2025年中考数学复习二次函数与几何综合问题专项训练

答案解析 1．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数：的最小值为，其图象与轴交于和两点，与一次函数的图象交于、两点（在左侧），过点作轴的平行线． (1)求二次函数的表达式； (2)过点作的垂线，垂足为，求证：； (3)取中点，过点作的垂线，垂足为，与二次函数的图象交于点，连接，试探究和的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【难度】0.4 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，一元二次方程根与系数的关系，两点距离公式，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意设抛物线解析式为，根据最小值为，得出，即可求解； （2）设 ，则，根据勾股定理求得，即可得证； （3）联立抛物线与一次函数解析式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而分别表示出，勾股定理求得，即可得证． 【详解】（1）解：抛物线图象与轴交于和两点，设抛物线解析式为 ∵最小值为， ∴ 解得： ∴抛物线表达式为： （2）解：如图 设 ，则 ， ， ∴； （3）解：如图， 设，， 联立 ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴即，则即 ∵是和抛物线的交点， ∴即 ∴ ∴ ∴ 2．（2025·湖北襄阳·一模）如图，直线分别交轴于，点，抛物线经过，两点且与轴交于另一点，点是轴上方抛物线上一点，且点的横坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)如图，当点是抛物线的顶点时，连接交于点．求与之间的数量关系； (3)过作轴于，轴于，令矩形的周长为． 求与的函数解析式； 若矩形围成的区域（不含边界，即矩形四条边上的点不符合区域）记为，当且内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)，或． 【难度】0.4 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质，二次函数与相似三角形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先由直线分别交轴于，点，求出，，然后代入解析式即可求解； （）过点作交于点，证明，则，当，即时，求出，，    则有，再求出直线的解析式为，当时，，即，故，再代入即可求解； （）由题意知，，过作轴于，轴于，令矩形的周长为，则有矩形周长，然后分当时和当时两种情况分析即可； 当时，恒成立，当时，，解得，（舍去）；当时，，解得，（舍去）；当时，，解得或，然后结合图象即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴于，点， 当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， 把，代入函数得， ，   解得， ∴抛物线解析式； （2）解：过点作交于点， 则，， ∴， ∴， 当，即时， 解得，， ∴，，     ∴， 由， ∴顶点， 设直线的解析式为：， ，解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴，即， ∴； （3）解：由题意，知，， 过作轴于，轴于，令矩形的周长为， ∴，矩形周长， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上，； 当时，恒成立， 此时，仅点符合要求， 当时，，解得，（舍去）； 当时，，解得，（舍去）； 结合函数图象知是； 当时，，解得或， 此时，仅点，，符合要求， 结合函数图象知：， ∴， 综上，的取值范围是或． 3．（2025·湖南常德·二模）已知：如图1，二次函数与x轴相交于A，两点，与y轴交于点C，连接，P是第一象限的抛物线上一点． (1)求二次函数和直线的表达式； (2)连接与交于点G，若，求点P的坐标； (3)如图2，已知M，N是x轴上点B左侧（N不与B重合）两个动点，M在N的左边，，连接交于点E，连接交于点F，求的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【难度】0.65 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图1，过点作轴交于点，设，，则，表示出，然后证明出，得到，然后得到求解即可； （3）如图2，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，得到，，推出，设，则，表示出，，得到，然后结合求解即可． 【详解】（1）把点代入中， ， ， ， 点的坐标为． 设直线的表达式为，且经过点和点， 则，解得， ∴直线的表达式为． ∴二次函数的表达式为，直线的表达式为． （2）如图1，过点作轴交于点． 设，，则． ． 轴， ， ． ，， ， ， ，， ，； （3）如图2，过点作轴交于点，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∴． ，， ，， ， 设，则，把它们的横坐标代入中， ，， ． 由（2）知． ， ． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，线段问题，待定系数法求二次函数和一次函数表达式，相似三角形的性质和判定， 4．（2025·江苏连云港·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，函数图像与轴交于点，（在的左边），其对称轴与轴相交于点． (1)求的值； (2)为轴上方抛物线上的动点，过点作直线，，分别交抛物线的对称轴于点，．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)已知坐标系中有一直线，点为抛物线上任意一点，点为直线上任意一点，如果，两点间的距离的最小值大于2，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）由题可知，，，得对称轴为直线则．设，其中．求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出，，从而，可求出的值为定值． （3）当直线与抛物线只有一个交点时，记为直线，则方程只有一个实数根，可求出，将直线沿垂直于直线的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线，记为直线，此时，，过点H作轴，可得，证明四边形为平行四边形得，得出点的坐标为即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入， 解得． （2）解：由题可知，，，得对称轴为直线． ． 设，其中． 设直线的解析式为， 则 解得 直线的解析式为． 当时，． 点． 同理可得直线的解析式为． 当时，． 点． ，． ． 的值为定值． （3）∵，两点间的距离的最小值大于2， 直线与抛物线没有交点，且最近的距离为2， 如图2，当直线与抛物线只有一个交点时，记为直线， 则方程只有一个实数根， ， ， 记直线与抛物线的交点为H，与轴的交点为点，则， 将直线沿垂直于直线的方向平移2个单位，即可得满足条件的直线，记为直线， 此时，． 过点H作轴，交直线于点F，则， ， 是等腰直角三角形， ， 直线与轴的交点为，则四边形为平行四边形， ， 点的坐标为， 的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，二次函数与几何综合，勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键． 5．（2025·安徽宿州·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点，，连接． (1)求a，b的值． (2)P是抛物线上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得的面积恰好为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)M（不与点A，C重合）是线段上的一个动点，过点M作轴，垂足为D．延长，交抛物线于点E，过点E作，垂足为F，求周长的最大值． 【答案】(1)， (2)存在．点， (3)的周长的最大值为 【难度】0.4 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积综合题、二次函数的周长线段综合题，数形结合是解题的关键． （1）把点，分别代入函数解析式得到方程组，解方程组即可； （2）设点，根据题意得到，解一元二次方程即可得到答案； （3）求直线的解析式为．设点，则点，得到，，则的周长．根据二次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，， ∴ 解得 （2）存在．由（1），得，， ∴二次函数的解析式为． 令，得， 解得，． ∵二次函数的图象与x轴交于点A，B， ∴点，， ∴． 设点， ∴， ∴， 解得，， ∴点，． （3）令，得， ∴点， 设直线AC的解析式为 解得 ∴直线的解析式为． 设点，则点， ∴． ∵点， ∴． ∵， ∴． ∵轴， ∴∥轴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∵ ∴当时，的周长有最大值，最大值为， ∴的周长的最大值为． 6．（2025·山东济南·二模）如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线l：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M． (1)求二次函数的表达式； (2)如图 1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值； (3)如图 2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为； 【难度】0.4 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，求得，把代入，得，即可求解； （2）过点Q作于G，过点A作于H，当与面积相等时，则，求得，，，然后利用勾股定理求解即可； （3）先用待定系数法求出直线解析式为，从而求得．把把向下移动4个单位，得到，连接，当、N、B三点共线时，最小，最小值为，则最小值为，求出的长即可；再用待定系数法求出直线解析式，把代入求出值即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线， ∴，解得：， 把代入，得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， 设， 过点Q作于G，过点A作于H， 如图1， 当与面积相等时，则， ∴， ∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，与直线l交于点M． ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，，， ∵P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m， ∴， ∴或． （3）解：把代入，得， ∴， 设直线解析式为，把代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∴， 把代入 ，得， ∴， ∴， 把向下移动4个单位，得到，连接，如图2， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴当、N、B三点共线时，最小，最小值为， ∴的最小值为2； 设直线解析式为， 把、分别 代入，得 ，解得：， ∴直线解析式为， 把代入，得 ， 解得：． 【点睛】本题考查等定系数法求函数解析式，二次函数的图象性质，勾股定理，一次函数图象性质，直线的平移，两点间线段最短，此题属二次函数综合题目，熟练掌握相关性质是解题的关键． 7．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）． (1)求的值和的顶点坐标． (2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________； (3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3) 【难度】0.4 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式及顶点坐标，二次函数的性质，二次函数的平移，以及利用二次函数解决几何面积最值问题，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）解析式联立利用根的判别式确定交点的个数，整理解析式即可求解； （3）根据题意画出图形，利用函数解析式表示出顶点纵坐标，利用三角形面积公式列出关于的二次函数，根据顶点坐标求最值即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得， ， 顶点坐标为； （2）解：联立得， 整理得 ∴两个图形一定有交点， 整理得 ∴当时，无论取何值， 由（1）得，的顶点坐标为， ∴与总交于一个定点的坐标为， 故答案为：； （3）解： 如图所示， 当时，抛物线， 平移之后顶点坐标为，即 ∴平移之后 ，此二次函数抛物线开口向下， 可求顶点横坐标为，， ∴顶点纵坐标为最大值 当时，代入二次函数得， ∴面积的最大值 8．（2025·海南海口·一模）如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标； (3)当时，y的取值范围是，且，求a的值． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【难度】0.4 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）两点式写出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，求出的坐标，将直线向上平移个距离，平移后的直线与抛物线的交点即为点，进行求解即可； （3）根据二次函数值的增减性，分2种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，C， ∴， ∵， ∴顶点坐标为：； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，则：， ∵， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离， 由（1）知：， ∴， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴将直线向上平移2个单位得到，点即为直线与抛物线的交点， 令，解得：或； 故点的横坐标为：； （3）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，有最小值为， ∵， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，，解得：或（舍去）； 当时，则：，解得：（舍去）或； 综上：或． 9．（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线 (a为常数)，该函数图象的顶点为 M． (1)若 求顶点M的坐标； (2)将抛物线L先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到抛物线，其顶点为 与x轴交于点A 和点B(点A在点B的左侧)，且点 在直线 上，若 求a的值； (3)在（2）的条件下，点P为直线l下方抛物线上一动点，抛物线与直线l交于点C和点D(点C在点 D 的左侧)，当 面积最大时，求点 P 的坐标和 面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值，此时 【难度】0.4 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数与面积综合； （1）由得到抛物线顶点坐标为，把代入计算即可； （2）平移后得到抛物线解析式为，则顶点为，代入得到，再根据列方程求解即可； （3）在（2）的条件下，，先联立抛物线和直线l求出，，过作轴交直线l于，设，则，则，，根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当时，顶点M的坐标为； （2）解：将抛物线先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到抛物线解析式为， ∴顶点为， ∵点 在直线 上， ∴， 整理得， 令解得， ∵与x轴交于点和点 (点A在点B的左侧)， ∴，， ∴， 整理得， 联立，解得； （3）解：在（2）的条件下，， 联立，解得或， ∵抛物线与直线l交于点C和点D(点C在点 D 的左侧)， ∴，， 过作轴交直线l于，如图， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，此时． 10．（2025·河南·二模）如图1是某校劳动基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得．       (1)求抛物线的函数表达式． (2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，当遮阳网面积最大时，求点的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)的面积最大值是，此时点的横坐标为 【难度】0.65 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，二次函数与几何图形面积的计算是关键． （1）根据题意，，，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，如图所示，当点在点右边时，设，过点作轴于点，则，，根据图示列式得到，结合二次函数最值的计算求解即可；如图所示，当点在点左边时，设，过点作轴于点，交于点，则，点在点右边与条件矛盾；由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∵点是中点， ∴，且， ∴， 设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在抛物线上选取一点， 如图所示，当点在点右边时，设，过点作轴于点，则， ∴， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值是为； 如图所示，当点在点左边时，设，过点作轴于点，交于点，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵，即点在点右边与条件矛盾； 综上所述，的面积最大值是，此时点的横坐标为． 11．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标； (3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或 【难度】0.15 【分析】（1）先求出，，再根据，求出，利用待定系数法即可求解； （2）取的中点，在的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，得到，根据，求出，证明四边形是矩形，求出直线，联立，求解即可； （3）抛物线与抛物线关于原点对称，求出的函数表达式为，分点H位于第一象限，点H位于第三象限两种情讨论即可． 【详解】（1）解：直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ，， ， ， ， ， 经过点A，B，C， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：， ， ，， 取的中点，在的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 设直线且过点， ， ， 或； （3）解：抛物线与抛物线关于原点对称， 的函数表达式为， 点F的坐标为， ， 点G的坐标为， 在x轴上取一点P，使得，此时， 设， ， ， ， ， 当点H位于第一象限时，过点B作交的延长线于点Q，作轴于点M，作轴于点N， 设点Q的坐标为， ，，，， ∵ ∴ ∵ ∴， ， ， ， ，， ， ， 直线与交于点H， （舍去）， 点H的坐标为，     当点H位于第三象限时，点与点Q关于点B对称，此时， ， ， （舍去）， 点H的坐标为， 综上所述，点H的坐标为或． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质，解直角三角形．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用． 12．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【难度】0.4 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质，证明三角形相似是本题的难点． （1）由题意得：，即可求解； （2）证明和关于对称，得到直线的表达式为：，联立和抛物线解析式即可求解； （3）①由，则，即可求解； ②证明，则AN：：PD，即：：，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知， ∴点， 设抛物线的对称轴交x轴于点H， 则轴，则， 而， 则， 即和关于对称， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：舍去或3， 则点， 故答案为：； （3）解：①设点， ， 则， 则， 即点； ②由点A、D的坐标得， 直线的表达式为：， 同理可得直线的表达式为：， 联立和抛物线的表达式得： ， 则舍去或， 则点， 设点，点， 由点A、N、D、P、Q的坐标得， ，，，， 由①知，， 而， 即， 则， 即， ， ， 则， 即：, 则， 即n的最大值为：， 故答案为： 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知二次函数(a是常数，且)的图像与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，并将图像中位于y轴左侧的部分作关于y轴的对称图像，该对称图像记为图像． (1)则点A坐标为 ，点B坐标为 ； (2)若直线是常数交图像于点D，E(点D在点E的左侧)，并与图像 交于点F，若 ，求a与m的数量关系； (3)当时，连接，图像上是否存在一点P，过点P作⊥直线，垂足为点Q，连接，使得？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【分析】（1）令，求出x值即可解题； （2）由二次函数知，其对称轴为直线故设点则点则点的横坐标为： 则求出值解题即可； （3）证明得到求出点 ，即可求解． 【详解】（1）解：令 解得或 即点、的坐标分别为： 故答案为： ； （2）由题意得： ， 由二次函数)得，其对称轴为直线， 设点，则点则点的横坐标为 则 解得 ∴； （3）存在， 理由： 取则， 当时，时，， ∴点的坐标为， 由点、的坐标得， 设边上的高为， 则，即 解得 ∵ ∴ 设直线的解析式为，代入得： ，解得， ∴直线的表达式为： 设点， 点 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， ，， ， ， 即 解得： 即点 将点的坐标代入得 解得：(舍去)或 ， 则 即点． 【点睛】主要考查了二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 14．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【分析】（1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可； （2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可； （3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围． 【详解】（1）解：由原抛物线顶点的坐标为． 可得， 解得，． 所以，原抛物线的表达式是． （2）解：由点A的坐标为，点B的坐标为 设直线的表达式为， 将点A的坐标代入可得，解得：， ∴直线的表达式为． 由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上， 得点M的坐标为． 得平移后抛物线的表达式为． ∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为， ∴． 化简得，得． ∵， ∴， 解得：， 所以m关于n的函数解析式为． （3）解：过点B作，交原抛物线于点G，那么． 当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角． 当点N与点A重合时，，， 平移距离， 当点N与点G重合时， 过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F． ∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为． ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴，可得． ∵， ∴解得：． ∴点M的坐标为， ∴． ∵点N位于原抛物线对称轴的右侧， ∴当是锐角时，平移距离的取值范围是． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（24-25九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，．抛物线与轴交于，两点． (1)如图1，若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，为线段上一点，连接，若，请判断和是否相等，并说明理由； (3)若抛物线的顶点为，取的中点，则以，，为顶点的三角形能否为直角三角形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)和相等，理由见解析 (3)或或或 【难度】0.15 【分析】（1）根据矩形的性质先求解C的坐标，再结合A的坐标，利用待定系数法求解解析式即可； （2）如图，连接，求解，结合，，设，可得，，从而可得答案； （3）先求解，可得，，可得，，，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点，分别在轴，轴上，， ∴， ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接， ∵矩形的顶点，分别在轴，轴上，， ∴，， ∴， ∵，，设， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴和相等； （3）解：∵抛物线与轴交于， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∴顶点为， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， 如图，当时，则为直角三角形； ∴， 解得：或； 当时，则为直角三角形；如图， ∴， 解得：； 当时，则为直角三角形； ∴， 整理得：， ∴， ∴该方程无解； 综上：为直角三角形，则或或或． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题，直角三角形问题，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 16．（2025·江苏常州·一模）已知：如图，抛物线与x轴交于点A、B，它的对称轴交x轴于点Q．点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D．(点C在点D的右侧)． (1)如图1，连接，若四边形是平行四边形，则_____； (2)如图2，连接，交对称轴于点T，连接，当时，求直线的函数表达式； (3)在(2)的条件下，在该抛物线上取一点M，使得是以为斜边的直角三角形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)24 (2)或 (3)、、、 【难度】0.15 【分析】（1）根据抛物线可求得，故抛物线的对称轴为直线，可以求得，从而得到，，根据题意可证C，D两点是一对对称点，得到，，求得，继而得到，根据平行四边形的面积得． （2）当点P在x轴的上方时，C，D两点是一对对称点，得到，，轴，得，，于是点恰好是抛物线与y轴正半轴的交点，设直线的解析式为，由直线经过点，故，解得，故直线的解析式为，同理可求点P在x轴的下方情况，解答即可． （3）根据题意，当点P在x轴的上方时，以为直径作圆交抛物线于点M和，连接，过点M作轴于点H，交于点G，，不妨设，，得到，解得，；；根据题意，当点P在x轴的下方时，以为直径作圆交抛物线于点和，连接，过点作轴于点N，交于点，根据（2）的直线的解析式为，得，求得；得到，不妨设，则，， 解得，此时；；解答即可． 【详解】（1）解：由，得， 解得， 故， 故抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D． ∴C，D两点是一对对称点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． （2）解：当点P在x轴的上方时， ∵点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D． ∴C，D两点是一对对称点， ∴，，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点恰好是抛物线与y轴正半轴的交点， 设直线的解析式为， 由直线经过点， 故， 解得， 故直线的解析式为， 当点P在x轴的下方时， ∵点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D． ∴C，D两点是一对对称点， ∴，，轴， ∴， ∵， ∴， 设直线与y轴交于点N， ∴， 则， 设直线的解析式为， 由直线经过点 故， 解得， 故直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． （3）解：根据题意，当点P在x轴的上方时，以为直径作圆交抛物线于点M和，连接，过点M作轴于点H，交于点G， ∵轴， ∴， 故四边形是矩形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵M在抛物线上， 不妨设， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 当时，，此时； 当时，，此时； 根据题意，当点P在x轴的下方时，以为直径作圆交抛物线于点和，连接，过点作轴于点N，交于点， ∵轴， ∴， 故， 根据（2）的直线的解析式为， 根据题意，得， 解得或， 故； ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵在抛物线上， 不妨设， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，符合题意的点有点或或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，抛物线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，圆的性质，三角函数的综合应用，解一元二次方程，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握性质，待定系数法，三角函数的应用是解题的关键． 17．（2025·广东清远·一模）在平面直角坐标系中，若一个点到两坐标轴的距离相等，则该点称为“雁点”，如等称为“雁点”．若抛物线过点和，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式． (2)若是抛物线上的“雁点”，求的面积． (3)若是轴下方抛物线上一点，连接，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，是否存在点，使得刚好为“雁点”？若存在，请直接写出所有点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 (3)存在，点的坐标为或或 【难度】0.4 【分析】（1）根据待定系数法即可求解． （2）求出点的坐标为，点的坐标为，设，由为抛物线上的“雁点”，得或，求出点的坐标，再根据求解即可． （3）分为①当点在点左侧时，过点作轴的平行线，再作，垂足分别为，若，若，②当点在点右侧时，若，若，分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点和， ， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：当时，则， 解得， 点的坐标为，点的坐标为． ． 设，由为抛物线上的“雁点”， 得或， 解得：， 点的坐标为或或或． ， 的值为或或． （3）解：存在． ①当点在点左侧时，过点作轴的平行线，再作，垂足分别为，如图所示． 已知，设， 若，则． 则，，，， ∵， ∴， ， 即， 解得， 此时． 若，同理可求得或． ②当点在点右侧时， 若，同理可求得，不满足点在轴下方，舍去； 若，同理可求得此时， 点的坐标为． 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，解一元二次方程，三角形面积，等腰直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 18．（2025·湖北武汉·三模）已知抛物线与直线在第一象限交于点，且． (1)求点的坐标及的值； (2)如图1，为抛物线上一点，轴交线段于点．若为等腰三角形，直接写出点的横坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，若平分，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为， (2)点的横坐标为3或4或 (3) 【难度】0.4 【分析】（1）根据题意设，过点作轴，则，由勾股定理可得，可求得点的坐标为，再利用待定系数法可求得的值； （2）由（1）可知抛物线为，设，由题意得，且，则，，，分三种情况：当时，即，当时，即，当时，即，分别列出方程即可求解； （3）过点作轴，由（1）可知，，令直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点，则，则平分，先证明，得，过点作轴，过点作轴，则，得证，可知，，而直线交抛物线于，两点，得，解得：，由，可知，即，解得，可得，则，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线在第一象限交于点， ∴设，过点作轴，则， 由勾股定理可得， ∵， ∴，即点的坐标为， 将代入，得， 解得：； （2）由（1）可知抛物线为， 设， ∵轴交线段于点， ∴，且， 则，， 当时，即， ∴，解得：（或5不符题意，应舍去） 当时，即， ∴，解得：（不符题意，应舍去） 当时，即， ∴，解得：（或不符题意，应舍去） 综上，点的横坐标为3或4或； （3）过点作轴，由（1）可知， ∴， 令直线与轴，轴分别交于点，点，与交于点， 则，则平分， ∴，，则， ∵平分， ∴，则 ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作轴，过点作轴，则， ∴， ∴，， 而直线交抛物线于，两点， ∴，整理得， 解得：， 即，， ∴，， ∵， ∴，即 解得， ∴，直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析，图形与坐标，等腰三角形，勾股定理，全等三角形的判定及性质等知识点，理解题意，分类讨论，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 19．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【难度】0.4 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，分①；②；③三种情况讨论，利用直角三角形的性质列出方程，解出的值，得到点的坐标，代入抛物线即可求出的值； （3）联立抛物线和直线的解析式，得到，再联立抛物线和直线的解析式，同理可得，得出，再利用即可求解． 【详解】（1）解：代入和到抛物线得，， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）得，， 抛物线， 令，则， ， 又， ， 第一象限点在抛物线上， 设， ①若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：（舍去）； ②若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； ③若，取的中点为，则， ， ， 解得：或（舍去）或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； 综上所述，的值为2或． （3）解：联立， 消去整理得：， 直线与抛物线交于点、， ， 联立， 消去整理得：， 同理可得，， ， 四边形的面积 ， 四边形的面积与的函数关系式为． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会运用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 20．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【难度】0.65 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏． （1）依题设点，代入，得，则，即可求解； （2）①由待定系数法的即可求解； ②设，若是以为直角边的直角三角形，分为两种情况：或，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题设点，代入，得， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：①抛物线经过点，，且， ， 解方程组得：， 抛物线的表达式为：， ， 顶点． ②是抛物线上的点， 设， 若是以为直角边的直角三角形， 只有两种情况：或， 法1：（i）当时， 过点作直线轴，于，于， ， ，可得， ， ， ， 即， 整理得， 或（舍去）， ． （ii）当时， 同理可得， ， 或（舍去）， ． 综上所述：． 法2：，，， （i）当时，， ∴， 解得：或， ， ； （ii）当时，， ∴， 解得：或， ， ． 综上所述：． 21．（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 【答案】(1)； (2)点D到的距离为； (3)，． 【难度】0.4 【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可； （2）利用矩形对角线相等求出，所以，再求出C点坐标，进而利用的面积建立方程求解即可； （3）先求出直线的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入得，， ∴，， 将A、B代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：如图， ∵，， ∴中点坐标为， 被y轴平分， ∴为对角线， ∴， ∴， 由可知，当时，， ∴， ∴，， 设点D到的距离为h， 则， ∴， 即点D到的距离为； （3）解：∵直线与x轴交于点E， ∴当时，，即， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设，，且， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即， 将代入上式得， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22．（2025·安徽滁州·二模）抛物线过点，点，C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)点P在抛物线上，且位于直线下方，过点P作平行于x轴交直线于点Q，求的最大值； (3)M为抛物线上一点，N为抛物线对称轴上一点，若，且，求点M和点N的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【难度】0.4 【分析】（1）利用待定系数法即可求解出解析式，进而出顶点坐标； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，求出，再求出，即可求解； （3）根据题意，当，且，以为对边的四边形是平行四边形，设，求出直线的解析式为，进而求出，分为对角线和为对角线两种情况讨论，根据平行四边形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：，解得：， ∴抛物线的表达式为； ∵， ∴抛物线的顶点C的坐标为； （2）解：如图， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，则， ∴， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为， 则，解得， ∴， ∴， ∴，且， ∴当时，有最大值为； （3）解：∵，且， ∴为对边的四边形是平行四边形， 设，直线的解析式为， 将代入， 则， ∴， ∴直线的解析式为， ∵N为抛物线对称轴上一点，抛物线对称轴为， 将代入， 则， ∴， ∵，， 当为对角线时， 则，解得， 则， ∴； 当为对角线时， 则，解得， 则， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及二次函数解析式，图像与性质，二次函数与线段的问题，一次函数与几何的应用，平行四边形形的性质，灵活应用分类讨论的思想是解题的关键． 23．（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接．若，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或或． 【难度】0.15 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设，分①当点与点重合和点与点重合时，利用平行四边形的判定和性质，求解即可； （3）分三种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：设， ①当点与点重合时，交轴于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分， ∵，， 设， ∴， 整理得，即， ∴， ∴； ②当点与点重合时，交轴于点， ∵，， 设， 同理，四边形是平行四边形，对角线互相平分， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为或； （3）解：∵，设，则， ∴， 如图，作于点，交直线于点，过点和作轴的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 如图，作于点，交直线于点，过点作轴的平行线，过点和作的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 如图，作于点，交直线于点，过点作轴的平行线，过点和作的垂线，垂足分别为和， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵共线， ∴将代入， 得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解题时综合运用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，注意分类讨论数学思想的应用，难度较大． 24．（2025·湖北·模拟预测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）交轴于点，交轴于点，点坐标为，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，且点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图②，连接，当点在抛物线上点之间运动时（不与点重合），过点作直线轴于点，交于点．若，求的值； (3)若点在抛物线对称轴的左侧，以点为对称中心，构造正方形，且在轴上（点在点的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【难度】0.4 【分析】（1）将点，代入抛物线的解析式用待定系数法即可求解； （2）令，解之可得，进而可求直线解析式为． 