9.1.1 简单随机抽样（一） 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.1.1 简单随机抽样（一） 1 学习目标 1、理解简单随机抽样的概念。 2、掌握常见的两种简单随机抽样的方法。 3、能合理地从实际问题的个体中抽取样本。 统计的研究对象是数据，核心是通过数据分析研究和解决问题. 首先要设法获取与问题有关的数据，从而为解决问题奠定基础. 情境引入 例如，准确掌握全国的人口数据，可以为科学制定国民经济和社会发展规划及其他方针政策提供依据.2020年，我国进行了第七次人口普查，对全国人口普遍地、逐户逐人地进行一次性调查登记.调查内容包括每位居民的姓名、性别、年龄、民族、受教育程度等.这里居民为调查对象，而居民的性别、年龄、民族、受教育程度等是要调查的指标. 由于不同调查对象的指标值往往不同，它是一个变化的量，所以常把指标称为变量. 像人口普查，这样对每一个调查对象都进行调查的方法称为全面调查，又称普查. 在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体，为了强调调查目的，也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体， 每一个调查对象的相应指标作为个体. 统计调查术语：普查 知识一 由于人口普查需要花费巨大的财力物力，因而不宜经常进行.为了及时掌握全国人口变动状况，我国每年还会进行一次人口变动情况的调查.这种调查是抽取一部分居民进行调查，根据抽取的居民情况来推断总体的人口变动情况. 情境引入 像这样，根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据，对总体的情况作出估计和判断的调查方案，称为抽样调查. 我们把从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量.调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 统计调查术语：抽样调查 知识二 相对全面调查而言，抽样调查由于只抽取一部分个体进行调查， 因此具有花费少、效率高的特点. 在总体规模比较大的调查中，如果经费、时间受限，那么抽样调查是比较合适的调查方法.在有些调查中，抽样调查则具有不可替代的作用。 统计调查术语：抽样调查 知识二 例如，检测一批灯泡的寿命，或一批种子的发芽率，或一批待售袋装牛奶的细菌数是否超标，这些检测具有毁损性，此时只能用抽样调查. 随着社会的发展，抽样调查的应用范围越来越广泛，下面我们来研究一种基本的抽样方法——简单随机抽样. 在我国，食品安全问题越来越受到人们的关注，党中央、国务院和各级政府部门也高度重视，从制度建设和管理上都做了大量的、卓有成效的工作，取得了良好的效果. 【问题】某报告称，食品质量检测人员对某品牌牛奶的抽检合格率为99.9%，你知道这一数据是怎么得到的吗？完成这一数据时，检测人员要注意什么？ 抽取少量的牛奶作为样本来检测得到的. 情境导入 抽样调查的目的是为了了解总体的情况. 例如抽样调查一批待售袋装牛奶的细菌数是否超标，其目的是要了解整批牛奶的细菌含量超标情况，而不只是局限在抽查到的那几袋牛奶的情况. 因此，通过抽样调查了解总体的情况，自然希望抽取的样本数据能很好地反映总体的情况，即样本含有和总体基本相同的信息. 思考1：假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗？ 我们可以从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复n次. 根据初中的概率知识可知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率会逐渐稳定于摸到红球的概率，即口袋中红球所占的比例. 因此，可以通过放回摸球，用频率估计出红球的比例. 探究思考 我们可以采用不放回摸球，即从袋中随机摸出一个球后不再放回袋中，每次摸球都在余下的球中随机摸取，这样就可以避免同一个小球被重复摸中. 特别地，当样本量n=1000时，不放回摸球已经把袋中的所有球取出，这就完全了解了袋中红球的比例，而有放回摸球一般还不能对袋中红球的比例做出准确的判断. 问题1 放回摸球有什么不足吗？你还有其他的方法吗？ 在有放回地摸球中，同一个小球有可能被摸中多次，极端情况是每次摸到同一个小球，而被重复的小球只能提供同一个小球颜色信息. 这样的抽样结果误差较大. 以上两种抽样方法均称为简单随机抽样. 10 一般地，设一个总体含有N (N为正整数)个个体，从中逐个抽取n (1≤n<N)个个体作为样本， 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样； 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率是相等的，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样. 我们把放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样. 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. 简单随机抽样 知识三 11 一般地，设一个总体含有N (N为正整数)个个体，从中逐个抽取n (1≤n<N)个个体作为样本， 如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样； 如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率是相等的，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样. 简单随机抽样 知识三 注意：从总体中，逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本和一次性批量随机抽取n个个体作为样本是等价的. 12 问题3 简单随机抽样有哪些特点？ 3. 每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性. 2. 样本的抽取是逐个进行的，每次只抽取一个个体； 1. 总体的个体数有限，样本数n小于等于样本总体的个数N ； 问题2 放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样哪个效率高？ 不放回简单随机抽样的效率更高. 因此实践中人们更多采用不放回简单随机抽样. 除非特殊说明，本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样. 13 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？ (1) 从无数个个体中抽取50个个体作为样本； (2) 仓库中有1万支奥运火炬，从中一次抽取100支火炬进行质量检查； (3) 某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作． (1) 不是简单随机抽样. 因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的； (2) 不是简单随机抽样. 虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”； (3) 不是简单随机抽样. 因为这50名官兵是从中挑选出来最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求. 知识巩固 思考2：一家家具厂要为达一中高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度.已知达一中高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎么抽取样本？ 探究思考 在这个问题中，我们知道达一中全部高一年级学生的身高情况是总体，达一中每一位学生的身高情况是个体，学生的身高是调查的变量. 所以要调查高一年级学生的平均身高情况，我们可以用简单随机抽样，就是从712名学生中不放回的逐个抽取样本，用抽出的样本的平均身高估计高一年级学生的平均身高. 实现简单随机抽样的方法有很多，其中抽签法和随机数法是比较常用的两种简单随机抽样方法. 1.抽签法 先给712名学生编号，例如按1—712进行编号.然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒里，充分搅拌. 最后从盒中不放回地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的学生进入 样本，直到抽足样本所需要的人数. 抽签法简单易行，但总体较大时操作起来比较麻烦. 因此，抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形. 思考：为什么要给学生编号？编号用学号可以吗？ 编号是为了更好的区分每个学生，以及便于推演出每一种情况.可以用学号编号，但学号位数太多，操作不简便. 简单随机抽样方法 知识三 抽签法的步骤： 抽签法的优缺点： 第一步：编号——将总体中的所有个体编号； 第四步：抽签——每次从中不放回抽取一个号签，直到抽取到足够的样本量. 第二步：制签——把号码写在形状、大小相同的号签上； 缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大. 优点：简单易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很容易，个体有均等的机会被抽中，从而能保证样本的代表性. 第三步：搅匀——将号签放在一个不透明容器中，并搅拌均匀； 17 2.随机数法 先给712名学生编号，例如按1—712进行编号，用随机数工具产生1—712范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数. 如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的人数. 思考：比较随机数法与抽签法，它们各有什么优点和缺点？ 简单随机抽样方法 知识三 如何产生整数随机数？ (1)用随机试验生成随机数 准备10个大小、质地一样的小球，小球上分别写上数字0，1，2，…，9，把它们放入一个不透明的袋中.从袋中有放回摸取3次，每次摸取前充分搅拌，并把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数，这样就生成了一个三位随机数. 