精品解析：浙江省杭州地区(含周边)重点中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

绝密★考试结束前 2024学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 若a为实数，且，则　　 A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 4. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 6. 若函数（且）满足：对于任意、且，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，，满足有解，则 8. 已知函数的最小正周期为，当时，函数取得最大值，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选错的得0分． 9. 若复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 在复平面内对应的点在第二象限 10. 如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（ ） A. 该水杯侧面积为 B. 该水杯里牛奶的体积为 C. 放入的椰果半径为 D. 该水杯外接球的表面积为 11. 在中，是中点，，且交于，则（ ） A. 为的中点 B. C. 若，且，则 D. 若，则最大值为． 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 13. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，飞机在点到，点的俯角分别为，，飞行3千米后，在点到，点的俯角分别为，，则测得两山顶，间距离为______千米． 14. 设为的外心，若，则等于______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若，是夹角为的两个单位向量，已知向量， （1）若向量，共线，求实数的值； （2）若，求向量，的夹角． 16. 已知正方体的棱长为3， （1）求四棱锥的体积； （2）若点，分别为，的中点，求过点，，的平面截正方体所得的截面的周长． 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出，，的值和函数的解析式； （2）设，若函数图像在上有2个零点，求的取值范围； （3）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值． 18. 已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：； 变换：，其中． （1）若，，对进行变换后得到函数，解方程； （2）若，，对进行变换后得到函数，解不等式； （3）定义：先对进行变换得到函数；再对进行变换得到函数．设，．证明：无论是奇函数还是偶函数，函数的图象总关于直线对称． 19. 如图，在中，，为边上的三等分点，，． （1）若，求的面积； （2）求长最大值； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★考试结束前 2024学年第二学期期中杭州地区（含周边）重点中学 高一年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合中元素范围，然后再求即可. 【详解】由已知或， ， . 故选：B. 2. 若a为实数，且，则　　 A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案． 【详解】解：∵a为实数，且（1+ai）（a﹣i）＝2a+（a2﹣1）i＝2， ∴2a＝2且a2﹣1=0，解得a＝1． 故选C． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 3. 已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据平面向量数量积和模的坐标表示，结合投影向量的概念求解即可. 【详解】由，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：C 4. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、三角不等式及充分不必要的定义即可判断. 【详解】因为，，所以， ，即， 所以是钝角三角形， 当是钝角三角形，且时， 当为钝角时，，此时. 所以“”是“是钝角三角形”的充分不必要条件. 故选：. 5. 已知，，则（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据和差公式及同角关系式即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以 故选：. 6. 若函数（且）满足：对于任意、且，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】不妨设，由可得， 所以，函数在上为减函数， 函数在上为减函数，则，解得； 函数在上为减函数，则； 且有，即， 所以有，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 7. 在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，，满足有解，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算可判断；利用余弦定理解三角形可判断；利用边化角及三角函数的性质可判断；利用正弦定理及三角函数的性质可判断 【详解】对于：，则角，所以与的夹角为， 所以，故错误； 对于：由余弦定理得， 即，解得，故错误； 对于：由，得， 所以，所以或， 即或，即是等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于：， 所以，所以， 又因为，则，所以为锐角，所以，故正确. 故选：. 8. 已知函数的最小正周期为，当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数的图象与性质求得，利用诱导公式化简，结合正弦函数的单调性即可求解. 【详解】由的最小正周期为，，得，所以； 又当时，取到最大值， 所以，解得， 因为，所以，故. 所以， ， ， 又，所以， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选错的得0分． 9. 若复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部是 B. C. D. 在复平面内对应点在第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】根据虚部的定义求解A，根据共轭复数的定义求解B，根据模长公式可求解C，化简复数，即可根据几何意义求解. 【详解】对于A， 的虚部是2，故A错误， 对于B， ，B正确， 对于C， ，C正确， 对于D， ，故对应的点为，位于第三象限，故D错误， 故选：BC 10. 如图，已知圆台形水杯盛有牛奶（不计厚度），杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面的高度为水杯高度的一半，若加入37颗大小相同的椰果（球形），椰果沉入杯底，牛奶恰好充满水杯，则（ ） A. 该水杯侧面积为 B. 该水杯里牛奶的体积为 C. 放入的椰果半径为 D. 该水杯外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆台的侧面积公式即可求解A，根据圆台的体积公式即可求解B，结合球的体积即可求解C,利用勾股定理求解半径，即可根据表面积公式求解D. 【详解】由题意可知圆台的上底面圆半径为，下底面圆半径，圆台的高， 设圆台的母线为，则， 故圆台的侧面积为，故A错误， 牛奶面所在的圆的半径为， 故水杯中牛奶的体积为，故B正确， 水杯的体积为, 故37个小球的体积为， 设小球的半径为，进而,解得，故C正确， 设水杯的外接球的球心到上底面的距离为,则，解得， 故外接球的半径为，故其表面积为，故D正确， 故选：BCD 11. 在中，是中点，，且交于，则（ ） A. 为的中点 B. C. 若，且，则 D. 若，则的最大值为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算、数量积运算及三点共线的性质逐一分析可判断；根据向量的数量积运算、向量夹角的余弦值公式结合基本不等式可判断. 【详解】对于：由题意得， 设，因为三点共线， 所以，且，解得. 所以，所以为的中点，故正确； 对于：由知为的中点， 所以，故错误； 对于：由知， ，故正确； 对于：设， 所以，， 因为， 所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以的最大值为，故正确. 故选：. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，则由题意可得，求出，从而可求出侧面积，进而可求得其表面积 【详解】设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形， 所以，解得， 所以圆锥的表面积为， 故答案为： 13. 如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，飞机在点到，点的俯角分别为，，飞行3千米后，在点到，点的俯角分别为，，则测得两山顶，间距离为______千米． 【答案】 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故， 所以 故答案为：. 14. 设为的外心，若，则等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量共线以及余弦定理、诱导公式求得正确答案. 【详解】设圆为三角形的外接圆，半径为， 由于， 所以，. 设，则， 在三角形中，由余弦定理得. 由及， 可知：， 又，所以， 由三角形内角和可知：， 所以，可得：，又， 可得：，又， 所以 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 若，是夹角为的两个单位向量，已知向量， （1）若向量，共线，求实数的值； （2）若，求向量，夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由共线得到，构造等式求解即可； （2）由向量的数量积求得，模长，代入夹角公式即可. 【小问1详解】 由向量，共线可知，存在实数，使得， 即， 因此， 由于，不共线，必有， 解得 【小问2详解】 因为，是夹角为的两个单位向量， 所以， ； ； ； 代入， 又 所以向量，的夹角为． 16. 已知正方体的棱长为3， （1）求四棱锥的体积； （2）若点，分别为，的中点，求过点，，的平面截正方体所得的截面的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用体积公式即可求解， （2）根据题意得截面为五边形，即可利用三角形的边角关系求解长度得解. 【小问1详解】 由正方体特征知， 【小问2详解】 如图，延长交于点，延长交于点，连接交于点，连接交于点，连接，．则过点，的平面截正方体所得的截面为五边形． 因为为的中点，为的中点， 所以，， 所以，， 所以， ， ， 即截面周长为． 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出，，的值和函数的解析式； （2）设，若函数图像在上有2个零点，求的取值范围； （3）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求的最小值． 【答案】（1）表格见解析，，，， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据周期以及最值可求解和，进而可求解， （2）根据整体法，结合正弦函数的图像，即可根据图像交点求解， （3）根据函数平移可得的表达式，进而利用整体法，结合正弦函数的对称中心，即可求解. 【小问1详解】 根据表中已知数据，可得，周期为， 由表可知，故，故， 故，，解得，， 【小问2详解】 若函数图像在上有2个零点，即与在上有2个交点． 由得，， 结合图像知：， 【小问3详解】 由（1）知，得． 因为的对称中心为，． 令，解得，． 由于函数的图象关于点成中心对称，令， 解得，．由可知，当时，取得最小值． 18. 已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作： 变换：； 变换：，其中． （1）若，，对进行变换后得到函数，解方程； （2）若，，对进行变换后得到函数，解不等式； （3）定义：先对进行变换得到函数；再对进行变换得到函数．设，．证明：无论是奇函数还是偶函数，函数的图象总关于直线对称． 【答案】（1） （2）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据变换计算即可求解； （2）根据变换、利用三角恒等变换的化简计算建立不等式，解之即可求解； （3）根据、变换可得，利用定义法证明：无论是奇函数还是偶函数，都是偶函数，即证. 【小问1详解】 由变换得：，解得 【小问2详解】 由变换得： ， 解不等式得： 或，， 故不等式的解集为，即， 【小问3详解】 由变换得：； 由变换得：， 即， 若是奇函数，得，， 由， 所以是偶函数． 若是偶函数，得，， 由， 所以是偶函数． 所以无论是奇函数还是偶函数，都是偶函数， 则图象总关于直线对称． 19. 如图，在中，，为边上的三等分点，，． （1）若，求的面积； （2）求长的最大值； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意判断为正三角形，根据三角形的面积公式计算即可求解； （2）根据正弦定理可得，根据余弦定理可得（其中），结合三角函数的有界性即可求解； （3）设，则，根据正弦定理可得、，进而，结合给值求值型问题计算即可求解. 【小问1详解】 在中，由且，得为正三角形， 所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得， 即，所以， 在中，由余弦定理得 （其中） 因为，所以， 又因为，所以可取到最小值． 所以，即最大值为. 【小问3详解】 设，由对称性知，， 则，， 所以， 在中，即，所以； 在中，，即，所以， 所以，化简得， 因为，所以，所以， 所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $