9.2.4 总体离散程度的估计课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.2.4 总体离散程度的估计 1 学习目标 1.掌握方差和标准差，利用方差和标准差估计总体的离散程度,培养数据分析的核心素养； 2.通过样本标准差等数据直观估计总体的离散程度，能够正确计算样本的标准差或方差，提升数学运算的核心素养。 平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据的集中趋势的信息，这是概括一组数据的特征的有效方法.但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策，下面的问题就是一个例子. 思考：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的设计情况作出评价？如果这次这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择？ 复习回顾 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别. 但从图中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的. 那么，如何度量成绩的这种差异呢？ 一种简单的度量数据离散程度的方法就是用极差。 根据甲、乙运动员的10次射击成绩， 可以得到：甲命中环数的极差乙命中环数的极差 可以发现甲的成绩波动范围比乙的大. 极差 知识一 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远. 因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度. 探究思考 思考：如何定义“平均距离”？ 假设一组数据是，，…，，用表示这组数据的平均数. 我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”， 即作为到的“距离”. 可以得到这组数据到的“平均距离”为 为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即. 我们称为这组数据的方差. 方差 知识二 . 有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成以下形式. 平均数“差的平方等于平方的差” 方差与标准差 知识二 由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致. 为了使二者单位一致，我们对方差开方，取它的算术平方根， 即. 我们称为这组数据的标准差. 思考：标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？ 标准差. 表示这组数据中的每一个数据到平均数的距离都是0，即这组数据的每个数据是相等的. 标准差 知识巩固 已知数据的平均数为=7，方差则数据 ，的平均数为____，方差为____. 15 12 如果总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差. 如果一个样本中个体的变量值分别为，…，，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差. 方差的不同形式 知识三 与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式. 如果总体的个变量值中,不同的值共有个,不妨记为，…，， 其中出现的频数为， 则总体方差为. 方差的不同形式 知识三 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度。 标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.显然，在刻画数据的分散程度上，分差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差. 在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的. 像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差.在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性. 方差的使用一 知识四 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 通过简单的排序和计算，可以发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别. 但从图中看，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定.可见，他们的射击成绩是存在差异的. 那么，如何度量成绩的这种差异呢？ 在问题中，我们可以根据标准差来判断两名运动员的成绩的离散程度，计算可得这说明什么？ 由可知,甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小. 由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定. 如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置.如果两人都排在前面，再选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲. 不经过计算，你能给下列各组数的方差排序吗? (1) 5，5，5，5，5，5，5，5，5； (2) 4，4，4，5，5，5，6，6，6； (3) 3，3，4，4，5，6，6，7，7； (4) 2，2，2，2，5，8，8，8，8. 知识巩固 甲、乙、丙三名学生在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内，将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图，如图所示，记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为( ) A.s1>s2>s3 B.s1>s3>s2 C.s3>s1>s2 D.s3>s2>s1 知识巩固 B 解析　比较三个频率分布直方图知，甲为“双峰”直方图，两端数据最多，最分散，方差最大；乙为“单峰”直方图，数据最集中，方差最小；丙为“单峰”直方图，但数据分布相对均匀，方差介于甲、乙之间.综上可知s1>s3>s2. 在对中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62. 你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？ 典例研究 在抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均数和方差分别为160.6和38.62. 你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？ 典例研究 分层随机抽样的方差计算： 设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，， 两层的平均数分别为，，方差分别为，， 则这个样本的方差为： . 方差的不同形式 知识三 分层随机抽样的方差等于每一层的原方差与该层平均数距离的平方的加权和。 样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息. 例如，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数=8.79，样本标准差s≈6.20. 方差的使用二 知识四 辨析1：判断正误. 1.若两组数据的方差一样大，则说明这两组数据都是相同的.( ) 2.若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.( ) 3.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.( ) × 知识辨析 √ × 辨析2：为评估一种农作物的种植效果，选了块地做实验田.这块地的亩产量(单位：)分别为，，…，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）. A.，，…，的平均数 B.，，…，的标准差 C.，，…，的最大值 D.，，…，的中位数 B. 知识辨析 辨析3：已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的标准差为( ). A. B.1 C. D.2 A. 知识辨析 题型一：方差和标准差的计算 例1.甲、乙两机床同时加工直径为100的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量,数据为 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 典例研究 解(1)： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. ， (2)两台机床加工零件的直径的平均值相同，又， 所以乙机床加工零件的质量更稳定. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为_____. 2 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示. (1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价. 解　由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10,13,12,14,16； 乙：13,14,12,12,14. ＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， ＝ ×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. 标准差、方差的意义 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小. 标准差，方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，标准差的大小不会超过极差. (2)标准差、方差的取值范围是. 标准差，方差为0时，样本各数距相等，说明数据没有波动幅度，数据没有离散性. 归纳总结 题型二：分层随机抽样的方差和标准差 例2.甲、乙两只田径队的体检结果为：甲队的体重的平均数为60，方差为200，乙对体重的平均数为70，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1 : 4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？ 解：由题意可知甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为则甲、乙两队全部队员的平均体重为， 甲乙两队全部队员的体重的方差为 典例研究 计算分层随机抽样的方差的步骤 (1)确定，，，； (2)确定； (3)应用公式计算. 归纳总结 已知某省二、三、四线城市数量之比为1：3:6，2020年8月份调查得知该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20,二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市的房价的方差为_____. 117.98. 解：设二线城市的房价的方差为，由题意可知， ，解得， 即二线城市的房价的方差为117.98. 1.一组数据的方差和标准差 数据，，…，的方差为， 标准差为. 课后小结 2.总体方差和标准差 (1)如果总体中所有个体的变量值分别为，，…，，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差. 课后小结 (2)总体方差的加权形式：如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，…，，其中出现的频数为，则总体方差为. 3.样本方差和标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为，…，，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差. 课后小结 4.分层随机抽样的方差 设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，，两层的平均数分别为，，方差分别为，，则这个样本的方差为 . 5.标准差的意义 标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度， 标准差越大，数据的离散程度越大； 标准差越小，数据的离散程度越小. 课后小结 $$