精品解析： 天津市第二十一中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度高一年级第二学期数学期中质量调查 一、单选题(本大题共9小题，共27分) 1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 已知向量，若⊥，则等于（ ） A B. C. D. 3. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 5. 已知两个不重合平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. ，，，，则 D. ，，，则 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则为等腰三角形 D. 若则是钝角三角形 7. 如图，在正三棱柱中，，，则四棱锥的体积是（ ）． A. B. C. D. 8. 若某正四面体内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的面积为（ ） A B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题，共24分) 10. i是虚数单位，则 ___________. 11. 在中，所对的边分别为，若，则__________. 12. 已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为________. 13. 已知，则向量在向量上的投影向量坐标为____________． 14. 如图，在棱长都相等的正三棱柱中，若为棱的中点，则直线 与直线所成的角为_________． 15. 在中，，，为CD上一点，且满足，则的值为__________；若，，则的值为__________. 三、解答题(本大题共5小题，共49.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16. 已知复数，，为虚数单位． （1）求 （2）若，求的共轭复数； （3）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． 17. 已知向量，满足，. （1）求； （2）若与同向，求的坐标； （3）若，求与的夹角. 18. 在中，内角，，对边分别为，，，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）若的面积为，求的值. 19. 如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. （1）求证： 平面； （2）求证： 平面 （3）求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 20. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高一年级第二学期数学期中质量调查 一、单选题(本大题共9小题，共27分) 1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义，列关于m的方程，解方程即可求复数z，然后根据虚部的定义即可求解. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 当时，，不符合题意，舍去；所以，即， 所以复数的虚部为4， 故选：C. 2. 已知向量，若⊥，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 又，，所以，解得， 故选：C. 3. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算可求得结论. 【详解】因为，所以. 故选：D. 4. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】 如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中 所以原图形的面积为. 故选：D. 5. 已知两个不重合的平面，，三条不重合的直线a，b，c，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. ，，，，则 D. ，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理判断A，根据空间直线的位置关系判断B，根据面面平行的判定定理判断C，根据线面平行的性质定理判断D. 【详解】当，，时，不能推出，故A错误； 当，时，可能相交，也可能异面，不能推出，故B错误； 当，，，，若不相交，则推不出，故C错误； 当，，，由线面平行的性质定理知，故D正确. 故选：D 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则为等腰三角形 D. 若则是钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形边角关系判断A利用诱导公式判断B；；正弦定理推理判断C；利用余弦定理判断D. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由及正弦定理，得，即， 则或，即或，为等腰或直角三角形，C错误； 对于D，由及余弦定理，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确. 故选：C 7. 如图，在正三棱柱中，，，则四棱锥的体积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用割补法，结合柱体、锥体的体积公式运算求解. 【详解】由题意可知：正三棱柱的体积， 三棱锥的体积， 所以四棱锥的体积. 故选：A. 8. 若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正四面体的结构特征，再求出其外接球的半径即可. 【详解】正四面体的内切球与其外接球球心重合， 如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上， 则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径， 由正四面体的内切球的表面积为，得，令， ，，， 在中，，解得，， 所以该正四面体的外接球的体积. 故选：C 9. 在中，内角的对边分别为，已知，，则外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将等式中用替换得到边的齐次式，再利用正弦定理化角为边，利用余弦定理求角可得，结合正弦定理求得外接圆半径，进而求出面积. 【详解】因为，且， 所以， 由正弦定理，可得， 即， 所以， 由，所以， 则外接圆的半径为， 所以外接圆的面积为． 故选：C. 二、填空题(本大题共6小题，共24分) 10. i是虚数单位，则 ___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的除法乘法运算结合模长公式计算 即可. 【详解】 . 故答案为：. 11. 在中，所对的边分别为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，利用正弦定理运算求解. 【详解】由题意可知：， 由正弦定理可得. 故答案为：. 12. 已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥的底面圆半径，母线长，再计算圆锥的高． 【详解】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，则底面圆周长为，解得； 所以圆锥侧面展开图的圆心角为，解得； 所以该圆锥的高为． 故答案为：． 13. 已知，则向量在向量上的投影向量坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可得到向量在向量上的投影向量，得到答案. 【详解】由，可得， 设向量与的夹角为， 则向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14. 如图，在棱长都相等的正三棱柱中，若为棱的中点，则直线 与直线所成的角为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角形的中位线定理及平行四边形的性质，结合异面直线所成角的定义及勾股定理和逆定理即可求解. 【详解】设分别为棱的中点，连接，,如图所示， 因为分别为棱的中点， 所以, 又因为为棱的中点，，为棱的中点， 所以,且， 所以四边形为平行四边形， 所以 所以为直线 与直线所成的角（或其补角）. 设正三棱柱的棱长为，则 ， ， ， , 所以，即, 所以， 故直线 与直线所成的角为. 故答案为：. 15. 在中，，，为CD上一点，且满足，则的值为__________；若，，则的值为__________. 【答案】 ①. ##0.1 ②. 【解析】 【分析】根据得到，设存在，使得，变形后得到，对照系数得到方程组，求出；再计算出，从而得到，代入计算即可. 【详解】因为，所以， ， 因为三点共线，所以设存在，使得， 故，即， 故，解得； ， 则 因为，，， 所以 故答案为：， 三、解答题(本大题共5小题，共49.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16. 已知复数，，为虚数单位． （1）求 （2）若，求的共轭复数； （3）若复数在复平面上对应点在第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由复数的乘法运算，即可得到结果； （2）由复数的除法运算，即可得到结果； （3）由复数的几何意义，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 【小问2详解】 ，， ， ． 【小问3详解】 在复平面上对应的点在第四象限， ，解得， 故实数的取值范围为． 17. 已知向量，满足，. （1）求； （2）若与同向，求的坐标； （3）若，求与的夹角. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用坐标计算模即可. （2）利用共线向量定理，结合向量的坐标运算求解. （3）利用向量的运算律及夹角公式求解. 【小问1详解】 由，得 【小问2详解】 由与同向，令，则，而，解得， 所以. 【小问3详解】 由，得，即，解得， 因此，而，则， 所以与夹角是. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）若的面积为，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）4. 【解析】 【分析】（1）应用正弦边角关系得，结合已知及余弦定理得，再由平方关系求； （2）应用二倍角正余弦公式、和角余弦公式求函数值； （3）由三角形面积公式得，结合、即可求边长. 【小问1详解】 因为，所以，而， ，， ； 【小问2详解】 由（1），， ； 【小问3详解】 由（1），则，又，则， 又，则. 19. 如图，在四棱锥中， PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，，. （1）求证： 平面； （2）求证： 平面 （3）求直线EC与平面PAC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行. （2）通过证明，，进而根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，可证面面垂直. （3）先作出直线与平面所成的角，然后用直角三角形中的边角关系求角的正弦值. 【小问1详解】 如图：取的中点，连接， 则，且，又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 由题设易知为直角梯形，且， 则，所以， 因为，，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，平面，所以平面. 【小问3详解】 如图：取的中点，连接， 则，由（2）知平面，则平面， 所以为直线与平面所成的角. 又平面，所以， 因为，又， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 20. 已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且． （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小； （2）将中的角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长. 【小问1详解】 由已知得． 因为，所以， 所以． 又，所以， ，则 所以．又， 所以； 【小问2详解】 由已知及正弦定理得． 因为，所以，所以． 由余弦定理得， 所以，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $