精品解析：安徽省A10联盟2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题B卷

A10联盟2023级高二4月期中考 数学试题B 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 20 B. 35 C. 120 D. 210 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 3. 已知等差数列的公差，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 120 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 7. 若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为正整数，且，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知点P为曲线C：（a，b，n为常数且）上任一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C是中心对称图形 B. 若，，则 C. 若，，，则曲线C与直线无交点 D. 若，，，则曲线C与直线有且只有一个交点 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处取得极值0，则______． 13. 如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．（填数字） 14. 数列满足，其中为函数的零点，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法? （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 16. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 17. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，函数有两个零点，求a的取值范围. 18. 如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点．线段FT的垂直平分线l和半径ET相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线AM，BM分别交曲线C于另外的点P，Q．求四边形面积的最大值． 19. 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”. （1）判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由； （2）若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ A10联盟2023级高二4月期中考 数学试题B 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 20 B. 35 C. 120 D. 210 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数公式计算求解. 【详解】． 故选：B． 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导后直接代入计算即可. 【详解】由题意得， 所以. 故选：D. 3. 已知等差数列的公差，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求最小值. 【详解】由，可得，解得：，由， 则，当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故选：B. 4. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可，结合组合数运算求解即可. 【详解】若四位数为偶数，则个位数为2或4，其余位数不重复即可， 所以偶数的个数为. 故选：A. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而排除A、C，再根据时函数值的特征排除B. 【详解】由题意得，函数的定义域为，， 所以当或时，当或时， 所以在和上单调递增，在和上单调递减，故排除A、C； 当时，，所以，故排除B. 故选：D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含的项为 即展开式中的系数为． 故选：B． 7. 若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设方程的两个根为、，方程的两个根为、，不妨设，，且，则必有，求出这四个数的值，结合韦达定理求出、的值，即可得解. 【详解】由，得或． 设方程的两个根为、，方程的两个根为、， 由韦达定理可得，， 不妨设，，且，则必有， 所以，，，故数列、、、的公差为， 所以，， 由韦达定理可得，，因此. 故选：C. 8. 已知函数，若对任意恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过参变分离得到，再求最值即可. 【详解】由题意得，恒成立. 令，则， ∴当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为正整数，且，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用组合数公式计算判断A；利用排列数公式推理判断BCD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C， ， ，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 10. 已知函数的定义域为，其导数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件对任意的都有，构造函数，利用导数可得在上单调递增，结合各个选项化简即可得出结果． 【详解】设，则， 因为对任意的都有，则恒成立，所以在上单调递增； 因为，所以，则，所以A错误； 因为，所以，则，所以B正确； 因为，所以，则，所以C正确； 因为，所以，则，所以D错误； 故选：BC． 11. 已知点P为曲线C：（a，b，n为常数且）上任一点，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C是中心对称图形 B. 若，，则 C. 若，，，则曲线C与直线无交点 D. 若，，，则曲线C与直线有且只有一个交点 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A用，代替方程中即可判断，对于B有得，，由即可判断，对于C有，在直线取一点验证点与的位置关系即可，对于D有，由是曲线C的一条渐近线，即可判断与曲线C的交点. 【详解】对于A：用，代替方程中方程不变，所以曲线关于原点中心对称，故A正确； 对于B：由，，得，所以，，，，故B错误； 对于C:由，，，得，为上一点，由， 得Q在曲线内，所以直线与曲线C有两个交点，故C错误； 对于D：由，，，得，是曲线C的一条渐近线， 与曲线C有且只有一个交点，故D正确． 故选：AD． 