速度为g，则小球与圆环之间的库仑力大小为（　　）变2-3 A．k B．kcos2α C．mgtanθ D．mgcosθ 考点三：库仑力作用下静态平衡问题 （24-25高二上·浙江温州·期中）如图所示，带电荷量为q的金属椭圆形球A置于绝缘支架上，一质量为m、带电荷量为的小球B（可视为质点）用长为L的绝缘轻绳悬挂在架子上。静止时轻绳与竖直方向的夹角为，椭圆形球A的中心与小球B在同一水平线上且相距为d，下列说法正确的是（　　）例3 A．椭圆形球A、小球B带异种电荷 B．椭圆形球A在小球B处产生的电场强度大小为 C．剪断轻绳后，小球B的运动轨迹是抛物线的一部分 D．若A的电荷量逐渐减少为0，则该过程电场力对B做的功为 （多选）（2024·福建漳州·三模）如图，在倾角为α（小于）的光滑绝缘斜面上固定一挡板，一根与斜面平行的绝缘轻质弹簧一端固定在挡板上，另一端与均匀带电小球A连接，等大的均匀带电小球B置于图示位置。静止时A、B两球间的距离为L，弹簧长度为x。下列说法正确的是（    ）变3-1 A．A球共受到3个力的作用 B．斜面对B球的支持力大于B球所受库仑力 C．若A球电荷量加倍，适当调整B球位置，平衡时弹簧长度仍为x D．若A球电荷量加倍，适当调整B球位置，平衡时A、B两球间的距离为 （23-24高一下·江苏无锡·期中）如图所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在斜面底端竖直放置的10cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘倾角为30°的斜面上且恰与A 等高，若B的质量为，g取10m/s2。求：例4 (1)AB之间库仑力大小； (2)B所带电荷量q。 （2025·河北·一模）如图所示质量为3m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为Q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上。其中O点与小球A的间距为l。O点与小球 B的间距为，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角，带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，则（　　）变4-1    A．A、B间库仑力大小 B．A、B间库仑力 C．小球B的带电量为 D．细线拉力大小 （24-25高二上·安徽蚌埠·期中）如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量均为m的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：变4-2 (1)P与Q间的库仑斥力F； (2)P与M间的动摩擦因数最小值。 （24-25高二上·云南红河·期末）如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球（可视为质点），用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时处于同一水平高度且间距为L，细线与竖直方向的夹角分别为。若小球a质量为m、所带电荷量为q，重力加速度为g，静电力常量为k。则小球b（    ）例5 A．质量为 B．质量为 C．所带电荷量为 D．所带电荷量为 （多选）（23-24高二上·浙江金华·期末）如图所示为一竖直面内半径为R的光滑绝缘圆弧轨道，两带电小球A、B（小球半径远小于R）在轨道上保持静止，带电量分别为q和3q，电性未知，两小球和圆心的连线与竖直方向分别成37°和53°，静电力常量为k，则（　　）变5-1 A．A、B两小球带异种电荷 B．A、B两球质量之比为 C．A球质量为 D．仅把A、B的带电量互换，两小球仍在原位置静止 （多选）（2022高三·全国·专题练习）如图所示，一条光滑绝缘柔软轻绳跨过一定滑轮，轻绳两端连接质量分别为m1、m2的两个带同种电荷的小球，稳定时，两侧轻绳的长度分别为l1、l2，且l1>l2，与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，现缓慢减少小球m1的电荷量到一定值，系统重新稳定，两侧轻绳的长度分别变为l1′、l2′，与竖直方向的夹角分别变为θ1′、θ2′，关于稳定时的情景，下列说法正确的是（　　）变5-2 A．θ1′<θ2′ B．θ1′＝θ2′ C．l1′<l1 D．l1′＝l1 （24-25高二上·四川自贡·期末）如图所示，光滑绝缘的水平桌面上，放置着三个可视为点电荷的带电小球A、B和C，三个小球位于同一直线上，其中B和C固定，带电量分别为-q1和+q2，若未固定的小球A能保持静止，则下列说法正确的是（　　）例6 A．A可能带负电，q1<q2 B．A可能带正电，q1>q2 C．A一定带负电，q1=q2 D．