2025年九年级中考数学复习-特殊的平行四边形与梯形综合训练

2025年九年级中考数学复习

特殊的平行四边形与梯形综合训练

 

1．如图，已知梯形中，，，，点是射线上一点，，垂足为点，交线段于点，，，．

(1)求梯形的面积；

(2)当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式及自变量的取值范围；

(3)若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长．

2．如图9，在梯形中，，连接，点在上，连接，使得，点在边上，连接，分别交、于点、，且，连接．

(1)求证：四边形为菱形；

(2)如果，求证：．

3．梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？

(1)小明联想到梯形的面积公式与三角形的面积公式，梯形的面积公式是（上底+下底）高2，三角形的面积公式是底高2，比较两个公式，如果把梯形的上底加下底转化为三角形的底，问题是否能解决．思考之后小明给出了如下的证明思路：

如图②，连接并延长，交的延长线于点G．

先证和全等，再说明是的中位线．

…

经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底之间的关系：________、________；

(2)受小明的启发．小聪联想到梯形的面积公式与矩形的面积公式，梯形的面积公式是（上底+下底）高，矩形的面积公式是底高，比较两个公式，如果把梯形的上底与下底的和的一半转化为矩形的底，问题是否也能解决．如果能，请结合图③给出证明过程，如果不能，请说明理由．

4．如图所示，在梯形中，，，，，，动点从点出发沿方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点、分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．

(1)经过多长时间，四边形是平行四边形？

(2)经过多长时间，四边形是矩形？

(3)经过多长时间，的长为？

5．知识回顾：

小夏同学是个数学谜，他不仅被书中的数学知识所吸引，而且爱探究为什么有这些数学知识，在这种“研究为什么”的精神支配下，他对数学思想中的“证明”饶有兴趣！最近，他证明了平行线的性质：平行线间距离处处相等，并尝试用该性质解决问题．

（1）如图1，已知梯形相交于点O，求证：

知识迁移：

寒假期间，小夏回到乡下爷爷家，发现爷爷门前的两块田地刚好拼成如下图2所示的矩形是田地甲、乙之间两条小路．

（2）爷爷准备在不改变甲田、乙田总面积的情况下将小路改成直线，请你帮助小夏设计方案，并在图上画出相应图形；

（3）经测量，米，米，米，米，请直接写出改造后的道路长为多少米．（结果保留根号）

6．情境：正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，我们可以通过以下几种方式获得正方形．（说明：纸片折叠过程中无缝隙、无边沿重叠）

操作：

（1）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点的对称点落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个四边形．当四边形为正方

形时，直接写出与的数量关系．

（2）如图2，将平行四边形沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，求平行四边形的面积．

探究：

（3）如图分别为梯形四条边的中点，梯形上底与下底的和为高的2倍，请根据以上信息画出一种裁剪方式，使裁剪后的四块图形打散后能够拼成一个正方形．（裁剪线用虚线，并标注清楚相应的几何符号）

7．如图，在菱形纸片中，，，按下列步骤进行裁剪和拼图：

第一步：如图1，在线段上任意取一点，沿，剪下一个三角形纸片（余下部分不再使用）；

第二步：如图2，沿三角形的中位线将纸片剪成两部分，并在线段上任意取一点，线段上任意取一点，沿将梯形纸片剪成两部分；

第三步：如图3，将左侧纸片绕点按顺时针方向旋转，使线段与重合，将右侧纸片绕点按逆时针方向旋转，使线段与重合，再与三角形纸片拼成一个与三角形纸片面积相等的四边形纸片．

（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）

(1)请你在图3中画出拼接成的四边形；

(2)直接写出拼成的四边形纸片周长的最小值为 ，最大值为 ．

8．如图，在矩形中，．将矩形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点F处．

  

(1)求的长；

(2)求梯形的面积．

9．如图，在梯形中，，，过点作，垂足为，并延长至，使，联结、、．

(1)求证：四边形是平行四边形．

(2)联结，如果，，求证：四边形是矩形．