10.1.1 有限样本空间与随机事件课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.1 有限样本空间与随机事件 1 学习目标 1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，培养数学 抽象的核心素养； 2.理解随机事件与样本点的关系，了解必然事件、不可能事件的概念， 培养数学抽象的核心素养； 3.会求简单随机试验的样本空间，培养逻辑推理的核心素养。 观察几幅图片： 事件一：常温下石头在一天内被风化. 事件二：木柴燃烧产生热量. 事件三：射击运动员射击一次中十环. 以上三个事件一定会发生吗？ 情境导入 事件一在常温下不可能发生，是不可能事件； 事件二一定发生，是必然事件； 事件三可能发生，也可能不发生，是随机事件. 在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果 等可能的情形下求简单随机事件的概率. 我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质. 复习回顾 确定某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果. 例如，将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况； 从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数； 在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命； 从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数； 记录某地区七月份的降水量；等等. 随机现象观察：随机试验 知识一 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验. 通常用字母表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验: (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 随机现象观察：随机试验 知识一 问题1：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0，1，2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码.这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？ 观察球的号码，共有10种可能结果. 用数字表示“摇出的球的号码为”这一结果，那么所有可能结果可用集合表示为. 探究思考 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点.全体样本点的集合称为试验的样本空间.一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点. 样本空间、样本点 知识二 在本书中，我们只讨论为有限集的情况. 如果一个随机试验有个可能结果，，，则称样本空间 为有限样本空间. 有了样本点和样本空间的概念，就可以用数学方法描述和研究随机现象. 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。 知识巩固 解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果， 所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上，反面朝上} 如果用h表示“正面朝上”，用t表示“反面朝上”， 则样本空间Ω={h，t} 9 抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间. 解：用i表示朝上面的“点数为i”. 由于落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6，共6个可能的基本结果， 所以试验的样本空间可以表示为Ω={1，2，3，4，5，6}. 10 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间. 解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x, y)表示. 如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”， 那么样本空间还可以简单表示为 画树状图可以帮助我们理解此例的解答过程. Ω＝{(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0)}. 1 0 1 0 1 0 第一枚 第二枚 问题2：在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？ 如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？ 显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件. 探究思考 我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”， 则A发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合. 因此可以用样本空间的子集表示随机事件A. 类似地，可以用样本空间的子集表示随机事件“球的号码为3的倍数”. 一般地，随机实验中每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件. 随机事件一般用大写字母A,B,C…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. 随机事件、基本事件 知识三 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件. 而空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称空集为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性. 为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间的一个子集. 样本空间、样本点 知识二 袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 从中随机摸出一个球. (1) 写出试验的样本空间; (2) 用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”. 解：(1) 样本空间为Ω={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2) 事件A用集合表示为{1,2,3,4}；事件B用集合表示为{5,6,7,8,9}； 事件C用集合表示为{2,4,6,8}. 知识巩固 如右图，一个电路中有A, B, C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效. 把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. (1) 写出试验的样本空间； (2) 用集合表示下列事件： M＝“恰好两个元件正常”； N＝“电路是通路”；T＝“电路是断路”. A C B (1)分别用x1, x2和x3表示元件A, B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1, x2, x3)表示. 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间为 Ω＝{(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1, 0,1), (0,1,1), (1,1,1)}. 知识巩固 0 1 元件A 0 1 0 1 元件B 0 1 0 1 0 1 0 1 元件C 000 001 010 011 100 101 110 可能结果 111 (2) M={(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}； N={(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)}； T={(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,0,0)} . 还可借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果，如下图. (2) 用集合表示下列事件： M=“恰好两个元件正常”； N=“电路是通路”；T=“电路是断路”. A C B 辨析1：判断正误. 1.观察随机试验时，其可能出现的结果的数量是一定是有限的.( ) 2.投掷两枚骰子，向上的点数之和构成的样本空间为.( ) 3.在一次掷骰子试验中，样本空间，集合一定会出现. ( ) × 辨析2：下列事件不是随机事件的是( ). A.东边日出西边雨 B.下雪不冷化雪冷 C.清明时节雨纷纷 D.梅子黄时日日晴 B 知识辨析 × × 辨析3：(多选)下列现象中，是随机现象的是（ ）. A.在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆 B.若是整数，则为整数 C.发射一颗炮弹，命中目标 D.检查流水线上一件产品是否合格品还是次品 ACD 知识辨析 题型一：样本空间 例1.一个家庭有两个小孩，则这个试验的样本空间是( ). A.. B.. C.. D.. C 典例研究 已知袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下试验的样本空间. (1)从中一次任取1球，观察球的颜色； (2)从中一次任取2球，观察球的颜色. 解(1)：样本空间. (2)：若记表示一次试验中，取出的是球与球，样本空间为 . 练习巩固 样本空间中样本点的求法 (1)在写样本空间时，一般采用列举法写出，必须先明确事件发生的条件，按一定次序列举，才能保证所列的结果没有重复，也没有遗漏. (2)试验的样本空间最终结果应该写成集合的形式. 归纳总结 题型二：三种事件的判断 例2.指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元； (2)三角形的内角和为180°； (3)没有空气和水，人类可以生存下去； (4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上； (5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； (6)科学技术达到一定水平后，不需要任何能量的永动机将会出现. 答案：(1)(4)(5)随机事件；(2)必然事件；(3)(6)不可能事件. 典例研究 下列事件，其中随机事件的个数是( ). ①任取一个整数被2整除； ②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分； ③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜； ④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍. A.1 B.3 C.0 D.4 B 练习巩固 ①②③为随机事件，④为必然事件. 对事件分类的两个关键点 条件 事件的分类是与一定的条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生 结果发生与否 有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况 归纳总结 题型三：随机事件与样本空间 例3.将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用表示，其中表示第一次抛掷出现的点数，表示第二次抛掷出现的点数. (1)求样本空间中的样本点个数； (2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”. 解(1)：(法一：列举法)试验的样本空间为： . 典例研究 解(2)：“出现的点数之和大于8”可用集合表示为 题型三：随机事件与样本空间 例3.将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用表示，其中表示第一次抛掷出现的点数，表示第二次抛掷出现的点数. (1)求样本空间中的样本点个数； (2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”. 典例研究 解(1)：(法二：树状图法)一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，由图可知，共36个样本点. (法三：坐标系法)如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描述的点一一对应.由图可知，样本点个数为36. 把一套分上、中、下三册的选集随机地放在书架上. (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个实验样本点的个数； (3)写出“上册在三册中的最左边”这一事件所包含的样本点. 解(1)：将书按从左到右的顺序摆放，则可得样本空间 . (2)：这个试验的样本点共有6个. (3)：这一实际包含2个样本点：，. 练习巩固 (1)样本空间是指所有样本点构成的集合，而不是部分，写样本空间时，要做到不重不漏. (2)随机事件可理解为样本空间的子集. 归纳总结 1. 样本空间有关概念： (2) 样本空间： 2. 随机事件有关概念： (1) 基本事件: 只包含一个样本点的事件. 随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示. (3) 事件A发生： 当且仅当A中某个样本点出现. (4) 必然事件： 在每次试验中总有一个样本点发生. Ω为必然事件. (5) 不可能事件： 在每次试验中都不会发生. ∅为不可能事件. (2) 随机事件(简称事件)： 样本空间Ω的子集. 随机试验E的每个可能的基本结果，用ω表示. (1) 样本点： 全体样本点的集合，用Ω表示. 课堂小结 $$