A一定带正电，q1=q2 （24-25高二上·四川德阳·期末）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个可以自由移动的带电小球A、B、C（均可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，水平方向它们之间只有静电力相互作用，三球均处于静止状态，则以下判断正确的是（　　）变6-1 A．A、C两个小球可能带异种电荷 B．三个小球的电荷量大小可能为 C．摆放这三个小球时，可以先固定C球，摆放A、B使其能处于静止状态，再释放C球 D．A、B和B、C小球间的距离分别是、，则 （20-21高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，A、B、C为放置在光滑水平面上的三个带电小球（可视为点电荷），其中B与C之间用长为L的绝缘轻质细杆相连，现把A、B、C按一定的位置摆放，可使三个小球都保持静止状态。已知小球B的带电量为-q，小球C的带电量为+4q，则以下判断正确的是（　　）变6-2 A．小球A的带电量一定为+4q B．轻质细杆一定处于被拉伸状态 C．小球A与B之间的距离一定为L D．若将A向右平移一小段距离，释放后A一定向左运动 考点四：库仑力作用下动态平衡 （24-25高二上·安徽黄山·阶段练习）如图所示，可视为质点的两个带同种电荷的小球a和b，分别静止在竖直墙面和水平地面上，b球被光滑竖直板挡住，所有接触面均光滑，a球由于缓慢漏电而缓慢下降，在此过程中（　　）例7 A．地面对b的支持力变小 B．竖直挡板对b的支持力变小 C．a、b间的作用力变大 D．墙面对a的弹力变小 （24-25高二上·广东广州·期中）竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电荷，现用水平向左推力F作用于小球B，两球分别静止在竖直墙面和水平地面上，如图所示，如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较（   ）变7-1 A．竖直墙面对小球A的弹力变大 B．两小球之间的距离变小 C．地面对小球B的支持力不变 D．推力F变大 （多选）（24-25高二上·安徽黄山·期中）如图所示，带正电小球A放在倾角为的光滑绝缘倾斜轨道上，带正电物块B放在水平粗糙绝缘轨道上，B与轨道间的动摩擦因数，A、B均可视为点电荷，开始时均处于静止状态。现用水平向左外力使物块B缓慢向点靠近，下列关于此过程中A、B受力情况说法正确的是（　　）变7-2 A．A、B间的斥力逐渐增大 B．倾斜轨道对A的支持力逐渐减小 C．水平轨道对B的摩擦力逐渐增大 D．外力逐渐增大 （22-23高二上·河南·期中）如图所示，带电小球M固定在绝缘桌面上，带电小球N用绝缘丝线拴接在天花板上的点，点位于小球M的正上方。当小球N静止时，两小球到点的距离相等；当小球M、N之间的距离减半后，为仍使小球N静止，则下列说法正确的是（　　）例8 A．将小球N的质量变为原来的4倍 B．仅将小球M的电荷量变为原来的 C．同时将小球M、N的电荷量变为原来的 D．小球M的电荷量变为原来的，同时将小球N的质量增加为原来的2倍 （23-24高一下·湖南长沙·期末）如图所示，水平面上固定一个绝缘支杆，支杆上固定一带电小球A，小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下，小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使球B移动一小段距离。在此过程中，下列说法正确的是（　　）变8-1 A．B球运动轨迹是一段圆弧 B．球B受到的库仑力先减小后增大 C．球B所受的拉力做正功，库仑力做正功 D．细线中的拉力一直增大 考点五：非平衡问题 （23-24高一下·湖北省直辖县级单位·期中）如图所示，质量均为m、带等量异种电荷的A、B两个小球放在光滑绝缘的固定斜面上，给B球施加沿斜面向上、大小为（g为重力加速度）的拉力，结果A、B两球以相同的加速度向上做匀加速运动，且两球保持相对静止，两球间的距离为L，小球大小忽略不计，斜面的倾角，静电力常量为k。求∶例9 （1）两球一起向上做加速运动的加速度大小； （2）A球所带的电荷量。 （24-25高三上·辽宁丹东·期中）如图所示，光滑绝缘水平面上固定着A、B、C三个均可视为点电荷的带电小球，它们的质量均为m，彼此间的距离均为r，现对小球C施加一个水平恒力F，同时放开三个小球，三个小球在运动过程中保持间距r不变。已知小球C所带电荷量为，小球A、B带等量同种正电荷，静电力常量为k，求：变9-1 (1)小球A所带电荷量q； (2)恒力F的大小。 考点六：物理方法 （2025·江西景德镇·三模）下列对教材中的四副插图所包含物理思想方法的说法正确的是（　　）例10 A．图甲：类比法 B．图乙：控制变量法 C．图丙：等效替代法 D．图丁：理想实验方法 课后总结 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第九章 静电场及其应用 第2节 库仑定律（解析版） 学习目标 1. 