10.1.4 概率的基本性质课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.4 概率的基本性质 1 学习目标 1. 理解概率的基本性质,培养学生数学抽象的核心素养; 2. 掌握利用互斥事件和对立事件的概率公式解决与古典概型有关的问题,培养学生数学抽象、数学逻辑的核心素养。 一般而言,给出了一个数学对象的定义,就可以从定义出发研究这个数学对象的性质. 例如,在给出指数函数的定义后,我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质,这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用. 类似地,在给出了概念的定义后,我们来研究概率的基本性质. 思考1:你认为可以从哪些角度研究概率的性质? 下面我们从定义出发研究概率的性质, 例如:概率的取值范围;特殊事件的概率; 事件有某些特殊关系时,它们的概率之间的关系;等等. 由概率的定义,你可以发现什么? 任何事件的概率都是非负的; 在每次试验中,必然事件一定发生,不可能事件一定不会发生. 探究思考 一般地,概率有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即 概率的性质一二 知识一 在“事件的关系和运算”中我们研究过事件之间的某些关系. 具有这些关系的事件,它们的概率之间会有什么关系呢? 问题1:设事件与事件互斥,和事件的概率与事件,的概率之间具有怎样的关系? 例如,在2红2白4个除了颜色外完全相同的球中不放回的两次摸球, 事件“两次都摸到红球”与事件“两次都摸到绿球”互斥, “两次摸到的球颜色相同”. 因为 所以 恰好, 探究思考 一般地,因为事件与事件互斥,即与不含有相同的样本点,所以,这等价于, 即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和. 所以我们有互斥事件的概率加法公式: 性质3:如果事件与事件互斥,那么 概率的性质三(互斥求和) 知识二 互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况: 如果事件,,…,两两互斥,那么事件…发生的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即 . 概率的性质三(互斥) 知识二 问题2:设事件与事件互为对立事件,它们的概率有什么关系? 因为事件与事件互为对立事件,所以和事件为必然事件, 即. 由性质3,得. 由此我们得到: 性质4: 如果事件与事件互为对立事件,那么, . 探究思考 概率的性质四(对立) 知识三 在古典概型中,对于事件与事件,如果,那么. 于是,即 一般,对于事件与事件,如果,即事件发生,则事件一定发生,那么事件的概率不超过事件的概率. 于是我们有概率的单调性: 性质5:如果,那么 由性质5可得:对于任意事件,因为,所以. 问题3:设若事件包含于事件,它们的概率有什么关系? 探究思考 概率的性质五(单调性) 知识四 思考2:在2红2白4个除了颜色外完全相同的球中不放回的两次摸球,“第一次摸到红球”“第二次摸到红球” “两个球中有红球”那么和相等吗? 如果不相等,请你说明原因,并思考如何计算. 因为 所以. 因此. 这是因为 即事件不是互斥的. 容易得到,. 探究思考 一般地,我们有如下的性质: 性质6:设是一个随机事件中的两个事件,我们有: . 显然,性质3是性质6的特殊情况. 利用上述概念的性质,可以简化概率的计算. 概率的性质六(一般求和) 知识五 解:(1) 因为C=A∪B,且A与B是互斥事件. 根据互斥事件的概率加法公式,得 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张, 设事件A=“抽到红心”,事件B=“抽到方片”,P(A)=P(B)= ,那么 (1) 设C=“抽到红花色”,求P(C); (2) 设D=“抽到黑花色”,求P(D). P(C)=P(A)+P(B) (2) 因为C与D互斥,且C∪D是必然事件,所以C与D互为对立事件. 因此 P(D)=1-P(C) 知识巩固 为了推广一 种饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动: 将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为多少? 解:设事件A=“中奖”,事件A1=“第一罐中奖”,事件A2=“第二罐中奖”,那么事件AlA2=“两罐都中奖”, =“第一罐中奖, 第二罐不中奖”, =“第一罐不中奖, 第二罐中奖”,且. 因为两两互斥,所以根据互斥事件的概率加法公式, 可得: 为了推广一种饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动: 将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为多少? 2 1=2 2 4=8 可能结果数 不中奖 中奖 4 2=8 4 3=12 不中奖 中奖 中奖 不中奖 2 4 1 4 2 3 第一罐 第二罐 借助树状图来求相应事件的样本点数: 因为n(A1A2)=2, n( )=8, n( )=8, 可以得到,n( )=6 5=30. P(A)= 所以 所以从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为 为了推广一种饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动: 将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为多少? 思考:你还有另外方法求解此题吗? 事件A的对立事件是“不中奖”,即“两罐都不中奖”. 由于 =“两罐都不中奖”,而n( )=4 3=12, 所以. 此解法说明了什么? 解2: 所以从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为 正难则反的思想! 为了推广一种饮料,某饮料生产企业开展了有奖促销活动: 将6罐这种饮料装一箱,每箱中都放置2罐能够中奖的饮料. 若从一箱中随机抽出2罐,能中奖的概率为多少? 解3:设不中奖的4罐记为1, 2, 3, 4, 中奖的2罐记为a, b,随机抽2罐中有一罐中奖,就表示能中奖,其样本空间为: (1, 2),(1, 3),(1, 4),(1, a),(1, b), (2, 3),(2, 4),(2, a),(2, b), (3, 4),(3, a),(3, b), (4, a),(4, b), (a, b). 共15个样本点. 而中奖的样本点有9个,所以 能中奖的概率 P=9/15 =0.6. 这种解法没有考虑顺序,但结果相同. (因为题目没有对顺序作出要求) 辨析1:已知P(A)=0.5,P(B)=0.3. (1) 如果B⊆A,那么P(A∪B)=_ ,P(AB)=_ ; (2) 如果A, B互斥,那么P(A∪B)=_ ,P(AB)=_. 0.5 0.3 0.8 0 (3) 判断:如果事件C与事件D互斥,那么一定有P(C)+P(D)=1.( ) 知识辨析 记事件“出现1点” “出现2点” “出现3点” “出现5点”分别为M, N, P, Q,由题意可知这4个事件彼此互斥. 所以P(A∪B)=P(M)+P(N)+P(P)+P(Q)= 知识辨析 辨析2: 抛掷一枚质地均匀的骰子,向上一面出现1,2,3,4,5,6的概率都是六分之一,记事件A为“出现奇数点”,事件B为“向上的点数不超过3”,求P(A∪B) 概率求和公式有两种,不要混淆! 已知月收入在[1000,3000)元范围内的概率为0.67,求月收入在[1500,3000)元范围内的概率 记这个商店月收入在[1000,1500), [1500,2000), [2000,2500), [2500,3000)元范围内的事件分别为A,B,C,D,因为A,B,C,D互斥,且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67, 所以P(B∪C∪D)=0.67-P(A)=0.55 月收入 [1000,1500) [1500,2000) [2000,2500) [2500,3000) 概率 0.12 0.14 知识辨析 辨析3:某商店月收入(单位:元)在下列范围内的概率如表所示: 注意条件! 辨析3:甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,求: (1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率. 解 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件, 所以“甲获胜”的概率P=1-=. 即甲获胜的概率是. (2)法一 设事件A为“甲不输”,可看成是“甲获胜”“和棋” 这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=+=. 法二 设事件A为“甲不输”,可看成是“乙获胜”的对立事件, 所以P(A)=1-=. 即甲不输的概率是 . 知识辨析 题型一:互斥事件的概率 例1.盒子里装有6个红球,4个白球,从中任取3个球.设事件表示“3个球中有1个红球,2个白球”,事件表示“3个球中有2个红球,1个白球”.已知,,求“3个球中既有红球又有白球”的概率. 解:记事件为“3个球中既有红球又有白球”,则它包含: 事件“3个球中有1个红球,2个白球”和事件“3个球中有2个红球,1个白球”,而且事件与事件是互斥的, 所以 典例研究 随机选取一名被调查者,他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少? 某学校准备对秋季运动会的竞赛项目进行调整,为此,学生会进行了一次民意调查.100个人接受了调查,他们被要求在赞成调整、反对调整、对这次调整不发表看法中任选一项.调查结果如下表: 男生人数 女生人数 总人数 赞成 18 9 27 反对 12 25 37 不发表看法 20 16 36 合计 50 50 100 用事件表示“对这次调整表示反对”,事件表示“对这次调整不发表看法”, 则事件和事件是互斥事件,并且事件就表示“对这次调整表示反对或不发表看法”. 练习巩固 随机选取一名被调查者,他对这次调整表示反对或不发表看法的概率是多少? 男生人数 女生人数 总人数 赞成 18 9 27 反对 12 25 37 不发表看法 20 16 36 合计 50 50 100 练习巩固 解:由互斥事件的加法公式,得: 因此,随机选取一名被调查者,他对这次调查表示反对或不发表看法的概率是 互斥事件的概率计算 (1)当一个事件包含几种情况时,可把事件转化为几个互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率加法公式计算. (2)使用互斥事件概率加法公式时, 必须先判定是互斥事件. 归纳总结 题型二:复杂的互斥事件及对立事件的概率 例2.袋中有红球、黑球、绿球若干,从中任取一球,得到红球的概率为,得到黑球或黄球的概率为,得到黄球或绿球的概率为,求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少? 解:记“得到红球”为事件,“得到黑球”为事件,“得到黄球”为事件,“得到绿球”为事件,事件显然彼此互斥, 则由题意可知: 典例研究 题型二:复杂的互斥事件及对立事件的概率 例2.袋中有红球、黑球、绿球若干,从中任取一球,得到红球的概率为,得到黑球或黄球的概率为,得到黄球或绿球的概率为,求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少? 由事件和事件是对立事件可得 即. 联立②③④可得 即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是,,. 典例研究 解: 记“击中6环”为事件A,“击中7环”为事件B,“击中7环以上”为事件C,事件A,B,C彼此互斥, 且易知P(A)=P(B)=0.3 3=0.1,P(C)=0.6, 记“击中5环以上”为事件D,故P(D)=P(A∪B∪C)=0.1+0.1+0.6=0.8 练习巩固 某战士射击一次,击中环数大于7的概率是0.6,击中环数是6或7或8的概率相等,且和为0.3,求该战士射击一次击中环数大于5的概率. 某射手在一次射击命中9环的概率是0.28,命中8环的概率是0.19,命中不够8环的概率是0.29,计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率. 解:记“这个射手在一次射击中命中10环或9环”为事件, 命中10环、9环、8环、不够8环分别为事件. 由题意知,彼此互斥, ∴ 又∵与互为对立事件, ∴ ∵与互斥,且, ∴ 你还有什么方法吗? 复杂的互斥事件及对立事件的概率计算 (1)对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率等于这些事件概率的和,并且互斥事件的概率加法公式可推广为,其使用的前提条件仍然是,,…彼此互斥,故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥. (2)“正难则反”是解决问题的一种很好的方法,当直接求解比较麻烦时,可考虑求其对立事件的概率,再转化为所求.应注意掌握. 归纳总结 题型三:一般事件概率公式的应用 例3.从1,2,3,…,30中任意选一个数,求这个数是偶数或能被3整除的概率. 解:设“选到偶数”,B“选到能被3整除的数”, 则,共包含15个元素, 共包含10个元素, ,共包含5个元素, 因而,,. 因此,这个数是偶数或能被3整除的概率为: 典例研究 某企业有三个工厂,现将男女职工人数统计如下: 解:设“抽到女工”,“抽到第三分厂职工”, 则 因此,该职工是女性或是第三分厂职工的概率为 . 项目 第一分厂 第二分厂 第三分厂 合计 男 400人 350人 250人 1000人 女 100人 50人 50人 200人 合计 500人 400人 300人 1200人 若从中任意抽取一名职工,求该职工是女性或是第三分厂职工的概率. 练习巩固 在学校运动会开幕式上,100 名学生组成一个方阵进行表演,他们按照性别(M (男)、F (女) )及年级(G1 (高一)、G2(高二)、G3(高三))分类统计的人数如下表: 若从这100名学生中随机选一名学生, 求下列概率: P(M) =_, P(F) =_, P(M∪F) =_, P(MF) =_, P(G1) = _, P(M∪G2) =_,P(FG3) =_. G1 G2 G3 M 18 20 14 F 17 24 7 0.52 0.48 1 0 0.35 0.76 0.07 练习巩固 在公式中, 事件可以是互斥的,也可以不是互斥的. 归纳总结 一般地,概率有如下性质: 性质1:对任意的事件,都有 性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即 性质3:如果事件与事件互斥,那么 性质4: 如果事件与事件互为对立事件, 那么,. 性质5:如果,那么 性质6:设是一个随机事件中的两个事件, 我们有. 课堂小结 $$