由点E在抛物线上的点A，C之间，点，，，求得，，根据题意建立方程求解即可； （3）由题可得，，则，即，根据题意画出图形，结合图形建立方程，根据题意写出取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点， 将代入得：， 解得， ∴该抛物线的解析式是． ∵， ．     （2）解：令，解得，， ， 设直线的解析式为，将代入， 解得， ∴直线解析式为． ∵点E在抛物线上的点A，C之间， ∴． 由点，，， ， ∴． ∵， ∴， 解得，而， ∴ （3）解：由题可得，，则，即， 如图所示：此时边经过点，正方形与抛物线有3个交点，， 解得，或， ， ， 正方形与抛物线有2个交点时，； 当点与点重合时，正方形与抛物线有3个交点，如图所示： 此时， 解得，（舍去）或， 当时正方形与抛物线有2个交点， 综上所述，正方形与抛物线有2个交点时，的取值范围是： 或． 【点睛】本题主要是考查了二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数的表达式，二次函数 与线段问题，二次函数与特殊四边形的问题，点的坐标求解，其中(3)要注意数形结合，分类讨论，避免漏解． 25．（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，将函数（为常数）的图象记为，点的坐标为． (1)当点在图象上时，试解答以下问题： ①求函数的解析式； ②将抛物线在的那部分函数图象沿直线翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部分合记为图象，若函数与图象至少有三个交点，求的取值范围； (2)当时，将点向左平移2个单位长度得到点，连结，以为边向上方作矩形，使．当图象与矩形只有两个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【难度】0.4 【分析】（1）①将代入，利用待定系数法即可求解； ②，当时，，解得或，作出图象，如图，由轴对称可知，图象最高点的函数值为1，此时或2，可知直线与图象有两个交点，直线与图象有三个交点，由此可得答案； （2）由题意可得，，，图象的顶点坐标在直线上，分情况：当在线段上时，当在重合时，当在点左侧，且点在图象下方时，当在点左侧，且点在图象上及下方时，结合图形即可求得答案． 【详解】（1）解：①将代入，得， 解得， ∴函数的解析式为； ②， 当时，，解得或， 将抛物线在的那部分函数图象沿直线翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部分合记为图象，如图， 由轴对称可知，图象最高点的函数值为1，此时或2， ∴直线与图象有两个交点，直线与图象有三个交点； ∵函数与图象至少有三个交点， ∴； （2）∵点的坐标为，将点向左平移2个单位长度得到点，连结，以为边向上方作矩形，使， ∴，，， ∵， ∴则图象的顶点坐标在直线上， 当在线段上时，，即，此时，图象与矩形有三个公共点，不符合题意； 当在重合时，，即，此时，图象与矩形有两个公共点，符合题意； 当在点左侧，且点在图象下方时，，即，此时，图象与矩形有两个公共点，符合题意； 当在点左侧，且点在图象上及下方时，，即，此时，图象与矩形最多只有一个公共点，不符合题意； 综上，图象与矩形有两个公共点，的取值范围为． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，特别是考查了含参数的二次函数的最值，以及含参数的二次函数图像与几何图形的交点个数问题，利用二次函数图像解不等式问题，掌握数型结合是解题的核心关键． 26．（2025·广东珠海·一模）【问题背景】 如题1图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，抛物线对称轴交轴于点，抛物线与双曲线交于点，把点绕点顺时针旋转得到的对应点． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点是否在双曲线上． （2）如题2图，双曲线与抛物线对称轴交于点，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如题3图，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 【答案】（1）双曲线的解析式为；抛物线的解析式为；点在双曲线上；（2）见解析；（3）点的坐标 【难度】0.4 【分析】（1）待定系数法先求出k的值，即可得到反比例的函数解析式，再将，代入中，解方程组即可得到抛物线的解析式；进而得到点D的坐标，分别作轴，轴，分别交轴于、两点，证明，得到点Q的坐标，即可判断； （2）证明，即可得到结论； （3）分与重叠部分是点，与重叠部分是点，两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）把代入中， ∴ ∴双曲线的解析式为 把，代入中，可得方程组 ，解得 ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∴ 点在双曲线上，理由如下： 分别作轴，轴，分别交轴于、两点，如图 ∴ ∵把点绕点顺时针旋转得到的对应点 ∴， ∴，， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴ ∴点在双曲线上． （2）∵双曲线与抛物线对称轴交于点， ∴， ∴ ∵，抛物线对称轴为直线，、关于对称轴对称 ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ （3）①当与重叠部分是点时，如图 分别作轴，轴，分别交轴于、两点 ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， 点的坐标． ②当与重叠部分是点时，如图 ∴点在线段上 ∵抛物线解析式为， ∴ ∵， ∴直线的解析式为 ∴设的坐标为 ∵， ∴ 解得，（舍去） 点的坐标． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握并综合应用有关性质进行求解． 27．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）二次函数交轴A，B两点，与轴交于点，． (1)如图1，求抛物线解析式； (2)如图2，是抛物线上第一象限的点，连接交轴于，点横坐标为，的长度为，请用的式子表示； (3)如图3，在（2）的条件下，当点纵坐标大于4时，轴于，为第四象限抛物线上一点，满足，连接，射线绕顺时针旋转与过点平行于轴的直线交于，连接与抛物线交于点，连接，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.15 【分析】（1）由可得，，，则可得，又由可求，进而可得抛物线的解析式为． （2）过P点作轴于R点，易得，则，由题知，，，，代入比例式中求解即可． （3）设 与x轴的交点为G，由可得，设，则可得，则可得，设，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，再联立，求得，连接交于F点 则可得，列比例式可求得，进而可得． 【详解】（1）解：由图知， 由得， 时，， ∴， ∴； 当时，, , , ∴, , ∴, , ∴． ∵, ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过P点作轴于H点， 则， ∴， ∵是抛物线上第一象限的点，点横坐标为，的长度为，, ∴，，，， ∴， 解得； （3）解：如图，设 与x轴的交点为G， ， ， 设， ， ， 又， ， 又， ， ， 设，则， ， ， ， ， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 联立， 得， 解得，， ，， ， 连接交于F点， ，， 轴， 轴， ， ， ， 又， ， ， ， ， 解得， ，， ． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数，二次函数与几何的综合运用，相似三角形的判定和性质，难度较大．熟练掌握以上知识是解题的关键． 28．（2025·广东云浮·一模）如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接， (1)求的值及抛物线的解析式． (2)点是直线上方的抛物线上的一点，过点作直线交于点，求线段长度的最大值． (3)在的条件下，点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图所示构造等腰直角，点的横坐标为，记与公共部分的面积为，直接写出关于的函数关系式 ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【难度】0.4 【分析】利用待定系数法把点的坐标代入，即可求出的值，把点和点的坐标代入，求出、的值即可得到二次函数的解析式； 根据平行线的性质可证，根据相似三角形的性质可得，设点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标是，把的长度用含的代数式表示出来，可得：，从而可得：，利用二次函数的数质可知的最大值是； 利用待定系数法分别求出、的解析式，根据直线的解析式和直线的解析式可以求出点的坐标，然后分四种情况求重叠部分面积的解析式，第一种情况、点下方时，第二种情况、线段与线段相交时，第三种情况、线段与线段相交时，第四种情况、点在点上方时． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得： ， 抛物线的解析式为； （2）解：由可知直线的解析式为， 如下图所示，分别过点 、 作 轴平行线分别交 于点 、， ， ，， ， ， ， ， 设点的坐标是， 则点的坐标是，点的坐标是， ， 由点和点的坐标， 可得：，， ， ， 整理得：， 当时，有最大值，最大值是；     （3）解：在的条件下，点的坐标是， 设过点和点的直线的解析式为， 可得：， 解得：， 过点和点的直线的解析式为， 设直线的解析为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析为， 解方程组， 可得：， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标是，则点的坐标是， 则点的坐标为， 当时，与公共部分的面积为的面积， ； 如下图所示，当轴时，线段与直线相交时， 则有， 解得：， 当时，线段与相交， 点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标为， 则， 重叠部分的面积是的面积， 点的坐标为， 当点的纵坐标为时，可得：， 解得：， ， ， 整理得：； 当点的坐标为时，点到达点的位置， 当时，线段与线段相交， 如下图所示， 点的坐标是，则点的坐标是，点的坐标为， 当时，可得：， 此时重叠部分原面积为， 整理得：； 当点与点重合时，点的坐标是，点的坐标是， 此时记与公共部分的面积为． 综上所述， 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合运用，难度较大，解决本题的关键是根据动点移动的情况确定两个三角形重叠部分的图形的形状，借助规则图形的面积公式求出不规则图形的面积． 29．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，． (1)求拋物线的解析式； (2)如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值． (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【难度】0.4 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，待定系数法求出直线的解析式为，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于，则，求出，得出，设，则，，证明，，由相似三角形的性质结合二次函数的性质得出 当时，有最大值，此时，由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，最后由勾股定理计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，求出平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线，从而可得，设点的坐标为，由旋转的性质可得点为、、的中点，从而可得，，，再分三种情况：当点、在平移后的抛物线上时；当点、在平移后的抛物线上时；当点、在平移后的抛物线上时，分别求解即可得解． 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点为拋物线上一点，且横坐标为1， ∴当时，，即， 设的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于，过点作轴交的延长线于， 则， 在中，当时，，即， ∴， 设，则，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时，即， 由三角形任意两边之差小于第三边可得，当点、、三点共线时，的值最大，为，由勾股定理可得 （3）解：， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移， ∴设将抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵平移后的拋物线经过点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴平移后的抛物线的解析式为，其对称轴为直线， ∵为平移后抛物线上一点， ∴，即， 设点的坐标为， ∵点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的， ∴点为、、的中点， ∴，，， ∵中恰有两个点落在平移后的抛物线上， ∴当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时； 当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时，与点重合，故不符合题意，舍去； 当点、在平移后的抛物线上时，， 解得：，此时； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—相似三角形的判定与性质、旋转的性质、求一次函数解析式、二次函数图象的平移等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数与几何综合问题 （线段，周长，面积，角度，特殊三角形，特殊四边形，三角形相似） 二次函数与线段周长问题 1．（2025·江苏无锡·二模）已知二次函数：的最小值为，其图象与轴交于和两点，与一次函数的图象交于、两点（在左侧），过点作轴的平行线． (1)求二次函数的表达式； (2)过点作的垂线，垂足为，求证：； (3)取中点，过点作的垂线，垂足为，与二次函数的图象交于点，连接，试探究和的数量关系． 2．（2025·湖北襄阳·一模）如图，直线分别交轴于，点，抛物线经过，两点且与轴交于另一点，点是轴上方抛物线上一点，且点的横坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)如图，当点是抛物线的顶点时，连接交于点．求与之间的数量关系； (3)过作轴于，轴于，令矩形的周长为． 求与的函数解析式； 若矩形围成的区域（不含边界，即矩形四条边上的点不符合区域）记为，当且内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出的取值范围． 3．（2025·湖南常德·二模）已知：如图1，二次函数与x轴相交于A，两点，与y轴交于点C，连接，P是第一象限的抛物线上一点． (1)求二次函数和直线的表达式； (2)连接与交于点G，若，求点P的坐标； (3)如图2，已知M，N是x轴上点B左侧（N不与B重合）两个动点，M在N的左边，，连接交于点E，连接交于点F，求的最小值． 4．（2025·江苏连云港·一模）已知抛物线（为常数，）经过点，函数图像与轴交于点，（在的左边），其对称轴与轴相交于点． (1)求的值； (2)为轴上方抛物线上的动点，过点作直线，，分别交抛物线的对称轴于点，．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)已知坐标系中有一直线，点为抛物线上任意一点，点为直线上任意一点，如果，两点间的距离的最小值大于2，求的取值范围． 5．（2025·安徽宿州·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点，，连接． (1)求a，b的值． (2)P是抛物线上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得的面积恰好为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)M（不与点A，C重合）是线段上的一个动点，过点M作轴，垂足为D．延长，交抛物线于点E，过点E作，垂足为F，求周长的最大值． 二次函数与面积问题 6．（2025·山东济南·二模）如图所示，二次函数图象的对称轴为直线，顶点为A，与y轴相交于点B，且经过点，直线l：与y轴交于点D，P为抛物线上对称轴左侧的一点，设P点横坐标为m，连接，过点P作直线轴，与直线l交于点M． (1)求二次函数的表达式； (2)如图 1，过点P作，垂足为Q，连接，当与面积相等时，求m的值； (3)如图 2，当时，连接，直线与相交于点N，连接，求的最小值并直接写出此时m的值． 7．（2025·安徽安庆·一模）已知抛物线过点，抛物线（其中为常数）． (1)求的值和的顶点坐标． (2)已知无论为何值，与总交于一个定点，这个定点的坐标为________； (3)当时，平移抛物线，使其顶点在抛物线上．平移后的抛物线与轴交点记为，顶点为，点为坐标原点．当时，求面积的最大值． 8．（2025·海南海口·一模）如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标； (3)当时，y的取值范围是，且，求a的值． 9．