通过库仑定律的探究过程，体会实验与类比在定律的建立过程中发挥的重要作用．体会库仑扭秤实验的设计思路与实验方法。 2. 知道点电荷模型，理解库仑定律的内涵与适用条件。 3. 会应用库仑定律计算点电荷间的静电力，会利用力的合成的知识解决多个电荷间的相互作用问题。 课堂学习 一 库仑定律 【课堂探究】 1.带正电的带电体 C 置于铁架台旁，把系在丝线上质量为m，带正电的小球先后挂在 P1、P2、P3 等位置。 （1） 本实验如何计算电荷之间相互作用力的大小？ 两个带正电的小球相互排斥，测出绳子与竖直方向上的角度为θ，通过受力分析，可知F=mgtanθ （2） 带正电的小球先后挂在 P1、P2、P3 等位置，随着距离的变远，小球之间的作用力如何变化？ 观察绳子与竖直方向的夹角，我们会发现θ越来越小，故作用力越来越小。 （3） 在距离不变的情况下，若增加或减少小球C带的电荷量，则小球之间的作用力如何变化？ 增加电荷量我们发现θ变大，则作用力变大，减少电荷量则θ减小，作用力减小。增加或减小悬挂小球的电荷量也可以得到同样的结果。 （4） 为了探究电荷之间的作用力，我们使用了什么方法？得到了什么结论？ 我们使用了控制变量法。我们会大小电荷量越大，距离越近，则作用力越大。 （5）电荷之间的作用力和我们之前学习过的那个力特别相似呢？ 与万有引力相似。 2.库仑通过扭秤实验提出来库仑定律，观看库仑扭秤实验动画演示(装置如图所示)，思考并解决以下问题： (1) 要定量研究力F与q1、q2及r之间的关系，采用何种研究方法？ 采取了控制变量法。 (2) 如何测力F的？ 通过扭称悬丝旋转的角度比较力的大小。 (3) 如何测电荷量q1、q2的？ 库仑在实验中为研究F与q的关系，采用的是用两个完全相同的金属小球，一个带电，一个不带电，互相接触后，电荷量平分的方法，发现F与q1和q2的乘积成正比。 (4) 如何测r的？ r为两个小球球心之间的距离，所以需要测定小球的半径和两个小球近端的距离。 (5) 由实验可知电荷间的作用力与电荷间距离和电荷量之间有什么定量关系？ 通过实验得出了两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。 【知识梳理】 1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。这种电荷之间的力叫库仑力或静电力。 2．表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N· m2/C2，叫作静电力常量。 3．适用条件：真空中的静止点电荷。 (1)在空气中，两个点电荷的作用力近似等于真空中的情况，可以直接应用公式。 (2)当两个带电体间的距离远大于其本身的大小时，可以把带电体看成点电荷。 4．库仑力的方向 由相互作用的两个带电体决定，即同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。 5.点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小以及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。点电荷是理想化模型。 【课堂探究】 3.现有两个带同种电荷的半径为R，质量为m，电荷量大小为q的两个小球，它们球心之间的距离为l （1） 请问万有引力F=吗？ 因为两个质量分布均匀的小球，应用万有引力公式计算时r等于两个球心之间的距离。 （2） 请问库仑力F=吗？ 不等于，因为同种电荷相互排斥，则电荷之间实际的距离比l大，故F<。 （3） 若两个小球带同种电荷呢？ 因为异种电荷相互吸引，则电荷之间实际的距离比l小，故F<。 二 库仑定律的应用 【知识梳理】 1．两点电荷间的库仑力与周围是否存在其他电荷无关。 2．两个或两个以上点电荷对某一点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。 3．静电力的合成与分解满足平行四边形定则，如图所示。 4．库仑力作用下的平衡问题 (1)分析静电力作用下点电荷平衡问题的步骤 ①确定研究对象。如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。 ②对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝k)。 ③建立坐标系。 ④根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0。 ⑤求解方程。 5．库仑力作用下的非平衡问题 分析库仑力作用下的带电体的非平衡问题，其方法与分析力学问题的方法相同，首先分析带电体受到的所有作用力，再依据牛顿第二定律F合＝ma进行求解。对相互作用的系统，要注意灵活使用整体法与隔离法，并首先选用守恒的观点从能量的角度分析。 【课堂探究】 1.现有三带电小球A、B、C放在光滑的水平地面上，三个小球都保持静止。 （1） 请问A小球带什么电荷？ 应该带正电荷，因为B小球保持平衡，则小球A应该吸引小球B，过球A带正电。