10.1.3 古典概型课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.3 古典概型 1 学习目标 1. 理解古典概型及其概率计算公式，培养学生数学抽象的核心素养； 2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率，培养学生数学运算、数学建模的核心素养。 我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？ 上述试验中所有不同的样本点有何特点？ (1)有三种结果 (2)任何两个样本点之间是互斥的，所有样本点出现可能性相等. 情境导入 研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小. 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示. 我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计.但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值. 能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？ 情境导入 思考1：我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验.它们的共同特征有哪些？ 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性.可以发现，它们具有如下共同特征； (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概型模型，简称古典概型. 下面我们就来研究古典概型. 古典概型的定义 知识一 思考2：考虑两个随机试验，如何度量事件和事件发生的可能性大小？ (1)一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件“抽到男生”； (1) 3班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型. 抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小. 因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量.显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件“抽到男生”包含18个样本点. 因此，事件发生的可能性大小为. 思考2：考虑两个随机试验，如何度量事件和事件发生的可能性大小？ (2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件“恰好一次正面朝上”. (2)我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间，共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型. 事件发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点与样本空间包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量. 因为，所以事件发生的可能性大小为. 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 古典概型的计算 知识二 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案. 如果考生掌握了考察的内容, 他可以选出唯一正确的答案. 假设考生有一题不会做，他随机选择一个答案， 答对的概率是什么 解：试验有选A、选B、选C、选D共四种结果，试验的样本空间为 Ω ={A, B, C, D}. 考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型. 设M =“选中正确答案”，则 知识巩固 思考：在标准化考试中也有多选题，多选题是从四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有一个选项是正确的,并且每种答案被填中的可能均等).你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？ 多选题更难.理由如下： 多选题可能的答案为:. 所以多选题一共有11种可能的结果，多选题正确的概率为. 而单选题正确的概率为，因此多选题更难. 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 用数字m表示I号骰子出现的点数, n表和I号骰子出现的点数, 则数组(m,n)表示这个试验的一个样本点. 抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可以与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对, 组成掷两枚骰子试验的一个结果. 因此该试验的样本空间为Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}, 共36个样本点. 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1) 写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型； 所有结果如下表所示: （6，6） （6，5） （6，4） （6，3） （6，2） （6，1） （5，6） （5，5） （5，4） （5，3） （5，2） （5，1） （4，6） （4，5） （4，4） （4，3） （4，2） （4，1） （3，6） （3，5） （3，4） （3，3） （3，2） （3，1） （2，6） （2，5） （2，4） （2，3） （2，2） （2，1） （1，6） （1，5） （1，4） （1，3） （1，2） （1，1） 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1号骰子 2号骰子 由于骰子质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型. (2) 求出下列事件的概率： A =“两点之和是5”； B =“两个点数相等”； C =“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数. (2)因为，所以， 从而 因为，所以， 从而 因为 ，所以， 从而 思考：为什么要把两枚骰子标上记号？如果不给两枚骰子标记号，会出现什么情况？你能解释其中的原因吗？ 如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点.这样，和的结果将无法区别. 当不给两枚骰子标记号时， 试验的样本空间,则其中，事件“两个点数之和是5”的结果变为， 这时 思考：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？ 可以发现，36个结果都是等可能的； 合并为21个结果时，和发生的可能性大小不等， 这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率， 因此是错误的. 归纳古典概型问题的一般思路： (1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以不重不漏地列出所有的可能结果)； (2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性； (3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率. 古典概型问题的思路 知识三 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率: (1) A =“第一次摸到红球”; (2) B =“第二次摸到红球”; (3) AB =“两次都摸到红球” . 解：将2个红球编号为1, 2，三个黄球编号为3, 4, 5. 第一次摸球时有5种等可能的结果, 对应第一次摸球的每一个结果, 第二次摸球时都有4种等可能的结果, 将两次摸球的结果配对, 组成20种等可能的结果, 如下表所示： A =“第一次摸到红球”; (2) B =“第二次摸到红球”; (3) AB =“两次都摸到红球” 第一次 第二次 1 2 3 4 5 1 × (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) × (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) × (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) × (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) × (1) 第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1, 2行)， (2) 第二次摸到红球的可能结果有8种(表中第1,2列)， (3) 事件AB包含2个可能结果, 即AB={(1,2), (2, 1)}, 解: (1) 设第一次抽取的人记为x1, 第二次抽取的人记为x2, 则可用数组(x1, x2)表示样本点. 根据相应的抽样方法可知: 有放回简单随机抽样的样本空间为 Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}. 共16个样本点. 不放回简单随机抽样的样本空间为 Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}. 共12个样本点. 按性别等比例分层抽样，其样本空间为Ω3={(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2)}. 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人. (1) 分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间. 从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人. (1) 分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间. (2) 在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率. 