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数在处取得极值0，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数在处取得极值0，可得，，进而求解即可. 【详解】由，得， 因为函数在处取得极值0， 所以，解得或， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，，则， 令，得；令，得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，函数取得极小值. 综上所述，. 故答案为：2. 13. 如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．（填数字） 【答案】72 【解析】 【分析】根据图形，首先确定涂有4种涂法，则涂有3种涂法，进而由与、相邻，只与相邻，可以确定、的涂色的情况，最后由乘法原理，计算可得答案． 【详解】根据题意，首先涂有种涂法，则涂有种涂法， 与、相邻，则有种涂法，只与相邻，则有种涂法， 所以共有种涂法， 故答案为：72． 14. 数列满足，其中为函数的零点，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由为的零点，推理得到，利用此式和题设条件，将分别用表示，化简消元即得. 【详解】因为，则， 所以， 在恒成立， 所以函数在上单调递增. 当时，， 当时， ； 根据零点存在定理，可知函数在内存在零点， 且满足，即，则， . 且，可得， 因为在上单调递增，则在上单调递增， 可得，， 且，则，可得. 又因为，则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加一项创新大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） （1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法? （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据要求直接选取即可； （2）在剩下的7人中任选2人即可； （3）利用间接法可求得总的方法数； （4）从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况. 【小问1详解】 如果4人中男生女生各选2人，有种选法． 【小问2详解】 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内， 则在剩下的7人中任选2人，有种选法． 【小问3详解】 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内， 共有种选法． 【小问4详解】 如果4人中必须既有男生又有女生， 先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况， 故有种选法． 16. 已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由第2项与第3项的二项式系数之比是，可列出关于的方程再求解； （2）结合展开式的通项公式，得出指数的表达式，令其为零即可求解； （3）由结合数列的最值列出的不等式组，解得的范围即可. 【小问1详解】 依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为， 所以，即，则，或（舍去）； 【小问2详解】 展开式的通项为（，）， 令，解得，所以，所以常数项为第5项60. 【小问3详解】 系数的绝对值为 ，则 所以，即，，所以， 因此，系数绝对值最大的项是. 17. 已知函数. （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，函数有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导并求得导函数的零点，比较两根大小对参数a的取值进行分类讨论，即可得出结论； （2）得出函数在上的单调性求出其最小值，再由零点个数求得a的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 易知， 令，解得. 当时，. 的单调递增区间为和，的单调递减区间为； 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，， 的单调递增区间为和，的单调递减区间为 【小问2详解】 . 当时，，则在上单调递增， ，即，函数在上没有零点. 当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ， 因此要使得在上有两个零点，只需， ，解得. 综上，a的取值范围为. 18. 如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，T是圆E上任意一点．线段FT的垂直平分线l和半径ET相交于点N，当点T在圆E上运动时，记动点N的轨迹为曲线C． （1）求曲线C的方程； （2）设曲线C与x轴从左到右的交点依次为点A，B，已知动点M在直线上运动且不在x轴上时，直线AM，BM分别交曲线C于另外的点P，Q．求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可得点的轨迹是以，为焦点的椭圆，得到、，从而求出. （2）设，，，，表示出、的方程，联立直线与椭圆方程，即可求出、点坐标，则，再利用换元法及对勾函数的性质计算可得. 【小问1详解】 由题意知，， 由椭圆的定义得，点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设椭圆方程为， 则长轴长，焦距， 所以，因此曲线的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，，， 由椭圆对称性，不妨设，，，， 直线的斜率，直线的斜率， 直线的方程为， 直线的方程为． 由，消去y得， 由韦达定理得，即，所以． 由，消去得， 由韦达定理得，即，所以． 则四边形面积为 ． 设，，则，当且仅当时取等号， 由对勾函数性质知在上单调递增， 则，， 因此当时，四边形的面积最大，最大值为6，此时点的坐标为， 由对称性知，当点的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6． 19. 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”. （1）判断数列1，2，3，7，43是否为“数列”，并说明理由； （2）若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式. 【答案】（1）是，理由如下： 由题意得，， 则1，2，3，7，43是“数列”. （2）不是，理由如下： 由，得， 由，得，而，∴不是“数列”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“H(1)数列”的定义，判断所给数字是否满足后一项等于前面所有项乘积加 1 的规律. （2）先根据求出、的值，再看是否满足“数列”的条件. （3）先根据和，当时求出.再继续利用这两个等式求出、，然后代入，通过解方程求出，进而求出公比，最后得到的表达式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设数列的公比为. 由，得， 由，得， ∴，解得. 由，得， 由，得， ∴，∴，∴. 由，得， 则， 解得，∴，∴，∵，∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $