9.1.2 分层随机抽样课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.1.2 分层随机抽样 1 学习目标 1.理解分层随机抽样的概念,培养数学抽象的核心素养; 2.掌握用分层随机抽样从总体中抽取样本,培养数据分析的核心素养。 重点:正确理解分层抽样的定义,灵活应用分层抽样抽取样本。 难点:恰当的选择两种抽样方法解决现实生活中的抽样问题 1.简单随机抽样的概念 2.最常用的简单随机抽样 (1)抽签法 (2)随机数法 3.用样本平均数估计总体平均数. (1)总体平均数: (2)样本平均数: 复习回顾 某市为调查中小学生的近视情况,在全市范围内对小学生、初中生、高中生三个群体抽样,进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小. 思考:(1)上述问题中总体有什么特征? (2)采用抽签法合适吗?若不合适,应该用什么方法抽取样本? 该总体中,小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异. 不合适,若用抽签法,抽取的样本可能集中于某一个群体,不具有代表性. 情境导入 抽样调查最核心的问题是样本的代表性. 简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中, 但因为抽样的随机性, 有可能会出现比较“极端”的样本. 例如, 在对某中学高一学生身高的调查中,可能出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形. 这种“极端”样本会大幅度地偏离总体的平均数,从而使得估计出现较大的误差. 能否利用总体中的一些额外信息对抽样方法进行改进呢? 5 在某中学高一年级的712名学生中,男生有326名,女生有386名. 能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法,减少“极端”样本的出现,从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢? 我们知道,影响身高的因素有很多,性别是一个主要因素. 高中男生的身高普遍高于女生的身高,而相同性别的身高差异相对较小. 那我们就可以利用性别和身高的这种关系, 把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的群体, 对两个群体分别进行简单随机抽样, 然后汇总作为总体的一个样本. 由于在男生和女生两个群体中都抽取了相应的个体,这样就能有效地避免“极端”样本. 探究思考 对男生、女生分别进行简单随机抽样,样本量在男生、女生中应该如何分配? 显然,为了使样本的结构与总体的分布相近,人数多的群体应多抽一些,人数少的应少抽一些. 这样才能使得无论是男生还是女生,每个学生抽到的概率都相等. 当总样本量为50时,我们就可以计算出从男生、女生分别应抽取的人数为 因此,按男生、女生在全体学生中所占的比例进行分配是比较合理的方式. 即 探究思考 7 我们按照上述方法抽取了一个容量为50的样本,其观测数据(单位cm)如下: 男生:173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0 女生:163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 通过计算,得出男生和女生身高的样本平均数分别为170.6,160.6. 根据男生、女生身高的样本平均数以及它们各自的人数,可以估计总体平均数为 所以该中学高一年级学生的平均身高大约在165.2cm左右. 8 上面我们按性别变量,把高一学生划分为男生、女生两个身高差异较小的子总体分别进行抽样,进而得到总体的估计. 一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体, 在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本, 这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层. 在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配. 分层随机抽样方法 知识一 在分层随机抽样中,如果层数分别为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为和,抽取的样本量分别为和. 我们用,,…,表示第1层各个个体的变量值 用,,…,表示第1层样本的各个个体的变量值; 用,,…,表示第2层各个个体的变量值, 用,…,表示第2层样本的各个个体的变量值,则: 第1层的总体平均数和样本平均数分别为: 第2层的总体平均数和样本平均数分别为: 分层随机抽样中,我们能否直接用样本平均数估计总体平均数? 探究思考 第1层的总体平均数和样本平均数分别为: 第2层的总体平均数和样本平均数分别为: 总体平均数和样本平均数分别为: 分层随机抽样平均数 知识二 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数, 用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数, 因此我们可以用 估计总体平均数. 在比例分配的分层随机抽样中, 可得 因此,在比例分配的分层随机抽样中,我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 分层随机抽样平均数估计 知识二 与考察简单随机抽样估计效果类似, 小明也想通过多次抽样考察一下分层随机抽样的估计效果. 他用比例分配的分层随机抽样, 从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本, 计算出样本平均数如下表所示. 与上一节“探究”中相同样本量的简单随机抽样的结果比较,小明有了一个重要的发现. 你是否也有所发现? 抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 男生样本的平均数 170.0 170.7 169.8 171.7 172.7 171.9 161.6 170.6 172.6 170.9 女生样本的平均数 162.2 160.3 159.7 158.1 161.1 158.4 159.7 160.0 160.6 160.2 总体样本的平均数 165.8 165.1 164.3 164.3 166.4 164.6 165.2 164.9 166.1 165.1 探究思考 作分层随机抽样的样本平均数分布图并与简单随机抽样的平均数的分布图对比,如右图所示: 其中红线表示整个年级学生身高的平均数. 13 从测验结果看,分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动,与简单随机抽样的结果比较,分层随机抽样并没有明显优于简单随机抽样. 但相对而言,分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀, 简单随机抽样中出现了一个(第2个)偏离总体平均数的幅度较大的样本平均数,即出现了比较“极端”的样本,而分层随机抽样没有出现. 实际上,在个体之间差异较大的情形下,只要选取的分层变量合适,使得各层间差异明显、层内差异不大,分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样,也好于很多其他抽样方法. 分层随机抽样的组织实施也比简单随机抽样方便,而且除了能得到总体的估计外,还能得到每层的估计. 分层随机抽样的优点 知识三 判断正误. 1.在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小.( ) 2.由于分层随机抽样是在各层中按比例抽取,故每个个体被抽到的可能性不一样.( ) 3.从全班40名同学中抽取5人调查作业完成情况适合分层随机抽样.( ) 知识辨析 辨析2:某校高三一班有学生54人,二班有学生42人,现在要用分层随机抽样的方法从两个班抽取16人参加军训表演,则一班和二班分别被抽取的人数是( ). A.9,7 B.10,6 C.8,8 D.12,4 A. 知识辨析 题型一:分层随机抽样的概念 例1.下列问题中,最适合用分层随机抽样抽取样本的是( ). A.从10名同学中抽取3人参加座谈会 B.某社区有500个家庭,其中高收入的家庭125个,中等收入的家庭280个,低收入家庭95个,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个容量为100的样本 C.从1000名工人中,抽取100名调查上班途中所用时间 D.从生产流水线上,抽取检查产品质量 B. 典例研究 分层随机抽样的特点 (1)适用于总体差异明显的几部分组成的情况. (2)样本量更充分地反映总体的情况. (3)等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都相等. 归纳总结 某校有高一学生400人,高二学生380人,高三学生220人,现教育局督导组欲用分层随机抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查,则下列判断正确的是( ). A.高一学生被抽到的可能性最大 B.高二学生被抽到的可能性最大 C.高三学生被抽到的可能性最大 D.每位学生被抽到的可能性相等 D. 练习巩固 分层随机抽样,即将相似的个体归入一类(层),然后每类抽取若干个个体构成样本,所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取,必须进行( ) A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样 C.每层按所占比例等可能抽样 D.所有层抽取个体数量相同 C 练习巩固 题型二:分层随机抽样的设计与应用 例2.某学校有在职人员160人,其中行政人员有16人,教师有112人,后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本,请利用分层随机抽样的方法抽取,写出抽样过程. 解:抽样过程如下: 第一步,确定抽样比,样本容量与总体容量的比为 第二步,确定分别从三类人员中抽取的人数,从行政人员中抽取(人) 从教师中抽取(人),从后勤人员中抽取(人). 第三步,采用简单随机抽样的方法,抽取行政人员2人,教师人员14人,后勤人员4人. 第四步,把抽取的个体组合在一起构成所需样本. 典例研究 某一个地区共有五个乡镇,人口3万人,其人口比例为3 : 2 : 5 : 2 : 3,从3万人中抽取一个300人的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法?并写出具体过程. 解:因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层随机抽样的方法.具体过程如下: 第一步,将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层. 第二步,按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人,40人,100人,40人,60人. 第三步,按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本. 第四步,将300人合到一起,即得到一个样本. 练习巩固 分层随机抽样的步骤 分层 按某种特征将总体分成若干部分(层) 计算 抽样比 抽样比 定数 按抽样比确定每层抽取的个体数 抽样 各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本 组合 综合各层抽样,组成样本 归纳总结 题型三:分层随机抽样中的相关计算 例3.随机抽样中,总体共分为2层,第1层的样本量为20,样本平均数为3,第2层的样本量为30,样本平均数为8,则该样本的平均数为_. 6 典例研究 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层随机抽样的方法,从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为_件. 1800 练习巩固 由题设,抽样比为.设甲设备生产的产品总数为件, 则所以.故乙设备生产的产品总量为 【方法不唯一】 进行分层随机抽样的相关计算时,常用到的3个关系 (1) =抽样比. (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比. (3)样本的平均数和各层的样本平均数和各层的总体平均数的关系为: . 归纳总结 1.分层随机抽样定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体, 在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样, 每一个子总体称为层. 课堂小结 2.比例分配:在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即 (1)=比例 (2) 课堂小结 3.样本平均数的计算公式: 在分层随机抽样中,以层数是2层为例,如果第1层和第2层包含的个体数分别为和,抽取的样本量分别为和,样本平均数分别为,,总体的样本平均数为,则. 我们可以用样本平均数估计总体平均数. 课堂小结 $$