（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线 (a为常数)，该函数图象的顶点为 M． (1)若 求顶点M的坐标； (2)将抛物线L先向右平移 个单位，再向上平移 个单位后得到抛物线，其顶点为 与x轴交于点A 和点B(点A在点B的左侧)，且点 在直线 上，若 求a的值； (3)在（2）的条件下，点P为直线l下方抛物线上一动点，抛物线与直线l交于点C和点D(点C在点 D 的左侧)，当 面积最大时，求点 P 的坐标和 面积的最大值． 10．（2025·河南·二模）如图1是某校劳动基地示意图，其外轮廓可以近似看成一条抛物线的一部分，经测量，，，．如图2，李老师以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，取的中点，连接，过点作的垂线交抛物线于点，将基地划分为三个区域用于种植不同的蔬菜，测得．       (1)求抛物线的函数表达式． (2)为了保证种植前期幼苗的成活率，需要在抛物线上选取一点，安装一个遮阳网，当遮阳网面积最大时，求点的横坐标． 二次函数与角度问题 11．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标； (3)抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 12．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知二次函数(a是常数，且)的图像与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，并将图像中位于y轴左侧的部分作关于y轴的对称图像，该对称图像记为图像． (1)则点A坐标为 ，点B坐标为 ； (2)若直线是常数交图像于点D，E(点D在点E的左侧)，并与图像 交于点F，若 ，求a与m的数量关系； (3)当时，连接，图像上是否存在一点P，过点P作⊥直线，垂足为点Q，连接，使得？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n． (1)求原抛物线的表达式； (2)求m关于n的函数解析式； (3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围． 15．（24-25九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，．抛物线与轴交于，两点． (1)如图1，若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，为线段上一点，连接，若，请判断和是否相等，并说明理由； (3)若抛物线的顶点为，取的中点，则以，，为顶点的三角形能否为直角三角形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由． 二次函数与特殊三角形问题 16．（2025·江苏常州·一模）已知：如图，抛物线与x轴交于点A、B，它的对称轴交x轴于点Q．点P是对称轴上的一动点(不与点Q重合)，过点P作轴，交抛物线于点C、D．(点C在点D的右侧)． (1)如图1，连接，若四边形是平行四边形，则_____； (2)如图2，连接，交对称轴于点T，连接，当时，求直线的函数表达式； (3)在(2)的条件下，在该抛物线上取一点M，使得是以为斜边的直角三角形，请直接写出点M的坐标． 17．（2025·广东清远·一模）在平面直角坐标系中，若一个点到两坐标轴的距离相等，则该点称为“雁点”，如等称为“雁点”．若抛物线过点和，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式． (2)若是抛物线上的“雁点”，求的面积． (3)若是轴下方抛物线上一点，连接，以点为直角顶点构造等腰直角三角形，是否存在点，使得刚好为“雁点”？若存在，请直接写出所有点的坐标． 18．（2025·湖北武汉·三模）已知抛物线与直线在第一象限交于点，且． (1)求点的坐标及的值； (2)如图1，为抛物线上一点，轴交线段于点．若为等腰三角形，直接写出点的横坐标； (3)如图2，直线交抛物线于，两点，若平分，求的面积． 19．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 20．（2025·上海崇明·二模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点． (1)求直线的解析式以及点的坐标； (2)已知抛物线经过直线上的“倒数点”点和点，顶点为． ①求顶点的坐标； ②抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点的坐标． 二次函数与特殊四边形问题 21．（2025·上海徐汇·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 22．（2025·安徽滁州·二模）抛物线过点，点，C是抛物线的顶点，D是抛物线与y轴的交点． (1)求抛物线的表达式及点C的坐标； (2)点P在抛物线上，且位于直线下方，过点P作平行于x轴交直线于点Q，求的最大值； (3)M为抛物线上一点，N为抛物线对称轴上一点，若，且，求点M和点N的坐标． 23．（2025·山东·二模）二次函数的图象过点，，连接，点是抛物线上一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，若点在轴左侧的抛物线上运动，平移线段，使其一个端点与点重合，另一个端点恰好落在轴上，求点的坐标； (3)如图2，若点在轴右侧的抛物线上运动，作直线，交轴于点，将直线绕点逆时针旋转得直线，交轴于点，连接．若，直接写出点的坐标． 24．（2025·湖北·模拟预测）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）交轴于点，交轴于点，点坐标为，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，且点的横坐标为． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标； (2)如图②，连接，当点在抛物线上点之间运动时（不与点重合），过点作直线轴于点，交于点．若，求的值； (3)若点在抛物线对称轴的左侧，以点为对称中心，构造正方形，且在轴上（点在点的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时的取值范围． 25．（2025·广东广州·一模）在平面直角坐标系中，将函数（为常数）的图象记为，点的坐标为． (1)当点在图象上时，试解答以下问题： ①求函数的解析式； ②将抛物线在的那部分函数图象沿直线翻折得到新的函数图象，翻折前后的两部分合记为图象，若函数与图象至少有三个交点，求的取值范围； (2) 当时，将点向左平移2个单位长度得到点，连结，以为边向上方作矩形，使．当图象与矩形只有两个公共点时，求的取值范围． 二次函数与三角形相似问题 26．（2025·广东珠海·一模）【问题背景】 如题1图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于、两点，交轴于点，抛物线对称轴交轴于点，抛物线与双曲线交于点，把点绕点顺时针旋转得到的对应点． 【构建联系】 （1）分别求出抛物线和双曲线的解析式，并说明点是否在双曲线上． （2）如题2图，双曲线与抛物线对称轴交于点，连接，，求证：． 【深入探究】 （3）如题3图，连接、，将绕着点旋转得到，其中点、分别是、两点的对应点，在旋转的过程中，当与重叠部分恰好是一个点时，求出此时点的坐标． 27．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）二次函数交轴A，B两点，与轴交于点，． (1)如图1，求抛物线解析式； (2)如图2，是抛物线上第一象限的点，连接交轴于，点横坐标为，的长度为，请用的式子表示； (3)如图3，在（2）的条件下，当点纵坐标大于4时，轴于，为第四象限抛物线上一点，满足，连接，射线绕顺时针旋转与过点平行于轴的直线交于，连接与抛物线交于点，连接，，，求点坐标． 28．（2025·广东云浮·一模）如图1，抛物线与直线在第一象限内相交于点，与轴的正半轴相较于点，连接， (1)求的值及抛物线的解析式． (2)点是直线上方的抛物线上的一点，过点作直线交于点，求线段长度的最大值． (3)在的条件下，点是直线上的一个动点，是的中点，以为斜边按图所示构造等腰直角，点的横坐标为，记与公共部分的面积为，直接写出关于的函数关系式 ． 29．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点为拋物线上一点，且横坐标为1，连接，． (1)求拋物线的解析式； (2)如图1，点是第三象限内抛物线上的一个动点，点为轴上一个动点．过点作交于点，连接交于点．当最大时，求的最大值． (3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，使平移后的拋物线经过点，点为平移后抛物线上一点，，连接，．点为平面内任意一点，将绕点旋转后得到对应的（点，，的对应点分别为点，，）．若中恰有两个点落在平移后的抛物线上（点不与点重合），求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$