9.1.1简单随机抽样（二） 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

9.1.1 简单随机抽样(二) 1 学习目标 1.理解抽样的必要性,简单随机抽样的概念,掌握简单随机抽样的两种方法; 2.能够正确选择抽样方法; 3.通过对事例的研究,体会抽样调查在生活中的应用,培养抽样思考问题意识. 一天,爸爸叫儿子去买一盒火柴。临出门前,爸爸嘱咐儿子要买能划燃的火柴。儿子拿着钱出门了,过了好一会儿,儿子才回到家。 “火柴能划燃吗?”爸爸问。 “都能划燃。” “你这么肯定?” 儿子递过一盒空的火柴盒,兴奋地说:“我每根都试过啦。” 问题1: 在这则笑话中,儿子采用的是什么调查方式? 问题2:这种调查方式好不好?适宜采用什么方法调查? 普查 抽样调查 情景引入 下面是用随机数法从树人中学高一年级学生中抽取的一个容量为50的简单随机样本,他们的身高变量值(单位:)如下: 156.0 166.0 157.0 155.0 162.0 168.0 173.0 155.0 157.0 160.0 173.0 177.0 158.0 155.0 161.0 158.0 161.5 166.0 174.0 170.0 162.0 155.0 156.0 158.0 183.0 164.0 173.0 155.5 176.0 171.0 164.5 160.0 149.0 172.0 165.0 176.0 176.0 168.5 171.0 169.0 156.0 171.0 151.0 158.0 156.0 165.0 158.0 175.0 165.0 171.0 试求树人中学高一年级学生的平均身高大约为多少? 情景引入 解:由这些样本观测数据,我们可以计算出样本的平均数为 下面是用随机数法从树人中学高一年级学生中抽取的一个容量为50的简单随机样本,他们的身高变量值(单位:)如下: 156.0 166.0 157.0 155.0 162.0 168.0 173.0 155.0 157.0 160.0 173.0 177.0 158.0 155.0 161.0 158.0 161.5 166.0 174.0 170.0 162.0 155.0 156.0 158.0 183.0 164.0 173.0 155.5 176.0 171.0 164.5 160.0 149.0 172.0 165.0 176.0 176.0 168.5 171.0 169.0 156.0 171.0 151.0 158.0 156.0 165.0 158.0 175.0 165.0 171.0 由这些样本观测数据,我们可以计算出样本的平均数为164.3. 据此,可以估计树人中学高一年级学生的平均身高为164.3左右. 情景引入 上面我们通过简单随机抽样得到部分学生的平均身高,并把样本平均身高作为树人中学高一年级所有学生平均身高的估计值. 一般地,总体中有个个体,它们的变量值分别为,,…,,则称 为总体均值,又称总体平均数. 如果总体的个变量值中,不同的值共有个,不妨记为,…,,其中出现的频数,则总体均值还可以写成加权平均数的形式. 均值/平均数/加权平均数 知识一 求和符号性质: (1) (2) (3) 结合律 分配律 本质 如果从总体中抽取一个容量为的样本,它们的变量值分别为 ,…,,则称 为样本均值,又称样本平均数. 在简单随机抽样中,我们常用样本平均数去估计总体平均数. 均值/平均数/加权平均数 知识一 某公司的人员构成及工资数如下: 经理1人,周工资4000元;高层管理人员3人,周工资均为1000元;高级技工4人,周工资均为900元;工人6人,周工资均为700元;学徒1人,周工资为500元.计算该公司员工周工资的平均数. 知识巩固 思考1:小明想考察一下简单随机抽样的估计效果.他从医务室得到了高一年级学生身高的所有数据,计算出整个年级学生的平均身高为165.0.然后,小明用简单随机抽样的方法,从这些数据中抽取了样本容量为50和100的样本各10个,分别计算出样本平均数,如表所示. 从小明多次抽样所得的结果中,你有什么发现? 抽样序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 样本量为50的平均数 165.2 162.8 164.4 164.4 165.6 164.8 165.3 164.7 165.7 165.0 样本量为100的平均数 164.4 165.0 164.7 164.9 164.6 164.9 165.1 165.2 165.1 165.2 探究思考 为了更方便的观察数据,以便我们分析样本平均数的特点以及与总体平均数的关系,我们把这20次试验的平均数用图形表示出来。 如图所示,图中的红线表示树人中学高一年级全体学生的平均数. 探究思考 从实验结果看不管样本量为50还是为100,不同样本的平均数往往是不同的.由于样本的选取是随机的,因此样本平均数也具有随机性,这与总体平均数是一个确定的数不同. 虽然在所有20个样本平均数中,与总体平均数完全一致的很少,但除了样本量为50的第2个样本外,平均数样本平均数偏离总体平均数都不超过1,即大部分样本平均数离总体平均数不远,在总体平均数附近波动. 比较样本量为50和样本量为100的样本平均数,还可以发现样本量为100的波动幅度明显小于样本量为50的,这与我们对增加样本量可以提高估计效果的认识是一致的. 为了合理调配电力资源,某市欲了解全市50000户居民的日用电量. 若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查,得到其日用电量的平均数为5.5 kW‧h,则可以推测全市居民用户日用电量的平均数( ). (A) 一定为5.5 kW‧h (B) 高于5.5 kW‧h (C) 低于5.5 kW‧h (D) 约为5.5 kW.h D 知识巩固 在学生身高的调查中,小明和小华分别独立进行了简单随机抽样调查. 小明调查的样本平均数为166.4,样本量为100;小华调查的样本平均数为164.7,样本量为200. 你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计? 是不是你选的值一定比另一个更接近总体平均数? 说说你的理由. 应把小华调查的平均数作为总体平均数的估计值. 因为样本量越大,样本平均数接近总体平均数的可能性越大. 但由于样本的随机性,并不能保证样本量大的估计一定优于样本量小的估计. 知识巩固 总体平均数是总体的一项重要特征. 另外,某类个体在总体中所占的比例也是人们关心的一项总体特征,例如全部产品中合格品所占的比例、赞成某项政策的人在整个人群中所占的比例等. 问题2:眼睛是心灵的窗口,保护好视力非常重要.树人中学在“全国爱眼日”前,想通过简单随机抽样的方法,了解一下全校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例,你觉得该怎么做? 探究思考 在这个问题中,全校学生构成调查的总体,每一位学生是个体,学生的视力是考察的变量. 为了便于问题的描述,我们记“视力不低于5.0”为1,“视力低于5.0”为0,则第个学生的视力变量值为 于是在全校学生中,“视力不低于5.0”的人数就是 可以发现,在总体中,“视力不低于5.0”的人数所占的比例就是学生视力变量的总体平均数. 类似的,若抽取容量为的样本,把它们的视力变量值分别记为则在样本中,“视力不低于5.0”的人数所占的比例就是学生视力变量的样本平均数: 我们可以用样本平均数估计总体平均数, 用样本中的比例估计总体中的比例. 比例 知识二 现在,我们从树人中学所有学生中抽取一个容量为50的简单随机样本,记“视力不低于5.0”为1,“视力低于5.0”为0,其视力变量取值如下: 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 由样本观测数据我们可以计算出样本平均数为有什么意义? 知识巩固 样本平均数为 说明样本中视力不低于5.0的学生比例为0.54 . 可以估计在树人中学全体学生中,“视力不低于5.0”的比例约为0.54. 简单随机抽样方法简单直观,用样本平均数估计总体平均数也比较方便.简单随机抽样是一种基本抽样方法,是其他抽样方法的基础.但在实际应用中,简单随机抽样有一定的局限性. 例如,当总体很大时,简单随机抽样给所有个体编号等准备工作非常费事,甚至难以做到;抽中的个体往往很分散,要找到样本中的个体并实施调查会遇到很多困难;简单随机抽样没有利用其他辅助信息,估计效率不是很高;等等. 因此,在规模较大的调查中,直接采用简单随机抽样的并不多,一般是把简单随机抽样和其他抽样方法组合使用. 简单随机抽样的优缺点 知识三 题型一:利用样本平均数估计总体平均数 例1.某校组织了一次关于“生活小常识”的知识竞赛.在参加的所有学生中随机抽取100位学生的回答情况进行统计,具体如下: 答对5题的有10人;答对6题的有30人;答对7题的有30人;答对8题的有15人;答对9题的有10人;答对10题的有5人.则在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为_. 7 典例研究 解析:抽取的100位学生答对题目的平均数是 因此在这次知识竞赛中这所学校的每位学生答对的题数大约为7. (1)已知数据的平均数为,则数据, 的平均数为_. (2)已知则,. 11 结论:若的平均数为,则的平均数为 练习巩固 0 30 样本均值与总体均值的关系 (1)在简单随机抽样中,我们常用样本均值去估计总体均值; (2)总体均值是一个确定的数,样本均值具有随机性; (3)一般情况下,样本容量越大,估计值越准确. 归纳总结 解:由加权平均数可得,该公司员工周工资的平均数为 eq \f(4 000 1+1 000 3+900 4+700 6+500 1,1+3+4+6+1)=1020(元). ∴该公司员工周工资的平均数为1020元. $$