如果这个三位数在1—712范围内，就代表对应编号的学生被抽中，否则舍弃编号，这样产生的随机数可能会有重复. (2)用信息技术生成随机数 ①用计算器生成随机数 进入计算器的计算模式(不同的计算器型号可能会有不同)， 调出生成随机数的函数并设置参数， 例如RandInt，按“=”键即可生成1—712范围内的整数随机数. 重复按“=”键，可以生成多个随机数.这样产生的随机数可能会有重复. ②用电子表格软件生成随机数 在电子表格软件的任意单元格中输入“=RANDBETWEEN(1，712)”，即可生成一个1—712范围内的整数随机数.再利用电子表格软件的自动填充功能，可以快速生成大量的随机数.这样产生的随机数可能会有重复. 随着信息技术的发展，人们越来越多地利用计算器、数学软件、统计软件等工具来生成随机数.尤其是一些统计软件，可以非常方便地按要求生成各种随机数.用信息技术工具产生随机数最大的优点是方便、快捷. 思考3：用简单随机抽样方法抽取样本，样本量是否越大越好？ 探究思考 我们知道，在重复试验中，试验次数越多，频率接近概率的可能性越大.与此类似，用简单随机抽样的方法抽取学生，样本量越大，样本中不同身高的比例接近总体中相应身高的比例的可能性也越大，样本的平均身高接近总体的平均身高的可能性也越大. 即对于样本的代表性，一般来说，样本量大的会好于样本量小的. 尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果. 在实际抽样中，样本量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加. 因此，调查抽样中样本量的选择要根据实际问题的需要，不一定是越大越好. 在简单随机抽样调查中，当样本量和总体一样大时，就是全面调查了. 辨析1：判断正误. 1.在总体规模比较大的调查中，抽样调查比全面调查更合理. ( ) 2.某学校在给学生制作校服前进行尺寸大小的调查，可以采用抽样调查方法.( ) 3.某工程从1000件产品中抽出40件进行质量合格检查，样本是40.( ) 4.抽签法和随机数法都适用于总体容量和样本容量较小时的抽样.( ) 5.利用随机数法抽取样本时，若一共有总体容量为100，则给每一个分别个体编号为1，2，3，…，100.( ) √ 知识辨析 × × √ × 辨析2：下列调查方式中，较适合用普查的是( ). A.调查春节联欢晚会的收视率 B.了解某渔场中青鱼的平均质量 C.了解某批次手机的使用寿命 D.了解一批汽车的刹车性能 D 知识辨析 辨析3：(多选)某校共1005名高三学生参加2022年下学期开学考试，为了了解这1005名学生的数学成绩，决定从中抽取50名学生的数学成绩进行统计分析，下列叙述正确的是( ). A.总体是1005名学生的数学成绩 B.样本量是50 C.个体是每一名学生 D.样本是50名学生的成绩 ABD 知识辨析 解：(1) 总体是被调查的这个班级学生每周的体育锻炼时间；个体是这个班级的每一个学生每周的体育锻炼时间；适合用全面调查. (2) 总体是这个地区全体居民结核病的发病情况；个体是这个地区每一位居民结核病的发病情况；适合用抽样调查. (3) 总体是这批所有炮弹的杀伤半径；个体是这批炮弹中每一发炮弹的杀伤半径；适合用抽样调查. (4) 总体是这个水库里的所有鱼；个体是这个水库里的每一条鱼；适合用抽样调查. 辨析4：在以下调查中，总体、个体各是什么? 哪些适合用全面调查? 哪些适合用抽样调查? (1) 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间； (2) 调查一个地区结核病的发病率； (3) 调查一批炮弹的杀伤半径； (4) 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例. 知识辨析 辨析5：实验室的笼子里共有100只小白鼠，现要从中抽取10只作试验用. 下列两种情况是否属于简单随机抽样? 请说明理由. (1) 每次不经任何挑选地抓一只，抓满10只为止； (2) 将笼中的100只小白鼠按1~100编号，任意选出编号范围内的10个不重复数字，把相应编号的小白鼠作为试验用的小白鼠. 解：两种情况都属于简单随机抽样，因为每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等. 知识辨析 题型一：简单随机抽样的判断 例1.判断下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？ (1)盒子里共有80个零件，从中选出五个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里； (2)从20件玩具中一次性抽取三件进行质量检验； (3)某班有56名同学，指定个子最高的五名同学参加学校组织的篮球赛； (4)环保局人员曲河水进行了化验； (5)从10个手机中逐个不放回的随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号). 解：(2)(3)(4)不是简单随机抽样， (2)中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取，(3)(4)中“指定个子最高的5名同学”“取河水”，不存在随机性，不是等可能抽样.(5)是简单随机抽样. 