（两同夹异） （2） 是比较q1和q2的大小 A所受的合力为0，则B对A的吸引力和C对A的排斥力应该相等，又因为AC>AB，根据(F＝k可知q2>q1。（两大夹小） （3） 若小球A电荷量为q3且q3>q2,是比较AB和AC的大小 小球B所受的合力为0，因为q3>q2，所以AB>BC。（近小远大） 典型例题 考点一：库仑力的简单计算 （2025·湖南郴州·模拟预测）两个分别带有电荷量+Q和+3Q的相同金属小球（均可视为点电荷）固定在间距为r的两处，它们之间库仑力的大小为F，现将两球接触后再放回原处，则两球间库仑力的大小变为（　　）例1 A． B． C．F D． 【答案】B 【知识点】库仑定律表达式和简单计算 【详解】根据库仑定律可得 接触后再分开，两球的电荷量均变为+2Q，所以 故选B。 （23-24高一下·贵州六盘水·期末）如图，三角形ABC为等边三角形，边长，将三个点电荷分别固定在A、B、C点，，，，已知静电力常量。求：变1-1 （1）对的库仑力大小； （2）受到的库仑力。 【答案】（1）0.9N；（2），方向垂直AB指向C 【知识点】库仑定律表达式和简单计算、多个点电荷间库仑力合成 【详解】（1）根据库仑定律，B受A的库仑力为 带入数据得 （2）根据库仑定律，A对C的库仑力为      带入数据得 方向由A指向C；B对C的库仑力与A对C的库仑力大小相等，方向由B指向C。所以C受A、B的合力为 得 方向垂直AB指向C。 （24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图所示，在直角三角形ABC的顶点A、B分别固定有点电荷Q1、Q2，现将一试探电荷q固定于顶点C，测得q所受电场力与AB边垂直。已知，则（　　）变1-2 A．= B．= C．= D．= 【答案】A 【知识点】多个点电荷间库仑力合成 【详解】根据电荷q受到的电场力方向，可以判断出点电荷、对q的电场力分别为和，如图 根据库仑定律，有 根据几何关系 可知 联立，可得 故选A。 （多选）（24-25高二上·广东东莞·期末）夸克模型是一种粒子物理学上的分类方案，在1964年由默里·盖尔曼和乔治·茨威格分别独立提出，并已成为标准模型的一部分。根据夸克模型，中子内有一个上夸克和两个下夸克，质子内有两个上夸克和一个下夸克，上夸克带电量为，下夸克带电量为，现将中子和质子的夸克模型简化为三个夸克都在半径为的同一圆周上，如图所示。下面给出的四幅图中，能正确表示出各夸克所受静电作用力的是（　　）变1-3    A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【知识点】库仑定律表达式和简单计算、多个点电荷间库仑力合成 【详解】AB．中子的三个夸克都在半径为r的同一圆周，形成了等边三角形，电荷量为的下夸克受到另一个电荷量为的下夸克的库仑斥力和电荷量为的上夸克库仑引力。 根据库仑定律得 根据力的合成得和的合力方向竖直向上，据对称性另一个下夸克受静电作用力的方向也是竖直向上，故A错误，B正确； CD．同上述分析，由力的合成可知质子中所受的静电力的合力向下，受的静电力合力斜向外，故D错误，C正确； 故选BC。 考点二：非点电荷库仑力计算 （19-20高二上·北京·期末）如图所示，两个带电金属球半径为r，中心距离为4r，所带电荷量大小相等均为Q。结合库仑定律适用条件，关于它们之间电荷的相互作用力大小F，下列说法正确的是（  ）例2 A．若带同种电荷， B．若带异种电荷， C．若带同种电荷， D．无论何种电荷， 【答案】C 【知识点】计算不能当做点电荷的带电球之间的作用力 【详解】AC．若是同种电荷，则相互排斥，电荷间距大于4r，因此库仑力： 故A错误，C正确； BD．若是异种电荷，则相互吸引，电荷间距小于4r，因此库仑力： 故B错误，D错误。 故选C。 （20-21高一下·山东日照·期末）如图所示，A为点电荷，电荷量为，B为一个固定的金属带电球壳，半径为R，电荷量为，点电荷A在P点时所受库仑力为F1，若将点电荷A移到带电球壳B的球心O点，点电荷A所受库仑力为F2，P点与O点的距离为r，且，则（　　）变2-1 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算不能当做点电荷的带电球之间的作用力 【详解】AB．由于P点与O点的距离r没有远大于金属带电球壳的半径R，导致金属带电球壳的电荷分布不均匀，靠近P点一侧电荷分布较多，所以有 故AB错误； CD．将点电荷A移到带电球壳B的球心时，根据对称性，球壳上各部分对该点电荷的库仑力的矢量和为零，故C错误、D正确。 故选D。 （2025·河南·一模）如图所示，空间中有一均匀带正电的绝缘球壳，P、Q为竖直直径延长线上的两点，且，为水平直径。在P点放置一质量为、电荷量为（且q极小）的小球甲，小球甲恰能静止；移走小球甲，并截除半球壳（不影响半球壳的电荷分布），在Q点放置质量为、电荷量为的小球乙，小球乙也恰能静止。重力加速度为g，则半球壳对小球甲的作用力大小为（　　）变2-2    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算不能当做点电荷的带电球之间的作用力 【详解】截除ABC前，设半球壳ABC对甲球的作用力大小为，ADC对甲球的作用力大小为，则 移走ABC后，根据位置关系可知，ADC对乙球的作用力大小与ABC对甲球的作用力大小相等，即 则 故选A。 （24-25高二上·黑龙江·期中）如图所示，竖直面内固定一均匀带电圆环A，所带电荷量为Q，圆环A的轴线（过圆心且垂直于圆环平面）上距离圆心为r处有一质量为m、电荷量为q的小球，小球用绝缘细线悬挂于O点，静止时小球与O点连线与竖直方向的夹角为θ，小球与圆环连线与轴线的夹角为α，静电力常量为k，重力加速度为g，则小球与圆环之间的库仑力大小为（　　）变2-3 A．k B．kcos2α C．mgtanθ D．mgcosθ 【答案】C 【知识点】计算不能当做点电荷的带电球之间的作用力、带电小球的平衡问题 【详解】A．因为带电圆环A距离带电小球较近，故不能将其看成点电荷，故不能使用库仑定律求小球受到的库仑力，故A错误； B．把圆环A分成无数小段，取环上任取一点，可看作点电荷Δq，Δq对小球的库仑力为 求出圆环上各点电荷对小球的库仑力的合力为 故B错误； CD．小球受到的重力竖直向下、静电力方向向右，小球的受力情况如图所示，由平衡条件得 故C正确，D错误。 故选C。 考点三：库仑力作用下静态平衡问题 （24-25高二上·浙江温州·期中）如图所示，带电荷量为q的金属椭圆形球A置于绝缘支架上，一质量为m、带电荷量为的小球B（可视为质点）用长为L的绝缘轻绳悬挂在架子上。静止时轻绳与竖直方向的夹角为，椭圆形球A的中心与小球B在同一水平线上且相距为d，下列说法正确的是（　　）例3 A．椭圆形球A、小球B带异种电荷 B．椭圆形球A在小球B处产生的电场强度大小为 C．剪断轻绳后，小球B的运动轨迹是抛物线的一部分 D．若A的电荷量逐渐减少为0，则该过程电场力对B做的功为 【答案】B 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】A．由图可知，B小球受到球A向右的斥力，所以两球带同种电荷，故A错误； B．小球B受力平衡，所以 则椭圆形球A在小球B处产生的电场强度大小为 故B正确； C．剪断轻绳后，小球B在水平方向和竖直方向上均做加速运动，其运动轨迹不会是抛物线的一部分，故C错误； D．若A的电荷量逐渐减小为0的过程中，对B，根据动能定理可得 则电场力对B做的功为 故D错误。 故选B。 （多选）（2024·福建漳州·三模）如图，在倾角为α（小于）的光滑绝缘斜面上固定一挡板，一根与斜面平行的绝缘轻质弹簧一端固定在挡板上，另一端与均匀带电小球A连接，等大的均匀带电小球B置于图示位置。静止时A、B两球间的距离为L，弹簧长度为x。下列说法正确的是（    ）变3-1 A．A球共受到3个力的作用 B．斜面对B球的支持力大于B球所受库仑力 C．若A球电荷量加倍，适当调整B球位置，平衡时弹簧长度仍为x D．若A球电荷量加倍，适当调整B球位置，平衡时A、B两球间的距离为 【答案】BC 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】A．A球受到重力、弹簧的弹力、斜面的支持力和B球的库仑斥力的作用，故A错误； B．B球受到重力、斜面的支持力和A球的库仑斥力F的作用，如图所示 可得 故斜面对B球的支持力 故B正确； C．以A、B两球整体为研究对象，由受力平衡知，弹簧对A球的弹力 与A、B两球所带电荷量均无关，若A球电荷量加倍，则平衡后弹簧长度仍为x，故C正确； D．由库仑定律知 可得 若A球电荷量加倍，设平衡后A、B两球间距为d，则 解得 故D错误。 故选BC。 （23-24高一下·江苏无锡·期中）如图所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在斜面底端竖直放置的10cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘倾角为30°的斜面上且恰与A 等高，若B的质量为，g取10m/s2。求：例4 (1)AB之间库仑力大小； (2)B所带电荷量q。 【答案】(1) (2) 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】（1）以B为对象，沿斜面方向根据受力平衡可得 代入数据解得AB之间库仑力大小为 （2）根据几何关系可知，AB之间的距离为 根据库仑定律可得 代入数据解得B所带电荷量为 （2025·河北·一模）如图所示质量为3m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点，带有电荷量为Q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上。其中O点与小球A的间距为l。O点与小球 B的间距为，当小球A平衡时，悬线与竖直方向夹角，带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，则（　　）变4-1    A．