10.3.1频率的稳定性课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.3.1 频率的稳定性 1 学习目标 1、理解频率的稳定性； 2、理解频率与概率的关系，掌握用频率估计概率 重点：用频率估计概率 难点：频率与概率的关系以及用频率估计概率 小刚抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次. 思考：(1)你能计算出正面朝上的频率吗？ (2)抛掷一枚硬币一次出现正面朝上的概率是多少？ (1)正面朝上的频率为0.48. (2)正面朝上的概率为0.5. 情境导入 对于样本点等可能的实验，我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率.但在现实中，很多试验的样本点往往是等可能的或者是否等可能不容易判断. 例如，抛掷一枚质地不均匀的骰子，或者投掷一枚图钉，此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率，我们需要寻求新的求概率的方法. 情境导入 我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大， 在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小. 在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重复试验，用频率去估计概率.那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？ 情境导入 问题1：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较.你发现了什么规律？ 把硬币正面朝上记为1，反面朝上记为0，则这个试验的样本空间，，所以. 下面我们分别实施试验，考察随着试验次数的增加，事件的频率的变化情况，以及频率与概率的关系. 第一步：每人重复做25次试验，记录事件发生的次数，计算频率； 第二步：每4名同学为一组，相互比较试验结果； 探究思考 第三步：各组统计事件发生的次数，计算事件发生的频率,将结果填表. 问题2：比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件发生的频率. (1)各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？ (2)随着试验次数的增加，事件发生的频率有什么变化规律？ 探究思考 情景模拟 由于环境限制，我们使用计算机模拟试验，考察随着试验次数的增加，事件的频率的变化情况，以及频率与概率的关系,你能发现什么？ 利用计算机模拟两枚硬币的试验，在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率. 利用计算机模拟两枚硬币的试验，在重复试验次数为20,100,500时各做5组试验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率. 用折线图表示频率的波动情况： 情景模拟 由于环境限制，我们使用计算机模拟试验，考察随着试验次数的增加，事件的频率的变化情况，以及频率与概率的关系,你能发现什么？ 我们发现： (1)试验次数相同，频率可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性. (2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较大时，波动幅度较小.但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大. 情景模拟 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性. 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小， 即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率. 我们称频率的这个性质为频率的稳定性. 因此，我们可以用频率估计概率. 频率的稳定性 知识一 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知我国2014年、2015年新出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51． (1) 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率, 精确到0.001); (2) 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ 知识巩固 12 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知我国2014年、2015年新出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51． (1) 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(新生儿中男婴的比率, 精确到0.001); (2) 根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？ (2)由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度． 由于两年的男婴出生率都在0.53左右。 因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论． 要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断，还需要用统计学中假设检验的方法进行检验． 情景模拟 13 一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜．判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等． 在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次．据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的．你更支持谁的结论？为什么？ 解: 当游戏玩了10次时，甲乙获胜的频率都为0.5； 当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7． 根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小．相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近． 而游戏玩到1000次时，甲乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的．因此，应该支持甲对游戏公平性的判断． 14 (1)(2)班联合举办晚会，组织者策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一个代表先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目． 组织者利用分别标有数字1, 2, 3和4, 5, 6, 7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该方案对双方是否公平？为什么？ 和 4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 解：该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示： 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种， 其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种， 所以(1)班获胜的概率为0.5， (2)班获胜的概率也为0.5，是公平的． 问题3：气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”. 如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确. 那么如何理解“降水概率是90%”？又该如何评价预报的结果是否准确呢？ 降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的. 对“降水的概率为90%”比较合理的解释是： 大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨. 因此只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性. 如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实要下雨了，那么应该认为预报是准确的；如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确. 探究思考 辨析1:判断下列说法是否正确，并说明理由: (1) 抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上.( ) (2) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4.( ) (3) 当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率.( ) (4) 在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5( ) (1) 抛掷两枚硬币, 样本空间Ω={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}, 所以抛掷两枚硬币, 不一定是一次正面朝上, 一次反面朝上. (2) 不能说概率为0.4, 只能说正面朝上的频率为0.4. (4) 一次试验, 只能说事件发生和不发生的频率各是0.5. 知识辨析 × × × √ 辨析2. 用掷两枚硬币做胜负游戏, 规定: 两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜, 一个正面、一个反面算乙胜. 这个游戏公平吗? 解：这个游戏是公平的. 理由如下: 掷两枚质地均匀的硬币的样本空间Ω={(正,正), (正,反), (反,正), (反,反)}, 则两枚硬币同时出现正面或同时出现反面的概率为2/4=0.5， 即甲胜的概率为0.5， 一个正面、一个反面的概率也为0.5，即乙胜的概率为0.5， 所以这个游戏是公平的. 知识辨析 题型一：对频率与概率意义的理解 例1.给出下列4个命题： ①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品； ②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率； ④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是. 其中正确的命题为（ ）. A.① B.② C. ③ D.④ D 典例研究 解：①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的.②③混淆了频率与概率的区别.④正确. 理解概率与频率应关注的三个方面 (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件的本质属性，随机事件发生的概率是大量重复试验中事件发生的频率的近似值. (2)由频率的定义我们可以知道，随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映. (3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系. 对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件. 归纳总结 (多选)下列说法正确的是( ). A.概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 B.一次试验中不同的样本点不可能同时发生 C.任意事件发生的概率总满足 D.某种皮肤传染病的治愈率为0.9,100个病人前来看病，被治愈的可能有92人 ABD 练习巩固 解：由概率与频率的关系知A正确；不同的样本点是彼此互斥的，在同一试验中不可能同时发生，所以B正确；任意事件发生的概率满足，所以C错误；某种皮肤传染病的治愈率为0.9,100个病人前来看病，被治愈的可能有92人，所以D正确.综上，应选A、B、D. 题型二：频率估计概率 例2.某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： (1)若每辆车的投保金额为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； 赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 解：(1)设表示事件“应赔付金额为3000元”，表示事件“应赔付金额为4000元”，以频率估计概率得 由于投保额为2800元，赔付金额大于投保金额的情形是赔付3000元和4000元，与互斥，所以所求概率为. 典例研究 题型二：频率估计概率 例2.某保险公司利用简单随机抽样的方法，对投保的车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： 赔付金额(元) 0 1000 2000 3000 4000 车辆数(辆) 500 130 100 150 120 典例研究 (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率. 解：(2)设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主是新司机的有(位)，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机的有0.2(位)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为，由频率估计概率得. 某公司在过去几年内使用了某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：时)进行了统计，统计结果如下表所示： (1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率. 分组 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 解：(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223，0.193,0.165,0.042. (2)样本中使用寿命不足1500小时的频数是 所以样本中使用寿命不足1500小时的频率是，即灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6. 练习巩固 (1)由统计定义求概率的一般步骤： ①确定随机事的频率； ②由计算频率 (n为试验的总次数)； ③由频率估计概率. (2)概率可以看成频率在理论上的稳定值，从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.概率是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率. 归纳总结 题型三：游戏的公平性 例3.有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4. (1)甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率； 解：(1)记甲、乙摸出的数字为，则共有(种)情况， 则的有，共6种情况， 故甲获胜的概率为. 典例研究 题型三：游戏的公平性 例3.有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4. 典例研究 (2)摸球方法与(1)相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？请说明理由. (2)不公平.理由如下： 摸到的球上所标数字相同的情况有，共4种情况， 故甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，故不公平. 游戏公平性的标准及判断方法 (1)标准：游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同.若相同，则规则公平，否则就是不公平. (2)判断方法：具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较. 归纳总结 转盘被平均分成10等份(如图所示)，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案中选一种： A.猜“是奇数”或“是偶数”； B.猜“是4的整数倍”或“不是4的整数倍”. 请回答下列问题： (1)为了尽可能获胜，乙应怎么选？ (2)为了保证游戏的公平性，乙应选哪种猜数方案？ 解：选A方案，无论乙猜“是奇数”或“是偶数”，乙获胜的概率都是0.5； 选B方案，若乙猜“是4的整数倍”，则获胜的概率是，若乙猜“不是4的整数倍”，则获胜的概率是. 解：选A方案，无论乙猜“是奇数”或“是偶数”，乙获胜的概率都是0.5； 选B方案，若乙猜“是4的整数倍”，则获胜的概率是，若乙猜 “不是4的整数倍”，则获胜的概率是. (1)∵0.8>0.5， ∴为了尽可能获胜，乙应该选择方案B，猜“不是4的整数倍”. (2)为了保证游戏的公平性，应当选择方案A. ∵方案A无论乙猜什么，乙获胜的概率都是0.5， ∴甲获胜的概率也是0.5，两人获胜的概率相等，从而保证了该游戏的公平性. 频率与概率的区别与联系 名称 区别 联系 频率 概率 本身是随机的，在试验之前无法确定，大多会随着试验次数的改变而改变．做同样次数的重复试验，得到的频率值也可能会不同. 是一个[0,1]中的确定值，不随试验结果的改变而改变 （1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 （2）在实际问题中，事件的概率通常情况下是未知的，常用频率估计概率 课堂小结 31 估算法求概率的方法： (1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值． (2)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率． 课堂小结 32 $$