解：(2)设事件A=“抽到两名男生”，三种抽样方法样本点有限个，每一个样本点等可能，均为古典概型. 对于有放回简单随机抽样: A={(B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}， 对于不放回简单随机抽样: A={(B1,B2),(B2,B1)}， 按性别等比例分层抽样: A=∅，∴P(A)=0. 抽样方法不同，则样本空间不同，每个事件发生的概率也可能不同. 上一章我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高. 上述计算表明，在总体的男女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的概率为0.25；用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的概率约为0.167，可以有效地降低出现“极端”样本的概率. 特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生样本出现的概率为0，真正避免了这类极端样本的出现. 所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要. 判断正误：某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况：用y表示命中，用n表示没有命中，那么试验的样本空间为Ω={yy, ym, ny, nn} ，因此事件“两次射击都命中”的概率为0.25 . 解：不正确. 理由如下： 样本空间所包含的样本点个数为4，但每一个样本点的可能性不一定相等. 所以这不一定是古典概型. 故不能用P=1/4=0.25来计算 . 知识辨析 题型一：古典概型的判断 例1.下列是古典概型的是( ). A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时 C.从甲地到乙地共条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止 C 典例研究 A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是. ABD (多选)下列事件是古典概型的为( ). A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小 B.同时掷两枚骰子，点数和为6的概率 C.近三天中有一天降雨的概率 D.10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 练习巩固 A、B、D是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响. 判断一个试验是古典概型的步骤 (1)明确试验及其结果. (2)判断所有结果(样本点)是否有限. (3)判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验.另外，题目中“完全相同”“任取”等是等可能的语言. 归纳总结 下列概率模型中，是古典概型的个数为(　　) (1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率； (2)从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率； (3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率； (4)向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A．1 B．2 C．3 D．4 第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；第3个概率模型不是古典概型，在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，不满足“有限性”；第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．故选A. 练习巩固 A 题型二：简单古典概型的概率的计算问题 例2.在甲、乙两个盒子里分别装有标号为1,2,3,4的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. (1)列出所有可能结果； 解：(1)设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为，，用表示抽取结果， 则样本空间 , 典例研究 题型二：简单古典概型的概率的计算问题 例2.在甲、乙两个盒子里分别装有标号为1,2,3,4的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. (2)求取出的两个球上标号为相同数字的概率； (3)求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率. 典例研究 (2)设事件“取出的两个球上标号为相同数字”， 则事件, 所以 (3)设事件“取出的两个球上标号之积能被3整除”， 则事件, 所以 抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数分别为a , b.求： (1)满足的概率；(2)满足的概率. 解：(1)抛掷两枚质地均匀的骰子，记向上的点数为，有36个样本点: 满足的样本点有15个： . 记事件“满足”，所以 练习巩固 抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数分别为a , b.求： (1)满足的概率；(2)满足的概率. (2)由，得则满足的样本点有20个： 记事件“满足”，所以 练习巩固 有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫 从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　) A.　　　 　B. C. D. C 练习巩固 从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝＝. 某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________． 练习巩固 (2)记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生有AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10种情况，其中恰好选中2名女生有ab，ac，bc，共3种情况，故所求概率为. 古典概型的概率求解步骤 (1)读：反复阅读题目，收集整理题目中的各种信息； (2)判：判断试验是否为古典概型； (3)列：求试验的样本空间和所求事件所包含的样本点的个数； (4)算：计算出古典概型的概率. 归纳总结 例3.口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： (1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； (2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率. (1)无放回地取球,任意摸出两个小球的样本空间为， 所以摸出的是红球和白球的概率为 (2)有放回地取球.样本空间为: ，而事件“摸出一红一白”包括2个样本点， 所以两次摸出的球是一红一白的概率为 题型三：较复杂的古典概型计算问题 典例研究 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ 解：(1)由已知，甲，乙，丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2， 由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学， 因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人． 练习巩固 (2)(i)从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 (A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种． 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 练习巩固 (ii)由(1)设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G， 则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自 同一年级的所有可能结果为(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(F，G)， 共5种． 所以事件M发生的概率P(M)＝. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动． (2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． (i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率． 练习巩固 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特征和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类问题时需要注意以下两点： (1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性； (2)计算样本点的数目时，要做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点. 归纳总结 1.事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件的概率用表示. 2.古典概型的定义 (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概型模型，简称古典概型. 课堂小结 3.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数. 课堂小结 $$