A、B间库仑力大小 B．A、B间库仑力 C．小球B的带电量为 D．细线拉力大小 【答案】D 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】D．A的受力如图所示    几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例 解得 故D正确； ABC．由余弦定律得 几何三角形OAB与力三角形相似，由对应边成比例 可得 解得 故ABC错误。 故选D。 （24-25高二上·安徽蚌埠·期中）如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量均为m的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：变4-2 (1)P与Q间的库仑斥力F； (2)P与M间的动摩擦因数最小值。 【答案】(1) (2) 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】（1）滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带电同性，两者之间为库仑斥力设为，两滑块的受力分析和角度关系如图所示。 由平衡条件可知，对Q滑块在沿着斜面方向有 可得 （2）而对P滑块动摩擦因数最小时有 解得 （24-25高二上·云南红河·期末）如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球（可视为质点），用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时处于同一水平高度且间距为L，细线与竖直方向的夹角分别为。若小球a质量为m、所带电荷量为q，重力加速度为g，静电力常量为k。则小球b（    ）例5 A．质量为 B．质量为 C．所带电荷量为 D．所带电荷量为 【答案】B 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】A．设b小球质量为，ab球分别受到绳子拉力、自身重力、库仑力而平衡，如图 对a球，由平衡条件得 对b球，由平衡条件得 又因为 联立以上解得 故选B。 （多选）（23-24高二上·浙江金华·期末）如图所示为一竖直面内半径为R的光滑绝缘圆弧轨道，两带电小球A、B（小球半径远小于R）在轨道上保持静止，带电量分别为q和3q，电性未知，两小球和圆心的连线与竖直方向分别成37°和53°，静电力常量为k，则（　　）变5-1 A．A、B两小球带异种电荷 B．A、B两球质量之比为 C．A球质量为 D．仅把A、B的带电量互换，两小球仍在原位置静止 【答案】CD 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】A．如图所示 A、B两小球带同种电荷，故A错误； B．对A受力分析由正弦定理可得 对B受力分析由正弦定理可得 故A、B两球质量之比为 故B错误； C．根据库仑定律可得 故A球质量为 故C正确； D．仅把A、B的带电量互换，F的大小不变，故不影响两小球的位置，故两小球仍在原位置静止，故D正确。 故选CD。 （多选）（2022高三·全国·专题练习）如图所示，一条光滑绝缘柔软轻绳跨过一定滑轮，轻绳两端连接质量分别为m1、m2的两个带同种电荷的小球，稳定时，两侧轻绳的长度分别为l1、l2，且l1>l2，与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，现缓慢减少小球m1的电荷量到一定值，系统重新稳定，两侧轻绳的长度分别变为l1′、l2′，与竖直方向的夹角分别变为θ1′、θ2′，关于稳定时的情景，下列说法正确的是（　　）变5-2 A．θ1′<θ2′ B．θ1′＝θ2′ C．l1′<l1 D．l1′＝l1 【答案】BD 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】AB．以两小球作为一个整体研究，滑轮对轻绳的作用力竖直向上，同一轻绳上弹力T大小处处相等，结合对称性可知，左右两侧轻绳与竖直方向的夹角等大，故平衡时满足 θ1＝θ2，θ1′＝θ2′ A错误，B正确； C．对左边带电小球受力分析，如图所示 由相似三角形可得 同理对右边小球有 联立解得 可得 m1<m2 由于m1与m2不变，即l2、l1比值不变，而轻绳的长度不变，故l1、l2不变，因开始时l1>l2，则此时仍有l1′=l1，故C错误,D正确。 故选BD。 （24-25高二上·四川自贡·期末）如图所示，光滑绝缘的水平桌面上，放置着三个可视为点电荷的带电小球A、B和C，三个小球位于同一直线上，其中B和C固定，带电量分别为-q1和+q2，若未固定的小球A能保持静止，则下列说法正确的是（　　）例6 A．A可能带负电，q1<q2 B．A可能带正电，q1>q2 C．A一定带负电，q1=q2 D．