典例研究 下列抽取中，是简单随机抽样的是( ). A.一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回在拿一件，连续 玩了5件 B.仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查 C.某班从50名同学中选出五名数学成绩最优秀的同学代表本班参加竞赛 D.一彩民选号从装有36个形状、大小都相同的号签的盒子中无放回的抽出 6个号签 D 练习巩固 简单随机抽样的特征 (1)有限性：被抽取样本的总体中的个体数是有限的； (2)逐一性：抽取的样本是从总体中逐个抽取的； (3)等可能性：简单随机抽样是一种等可能的抽样； 如果以上特征有一个不满足，就不是简单随机抽样. 如果是不放回简单随机抽样，要注意是否达到“不放回” 的要求。 归纳总结 题型二：抽签法的应用 例2.某大学为了支持运动会，从报名的60名大三学生中选10人组成志愿小组，请用抽签法设计抽样方案. 解：第一步，将60名大学生编号，编号为1,2,3，…，60； 第二步，将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签； 第三步，将60个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀； 第四步，从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号； 第五步，所得号码对应的学生就是志愿小组的成员. 典例研究 2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎，某医院为了支援湖北，现从报名的18名医护人员中选取6人组成志愿小组到武汉某医院工作，请用抽签法设计抽样方案. 解：方案如下： 第一步，将18名志愿者编号，编号为01,02,03，…，18； 第二步，将号码分别写在相同的纸条上，并揉成团，制成号签； 第三步，将得到的号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀； 第四步，从盒子中依次取出6个号签，并记录上面的编号； 第五步，所得号码对应的志愿者就是小组的成员. 练习巩固 一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点： 一是制签是否方便；二是号签是否容易被搅拌均匀. 一般的，当总体容量和样本容量都较少时，可以用抽签法. 编号 制签 搅匀 抽签 取样 归纳总结 抽签法的步骤流程： 题型三：随机数法的应用 例3.某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验. (1)利用随机数法抽取样本时应如何操作？ 解：(1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002,…，500； 第二步，用随机数工具产生1—500范围内的随机数； 第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本； 第四步，重复上述过程，直到产生的不同编号等于样本所需要的数量. 典例研究 例3. 从500袋牛奶中抽取10袋进行检验. (2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号. 162,277,943,949,545,354,821,737,932,354,873,520,964,384,263,491, 648,642,175,331,572,455,068,877,047,447,672,172,065,025,834,216，337,663,013,785,916,955,567,199,810,507,175,128,673,580,667. 解：(2)应抽取的袋装牛奶的编号为： 162,277,354,384,263,491,175,331,455,068. 题型三：随机数法的应用 典例研究 总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取五个个体，选取方法是从随机数表的数字中由左到右依次选取两个数字，则选出来的第五个个体的编号为( ). 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 D 练习巩固 随机数法抽样的3个步骤 (1)编号:将总体中个个体依次编号为0，1，2，… (2)利用随机数法确定抽取个体编号:利用工具（转盘，科学计算器或计算机等）产生0，1，2，…中的随机数，产生的数是几，就选第几号个体. (3)获取样本:读数在总体编号内的取出，而读数不在总体编号内的和已取出的跳过，依次下去，直至得到容量为的样本. 归纳总结 1.调查方式：全面调查、抽样调查 2.简单随机抽样的概念 3.抽签法与随机数法的优缺点： 抽样方法 优点 缺点 适用范围 抽签法 简单易行 总体容量较大时，操作起来比较麻烦 适用于总体中个体数不多的情形 随机数法 简单易行，很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题 当总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便 总体量较大，样本量较小的情形 课堂小结 $$