10.1.2 事件的关系和运算课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.2 事件的关系和运算 1 学习目标 1.理解事件的关系与运算,培养学生数学抽象的核心素养; 2.通过事件之间的运算,理解互斥事件和对立事件的概念, 培养学生数学抽象的核心素养。 1. 样本空间有关概念: (2)样本空间:全体样本点的集合,用 表示. 2. 随机事件有关概念: (2)基本事件:只包含一个样本点的事件. (3)事件A发生:当且仅当A中某个样本点出现. (4)必然事件:在每次试验中总有一个样本点发生. 为必然事件. (5)不可能事件:在每次试验中都不会发生. ∅为不可能事件. (1)随机事件(简称事件):样本空间 的子集. (1)样本点:随机试验E的每个可能的基本结果,用 表示. 复习回顾 从前面的学习中可以看到,我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单,有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率,所以需要研究事件之间的关系和运算. 思考:在掷骰子试验中,观察骰子朝上面的点数,可以定义许多随机事件,例如Ci ;;…… 你还能写出这个试验中其他一些事件吗?请用集合的形式表示这些事件.借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗? 探究思考 事实上,利用样本空间的子集表示事件,使我们可以利用集合的知识研究随机事件,从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法. 下面我们按照这一思路展开研究. 问题1:用集合的形式表示事件和事件,并说明它们之间的联系. 它们分别是和. 显然,如果事件发生,那么事件一定发生. 事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是,即. 这时我们说事件包含事件. 一般地,若事件发生,则事件一定发生,我们就称事件包含事件 (或事件包含于事件),记作(或).可以用图表示. 特别地,如果事件包含事件, 事件也包含事件,即且, 则称事件与事件相等,记作. A B 事件的包含关系 知识一 问题2:用集合的形式表示事件、和事件,并说明它们之间的联系. 它们分别是和和. 可以发现,事件和事件至少有一个发生,相当于事件发生. 事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是, 即, 这时我们称事件为事件和事件的并事件. 一般地,事件与事件至少有一个发生,这样的一个新事件中的样本点或者在事件中,或者在事件中, 我们称这个新事件为事件与事件的并事件(或和事件), 记作(或). 可用图中的红色区域和黄色区域一起表示这个并事件. A B 并事件 知识二 它们分别是和和. 可以发现,事件和事件同时发生,相当于事件发生. 事件之间的这种关系用集合的形式表示,就是, 即. 我们称事件为事件和事件的交事件. 问题3:用集合的形式表示事件、和事件,并说明它们之间的联系. 一般地,事件与事件同时发生,这样的一个新事件中的样本点既在事件中,也在事件中, 我们称这样的一个新事件为事件与事件的交事件(或积事件), 记作(或). 可以用图中的蓝色区域表示这个交事件. A B 交事件 知识三 它们分别是 显然,事件与事件不可能同时发生, 用集合的形式表示这种关系,就是,即, 这时我们称事件与事件互斥. 问题4:用集合的形式表示事件和事件,并说明它们之间的联系. 如果事件与事件不能同时发生,也就是说是一个不可能事件,即, 则称事件与事件互斥(或互不相容). 可以用图表示这两个事件互斥. A B 互斥事件 知识四 它们分别是 在任何一次试验中,事件与事件两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一. 用集合的形式可以表示为,即,且,即. 此时我们称事件与事件互为对立事件. 问题5:用集合的形式表示事件、事件,并说明它们之间的联系. 一般地,如果事件与事件在任何一次试验中有且仅有一个发生, 即,且, 那么称事件与事件互为对立. 事件的对立事件记为, 可以用图表示. A 对立事件 知识五 综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下: 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 发生导致发生 并事件(和事件) 与至少一个发生 或 交事件(积事件) 同时发生 互斥(互不相容) 不能同时发生 互为对立 有且仅有一个发生 类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件. 例如,对于三个事件(或)发生当且仅当中至少一个发生, (或)发生当且仅当同时发生,等等. 如图, 由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效. 设事件A =“甲元件正常”,B =“乙元件正常” (1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间; (2) 用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件; (3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件 ,并说明它们的含义及关系. 乙 甲 解: (1) 用x1, x2分别表示甲、乙两个元件的状态,则可以用(x1, x2)表示这个并联电路的状态. 用1表示元件正常,0表示元件失效,则样本空间为 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. (2) 根据题意, 可得 A = {(1, 0), (1, 1)}, B = {(0, 1), (1, 1)}, = {(0, 0), (0, 1)}, = {(0, 0), (1, 0)}. 知识巩固 如图, 由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效. 