A一定带正电，q1=q2 【答案】A 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】根据题意可知，若小球A能保持静止，则小球B、C对A的作用力等大，反向，由同种电荷相互吸引，异种电荷相互排斥可知，由于小球B、C带异种电荷，无论A带何种电荷，小球B、C对A的作用力方向都相反，设小球A的带电量为qA，由库仑定律有 可得 故选A。 （24-25高二上·四川德阳·期末）如图所示，光滑绝缘水平面上有三个可以自由移动的带电小球A、B、C（均可视为点电荷），三球沿一条直线摆放，水平方向它们之间只有静电力相互作用，三球均处于静止状态，则以下判断正确的是（　　）变6-1 A．A、C两个小球可能带异种电荷 B．三个小球的电荷量大小可能为 C．摆放这三个小球时，可以先固定C球，摆放A、B使其能处于静止状态，再释放C球 D．A、B和B、C小球间的距离分别是、，则 【答案】C 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】A．依题意，B球处于平衡状态，则A、C两球对B球的库伦力等大反向，即A、C必定带同种电荷，故A错误； B．设A、B、C三球的电荷量分别为、、，对B球分析受力，可知 又 可得 对C球分析受力可知， 故有 所以，故B错误； C．摆放这三个小球时，可以先固定C球，摆放A、B使其能处于静止状态，再释放C球，故C正确； D．对B受力分析，左右两个方向的库仑力大小相等，可得 解得 故D错误。 （20-21高二上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图所示，A、B、C为放置在光滑水平面上的三个带电小球（可视为点电荷），其中B与C之间用长为L的绝缘轻质细杆相连，现把A、B、C按一定的位置摆放，可使三个小球都保持静止状态。已知小球B的带电量为-q，小球C的带电量为+4q，则以下判断正确的是（　　）变6-2 A．小球A的带电量一定为+4q B．轻质细杆一定处于被拉伸状态 C．小球A与B之间的距离一定为L D．若将A向右平移一小段距离，释放后A一定向左运动 【答案】C 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】AC．A小球受力平衡 解得 式子中可以约掉，所以无法计算，故A错误，C正确； B．对B球，所受AC合力 由于未知，无法判断合力大小及方向，故无法判断轻杆是否处于拉伸状态，故B错误； D．球A原本是平衡的，若将A向右移，BC对它的静电力之和 当A球带负电时，合力方向向左，小球向左运动，当小球带正电时合力向右，小球向右运动，故D错误。 故选C。 考点四：库仑力作用下动态平衡 （24-25高二上·安徽黄山·阶段练习）如图所示，可视为质点的两个带同种电荷的小球a和b，分别静止在竖直墙面和水平地面上，b球被光滑竖直板挡住，所有接触面均光滑，a球由于缓慢漏电而缓慢下降，在此过程中（　　）例7 A．地面对b的支持力变小 B．竖直挡板对b的支持力变小 C．a、b间的作用力变大 D．墙面对a的弹力变小 【答案】C 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】A．对a、b整体而言，竖直方向受重力和地面的支持力，故支持力总等于两球的重力之和，可知地面对b的支持力不变。故A错误； CD．对a受力分析如图 受重力G、库仑力F和墙面的弹力N，当a球下移时，由受力图可知，N和F均变大。故C正确，D错误； B．对a、b整体，水平方向竖直挡板对b的支持力等于墙面对a的弹力N，则竖直挡板对b的支持力变大。故B错误； 故选C。 （24-25高二上·广东广州·期中）竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘，小球A、B带同种电荷，现用水平向左推力F作用于小球B，两球分别静止在竖直墙面和水平地面上，如图所示，如果将小球B向左推动少许，当两球重新达到平衡时，与原来的平衡状态相比较（   ）变7-1 A．竖直墙面对小球A的弹力变大 B．两小球之间的距离变小 C．地面对小球B的支持力不变 D．推力F变大 【答案】C 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】以A球为研究对象，分析受力，如图1所示 设B对A的库仑力F库与墙壁的夹角为θ，由平衡条件得竖直墙面对小球A的弹力为 N1=mAgtanθ 将小球B向左推动少许时，θ减小，则竖直墙面对小球A的弹力N1减小；库仑力 θ减小，cosθ增大，F库减小，根据库仑定律分析得知，两球之间的距离增大； 再以AB整体为研究对象，分析受力如图2所示，由平衡条件得 F=N1 N2=（mA+mB）gN1减小，则F减小，地面对小球B的支持力一定不变。 故选C。 （多选）（24-25高二上·安徽黄山·期中）如图所示，带正电小球A放在倾角为的光滑绝缘倾斜轨道上，带正电物块B放在水平粗糙绝缘轨道上，B与轨道间的动摩擦因数，A、B均可视为点电荷，开始时均处于静止状态。现用水平向左外力使物块B缓慢向点靠近，下列关于此过程中A、B受力情况说法正确的是（　　）变7-2 A．