9.2.2 总体百分位数的估计课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.2 总体百分位数的估计 1 学习目标 1.结合实例，能用样本估计百分位数. 2.理解百分位数的统计含义. 前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水集中在一个较低值区域”等推断。 接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢?下面我们对此进行讨论 情境思考 思考1：如果该市政府希望使80%的居民用户生活用水费支出不受影响，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？ 首先要明确一下问题：根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻求一个数，使全市居民用户月均用水量中不超过的占80%， 大于的占20%.下面我们通过样本数据对的值进行估计. 探究思考 把100个样本数据按从小到大排序，得到第80个和第81个数据分别为13.6和13.8。可以发现区间内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分. 一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第80百分位数或80%分位数. 根据样本数据第80百分位数，我们可以估计总体数据的第80百分位数为13.7左右. 由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第80百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为14，或者把年用水量标准定为168. 一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. 可以通过下面的步骤计算一组个数据的第百分位数： 第一步，按从小到大排列原始数据. 第二步，计算. 第三步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数分位数为第项与第项数据的平均数. 百分位数 知识一 我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数.在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数、第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数. 其中第25百分位数也称第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用. 四分位数 知识一 根据下列样本数据，估计某中学高一年级女生的身高第25，50，75百分位数. 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 解：把27名女生的样本数据按从小到大排序， 由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%×27=20.25，可知样本数据的第25，50，75百分位数为第7，14，21项数据，分别为155.5，161，164. 据此可以估计高一年级女生身高的第25，50，75百分位数分别约为155.5，161和164. 知识巩固 148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 158.0 159.0 161.0 161.0 162.0 162.5 162.5 163.0 163.0 164.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 172.0 172.0 8 根据下列图表，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数. 分组 频数累计 频数 频率 [1.2, 4.2) [4.2, 7.2) [7.2, 10.2) [10.2, 13.2) [13.2, 16.2) [16.2, 19.2) [19.2, 22.2) [22.2, 25.2) [25.2, 28.2] 合计 正 23 32 13 9 9 5 3 4 2 100 0.23 0.32 0.13 0.09 0.09 0.05 0.03 0.04 0.02 1 正正正正 正 正 正正 正正正正正正 知识巩固 9 解：由题目知，月均用水量在13.2t以下 的居民用户所占比例为 23%+32%+13%+9%=77%， 在16.2t以下的居民用户所占比例为 77%+9%=86%. 因此，80%分位数一定位于[13.2，16.2)内. 由13.2+=14.2.(方法一) 可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2. 类似地，由22.2+ =22.95 (0.13是估计值) 可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95. 根据下列图表，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数. 知识巩固 (方法二) 用方法一可以吗？哪种更好？ 10 辨析1：判断正误. 1.若一组样本数据各不相等，则其第65%分位数大于第15%分位数.( ) 2.若一组样本数据的第20%分位数是30，则在这组数据中有20%的数据大于 30.( ) 3.若一组数据有80个，按从小到大排列，第80百分位数为第64项数据.( ) √ 知识辨析 × × 辨析2：下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是（ ） A.第50百分位数就是中位数 B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% C.它一定是这组数据中的一个数据 D.它适用于总体是离散型的数据 A 知识辨析 (多选)已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法不正确的是( ) A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数 解析:因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，则C正确，其它选项均不对，故选ABD. ABD 下列一组数据的第25百分位数是（ ）. 2.1, 3.0, 3.2, 3.8, 3.1, 4.0, 4.2, 4.4, 5.3, 5.6. A.3.2 B.3.0 C.3.1 D.2.5 C 知识辨析 辨析3：数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是( ) A.14 B.17 C.19 D.23 D 题型一：百分位数的计算及应用 例1.已知甲、乙两组数据如下： 甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13 乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15 则甲、乙两组数据的第25%分位数分别为______，_______；第75%分位数分别为_______,_______. 2.5 1 典例研究 9.5 12 解　将所有数据从小到大排列， 得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9， 因为共有12个数据， 所以12×25%＝3,12×75%＝9,12×95%＝11.4， 95%分位数是第12个数据为9.9. 从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下：7.9, 9.0, 8.9, 8.6, 8.4, 8.5, 8.5, 8.5, 9.9, 7.8, 8.3, 8.0， 分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数. 练习巩固 则25%分位数是＝8.15， 75%分位数是＝8.75， 例2.如图所示是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________.(结果保留两位小数) 解：由频率分布直方图可知，分数 在120分以下的学生所占的比例为 分数在130分以下的学生所占的比例为 因此，80%分位数一定位于内. 由 典例研究 例2.如图所示是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________.(结果保留两位小数) 设第80百分位数为 则： 解得 故此班的模拟考试成绩的80%约为124.44. 典例研究 频率分布直方图中第百分位数的计算 (1)确定百分位数所在的区间. (2)确定小于和小于的数据所占的百分比分别为，则第百分位数为 或者 ,其中是频率分布直方图的小长方形的高。 归纳总结 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：[20,25)， 第二组：[25,30)，第三组：[30,35)， 第四组：[35,40)，第五组：[40,45])， 得到如图所示的频率分布直方图， 已知第一组有5人. (1)求x； 练习巩固 (2)求抽取的x人的年龄的50%分位数(结果保留整数)； 解　（1）第一组频率为0.01×5＝0.05， 所以x＝＝100. （2）由题图可知年龄低于30岁的所占比例为40%，年龄低于35岁的所占比例为70%， 所以抽取的x人的年龄的50%分位数在[30,35)内， 所以抽取的x人的年龄的50%分位数为32. 由30＋5× ＝ ≈32， 1.百分位数的概念： 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 2.求百分位数的步骤： 第一步，按从小到大排列原始数据. 第二步，计算. 第三步，若不是整数，而大于的比邻整数为，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数分位数为第项与第项数据的平均数. 3.四分位数. 课堂小结 $$