设事件A =“甲元件正常”,B =“乙元件正常” (1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间; (2) 用集合的形式表示事件A,B以及它们的对立事件; (3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件 ,并说明它们的含义及关系. 乙 甲 知识巩固 解: (3) A∪B = {(0,1), (1,0), (1,1)}, = {(0, 0)}; A∪B表示电路工作正常, 表示电路工作不正常. ∴A∪B和 互为对立事件. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球, 其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 设事件R1 = “第一次摸到红球”,R2 = “第二次摸到红球”,R = “两次都摸到红球”,G = “两次都摸到绿球”,M = “两个球颜色相同”,N = “两个球颜色不同”. (1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件; 解:(1) 所有的试验结果如图所示. 用数组(x1, x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号, 则试验的样本空间为 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球, 其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 设事件R1 = “第一次摸到红球”,R2 = “第二次摸到红球”,R = “两次都摸到红球”,G = “两次都摸到绿球”,M = “两个球颜色相同”,N = “两个球颜色不同”. (1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件; R1 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3)}, R2 = {(2,1), (3,1), (4,1), (1,2), (3,2), (4,2)}, R = {(1,2), (2,1)}, G={(3,4), (4,3)}, M = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}, N = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2) }. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球, 其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 设事件R1 = “第一次摸到红球”,R2 = “第二次摸到红球”,R = “两次都摸到红球”,G = “两次都摸到绿球”,M = “两个球颜色相同”,N = “两个球颜色不同”. (2) 事件R与R1,R与G,M与N之间各有什么关系? R1 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3)}, R = {(1,2), (2,1)}, G={(3,4), (4,3)}, M = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}, N = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2) }. (2) 因为R⊆R1, 所以R1包含事件R; 因为R∩G = ∅, 所以事件R与事件G互斥; 因为R∪G = , M∩N = ∅, 所以事件M与事件N互为对立事件. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球, 其中有2个红色球(标号为1和2),2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球. 设事件R1 = “第一次摸到红球”,R2 = “第二次摸到红球”,R = “两次都摸到红球”,G = “两次都摸到绿球”,M = “两个球颜色相同”,N = “两个球颜色不同”. (3) 事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系?事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系? R1 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3)}, R2 = {(2,1), (3,1), (4,1), (1,2), (3,2), (4,2)}, R = {(1,2), (2,1)}, G={(3,4), (4,3)}, M = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}, (3) 因为R∪G = M, 所以事件M是事件R与事件G的并事件. 因为R1∩R2 = R, 所以事件R是事件R1与事件R2的交事件. 抛掷一颗质地均匀的骰子,有如下随机事件: Ci = “点数为i ”,其中i=1, 2, 3, 4, 5, 6; D1= “点数不大于2”,D2= “点数大于2”, D3= “点数大于4”; E= “点数为奇数”,F= “点数为偶数”. 判断下列结论是否正确. (1) C1与C2互斥; (2) C2 , C3为对立事件; (3) C3 D2; (4) D3 D2; (5) D1∪D2= , D1D2=∅; (6) D3=C5∪C6; (7) E= C1∪C3 ∪C5; (8) E, F为对立事件; (9) D2∪D3=D2; (10) D2∩D3=D3. √ √ √ √ √ √ √ √ √ 知识辨析 题型一:事件的关系的判断 例1.从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球,用集合的形式分别写出下列事件,并判断每对事件的关系: (1)“至少有1个白球”与“都是白球”; (2)“至少有1个白球”与“至少有1个红球”; (3)“至少有1个白球”与“都是红球”. 解:给两个红球编号为1,2,给两个白球编号为3,4,从口袋中任取两个球,用表示取出的两个球,则试验的样本空间为 设“至少有1个白球”,则. (1)设“都是白球”,则,所以.即和不是互斥事件. 典例研究 题型一:事件的关系的判断 例1.从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球,用集合的形式分别写出下列事件,并判断每对事件的关系: (1)“至少有1个白球”与“都是白球”; (2)“至少有1个白球”与“至少有1个红球”; (3)“至少有1个白球”与“都是红球”. 解:给两个红球编号为1,2,给两个白球编号为3,4,从口袋中任取两个球,用表示取出的两个球,则试验的样本空间为 设“至少有1个白球”,则. 典例研究 (2)设“至少有1个红球”,则, 因为,所以和不互斥. 题型一:事件的关系的判断 例1.从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球,用集合的形式分别写出下列事件,并判断每对事件的关系: (1)“至少有1个白球”与“都是白球”; (2)“至少有1个白球”与“至少有1个红球”; (3)“至少有1个白球”与“都是红球”. 解:给两个红球编号为1,2,给两个白球编号为3,4,从口袋中任取两个球,用表示取出的两个球,则试验的样本空间为 设“至少有1个白球”,则. 典例研究 (3)设“都是红球”,则, 因为,所以和为对立事件. 某人打靶时连续射击两次,下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是( ). (A) 至多一次中靶 (B) 两次都中靶 (C) 只有一次中靶 (D) 两次都没有中靶 D 练习巩固 从装有3个红球和2个白球的口袋中随即取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是( ). A.取出2个红球和1个白球 B.取出的3个球全是红球 C.取出的3个球中既有红球也有白球 D.取出的3个球中不止一个红球 D 练习巩固 从装有3个红球和2个白球的口袋中随即取出3个球,则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是取出的3个球中至少有两个红球.故选D. 从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品,设A={3件产品全不是次品},B={3件产品全是次品},C={3件产品不全是次品},则下列结论正确的是_(填写序号). ①A与B互斥;②B与C互斥;③A与C互斥;④A与B对立;⑤B与C对立. A={3件产品全不是次品},指的是3件产品全是正品,B={3件产品全是次品},C={3件产品不全是次品},它包括1件次品2件正品,2件次品1件正品,3件全是正品3个事件,由此知:A与B是互斥事件,但不对立;A与C是包含关系,不是互斥事件,更不是对立事件;B与C是互斥事件,也是对立事件. 所以正确结论的序号为①②⑤. ①②⑤ 判断事件间关系的方法 (1)要考虑试验的前提条件,无论是包含、相等,还是互斥、对立,其发生的条件都是一样的. (2)判断事件间的结果是否有交事件,可考虑利用图分析,对较难判断关系的,也可列出全部结果,再进行分析. 归纳总结 题型二:事件关系的运算 例2.盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件“3个球中有1个红球2个白球”,事件“3个球中有2个红球1个白球”,事件“3个球中至少有1个红球”,事件“3个球中既有红球又有白球”. 试判断:(1)事件与事件是什么关系? (2)事件与是什么样的运算关系? (3)事件与的交事件是什么事件? 解:(1)事件与事件不可能同时发生,故事件与事件互斥但不对立. (2)对于事件,可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球, 故 (3)对于事件,可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个球均为红球,故 典例研究 进行事件运算应注意的问题 (1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用图或列出全部的试验结果进行分析. (2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理. 归纳总结 在投掷骰子的试验中,根据向上的点数可以定义许多事件,如: (1)说明以上4个事件的关系; 解:在投掷骰子的试验中,根据向上的点数有6种基本事件, 记作(其中). 则,,, (1)事件A与事件B互斥,但不对立,事件A包含于事件C,事件A与D互斥,但不对立;事件B与C不是互斥事件,事件B与D也不是互斥事件;事件C与D是互斥事件,也是对立事件. 练习巩固 在投掷骰子的试验中,根据向上的点数可以定义许多事件,如: (2)求,,,,. 解:在投掷骰子的试验中,根据向上的点数有6种基本事件, 记作(其中). 则,,, 练习巩固 (2),, , , . 事件的关系或运算: 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 发生导致发生 并事件(和事件) 与至少一个发生 或 交事件(积事件) 同时发生 互斥(互不相容) 不能同时发生 互为对立 有且仅有一个发生 课堂小结 事件与集合的对应关系 符号 概率论 集合论 必然事件 全集 不可能事件 空集 实验的可能结果 中的元素 事件 的子集 课堂小结 事件与集合的对应关系 符号 概率论 集合论 事件A与事件B的并事件 集合A与集合B的并集 事件A与事件B的交事件 集合A与集合B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与集合B的交集为空集 事件A与事件B对立 集合A与集合B互为补集 课堂小结 $$