A、B间的斥力逐渐增大 B．倾斜轨道对A的支持力逐渐减小 C．水平轨道对B的摩擦力逐渐增大 D．外力逐渐增大 【答案】BC 【知识点】正交分解法解共点力平衡、用三角形法则解决平衡问题、带电小球的平衡问题 【详解】A．假设B缓慢向点靠近过程中，A球不动，则A、B间的斥力逐渐增大，再对A受力分析，由矢量三角形的图解法知 A、B间的斥力逐渐减小，两结论矛盾，故A球上移，AB连线越来越靠近沿斜面方向，A、B间的斥力减小，故A错误； B．A、B间的斥力保持不变，由矢量三角形的图解法知倾斜轨道对A的支持力逐渐减小，故B正确； C．对整体受力分析如图 由平衡条件知 不变，减小，增大，故C错误； D．由平衡条件知 将的值代入整理得 F保持不变，故D错误。 故选BC。 （22-23高二上·河南·期中）如图所示，带电小球M固定在绝缘桌面上，带电小球N用绝缘丝线拴接在天花板上的点，点位于小球M的正上方。当小球N静止时，两小球到点的距离相等；当小球M、N之间的距离减半后，为仍使小球N静止，则下列说法正确的是（　　）例8 A．将小球N的质量变为原来的4倍 B．仅将小球M的电荷量变为原来的 C．同时将小球M、N的电荷量变为原来的 D．小球M的电荷量变为原来的，同时将小球N的质量增加为原来的2倍 【答案】D 【知识点】库仑定律表达式和简单计算、带电小球的平衡问题 【详解】设之间的距离为，两小球之间的距离为。对小球N受力分析如图所示 由力的平衡条件可知，库仑斥力与丝线拉力的合力与小球N的重力大小相等、方向相反，由相似三角形的知识得 又由库仑定律公式得 整理得 当小球M、N之间的距离减半后，为仍使小球N静止。则应使小球M的电荷量变为原来的，同时将小球N的质量增加为原来的2倍。 故选D。 （23-24高一下·湖南长沙·期末）如图所示，水平面上固定一个绝缘支杆，支杆上固定一带电小球A，小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下，小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢拉动细线，使球B移动一小段距离。在此过程中，下列说法正确的是（　　）变8-1 A．B球运动轨迹是一段圆弧 B．球B受到的库仑力先减小后增大 C．球B所受的拉力做正功，库仑力做正功 D．细线中的拉力一直增大 【答案】A 【知识点】带电小球的平衡问题 【详解】．对小球B分析可知，受细线的拉力F，静电斥力和重力G，如图所示 设A、B两个小球的电荷量分别为、，B球的质量为m，，，，由相似三角形可知 m、h以及电荷量不变，所以r不变，B球运动轨迹是一段圆弧，故A正确； B．电荷量不变，r不变，根据库仑定律可知，库仑力大小不变，故B错误； C．拉力与速度方向夹角为锐角，拉力做正功。库仑力方向与速度方向垂直，库仑力不做功，故C错误； D．在此过程中，m、h不变，l减小，可知拉力减小，故D错误。 故选A。 考点五：非平衡问题 （23-24高一下·湖北省直辖县级单位·期中）如图所示，质量均为m、带等量异种电荷的A、B两个小球放在光滑绝缘的固定斜面上，给B球施加沿斜面向上、大小为（g为重力加速度）的拉力，结果A、B两球以相同的加速度向上做匀加速运动，且两球保持相对静止，两球间的距离为L，小球大小忽略不计，斜面的倾角，静电力常量为k。求∶例9 （1）两球一起向上做加速运动的加速度大小； （2）A球所带的电荷量。 【答案】（1）；（2） 【知识点】静电力作用下的加速度问题 【详解】（1）整体法，两球一起向上做加速运动，设加速度为a，根据牛顿第二定律解得 解得 （2）设A球的带电量为q，对A球研究，根据牛顿第二定律有 解得           （24-25高三上·辽宁丹东·期中）如图所示，光滑绝缘水平面上固定着A、B、C三个均可视为点电荷的带电小球，它们的质量均为m，彼此间的距离均为r，现对小球C施加一个水平恒力F，同时放开三个小球，三个小球在运动过程中保持间距r不变。已知小球C所带电荷量为，小球A、B带等量同种正电荷，静电力常量为k，求：变9-1 (1)小球A所带电荷量q； (2)恒力F的大小。 【答案】(1) (2) 【知识点】库仑定律表达式和简单计算、静电力作用下的加速度问题 【详解】（1）小球A受到小球B的库仑斥力和小球C的库仑引力，产生水平向右的加速度，有 解得 （2）根据牛顿运动定律，有 解得 考点六：物理方法 （2025·江西景德镇·三模）下列对教材中的四副插图所包含物理思想方法的说法正确的是（　　）例10 A．图甲：类比法 B．图乙：控制变量法 C．图丙：等效替代法 D．图丁：理想实验方法 【答案】C 【知识点】伽利略的理想斜面实验、控制变量法、等效法、微元法 【详解】A．图甲是推导图像的面积代表位移，采用的是微元法，故A错误； B．图乙在研究力和运动的关系时，伽利略运用了理想斜面模型结合逻辑推论，故B错误； C．图丙利用红蜡块的运动探究合运动和分运动的实验，采用物理思想方法是等效替代法，故C正确； D．图丁探究影响电荷间相互作用力的因素时，运用了控制变量法，故D错误。 故选C。 课后总结 学科网（北京）股份有限公司 $$