微专题 导数压轴-必要性探路与端点效应讲义-2025届高三数学二轮复习

微专题 导数压轴—必要性探路与端点效应 【知识梳理与思路分析】 1. 什么是端点效应？ 端点效应是指在求解不等式恒成立问题时，通过分析函数在区间端点的取值或极限行为，得到参数的必要条件，从而缩小参数范围的一种方法。通常结合导数工具进一步验证充分性。 2. 端点效应适用于什么样的题型？ 适用于形如“对任意恒成立，求参数范围”的问题。尤其当函数在端点处取值为零或极限为零时，端点效应可能有效。 举例说明：已知函数满足，对恒成立，求的取值范围. 【解题分析】面对形式和结构复杂的函数，我们往往需要先考察它在端点处的取值，从而得到必要条件，再去验证充分性. 情况1 ； 情况2 若，则必有； 情况3 若，则； 情况4 【例题精讲】 【例1】（2025 宁波二模）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围； 【解析】由题意可得， ，此时； ，此时； 要想对任意时，恒成立，则必有，即得. 即得是在恒成立的一个必要条件. 下面证明充分性，即证当时，对任意时，恒成立. ， 令，则， 即得在上单调递增，所以； 即得，恒成立； 充分性得证. 综上所述 实数的取值范围为. 【例2】（2024广东模拟）若关于的不等式，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】令，， 由题可知恒成立，，所以. 下面只需证当时，对任意时，恒成立. ， 令，， , 即得在上单调递增，所以； 即得，恒成立； 综上所述 实数的取值范围为. 【例3】（2024全国甲卷）已知函数. （1） 当时，求的极值； （2） 当时，，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， ，由此可得在上单调递增， 又因为，所以在上单调递减，上单调递增， 即得的极小值为，无极大值. （2）,因为， ，可得， ，令，得. 下面只需证当时，对任意时，恒成立. ， 令，， ， 所以在上单调递增，， 即得在上单调递增，， 综上所述 实数的取值范围为. 【例4】设函数. （1） 求的单调区间； （2） 如果对于任意，都有，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设，由题可知对于任意，都有恒成立， 计算可知，，计算可知，令，得. 下面只需证当时，对任意时，恒成立. , 令, ， 所以单调递减，， 即得. 综上所述 实数的取值范围为. 【课后练习】 练习1.（2023 全国统考高考真题）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2） 若，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 令，得. ， 所以，即得单调递减. （2）令，恒成立. 因为，，所以， 令，得. 下面只需证当时，对任意时，恒成立. 当时，，满足题意； 当时，恒成立， 综上所述 实数的取值范围为. 练习2 （2025 苏州二模）已知，，. （1）若曲线在点的切线也是的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为，且，所以曲线在点的切线为.又因为，设在切点处得切线就是， 得且，即得. （2）由题意可知，. 当时，，所以上单调递增； 当时，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）令.对任意恒成立，计算可得,，计算可得， ，计算可得，令，即得. 下面只需证当时，对任意时，恒成立. ， 因为，所以，对任意恒成立. 综上所述 实数的取值范围为. 【思考】 端点效应是否一直有效？如果失效了，该如何处理？失效的情况有哪些？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题 导数压轴—必要性探路与端点效应 【知识梳理与思路分析】 1. 什么是端点效应？ 2. 端点效应适用于什么样的题型？ 举例说明：已知函数满足，对恒成立，求的取值范围. 【例题精讲】 【例1】（2025 宁波二模）已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围； 【例2】（2024广东模拟）若关于的不等式，恒成立，求实数的取值范围. 【例3】（2024全国甲卷）已知函数. （1） 当时，求的极值； （2） 当时，，求实数的取值范围. 【例4】设函数. （1） 求的单调区间； （2） 如果对于任意，都有，求实数的取值范围. 【课后练习】 练习1.（2023 全国统考高考真题）已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2） 若，求实数的取值范围. 练习2 （2025 苏州二模）已知，，. （1）若曲线在点的切线也是的切线，求的值； （2）讨论函数在区间上的单调性； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【思考】 端点效应是否一直有效？如果失效了，该如何处理？失效的情况有哪些？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$