专题18 导数中的距离问题（5大题型）-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题18 导数中的距离问题 【题型归纳】 题型一：直线与曲线的距离 题型二：点与曲线的距离 题型三：曲线与曲线的距离 题型四：横向距离 题型五：纵向距离 【方法技巧总结】 导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值． 【典型例题】 题型一：直线与曲线的距离 【例1】（2025·高三·天津和平·期中）已知函数，若对任意的正实数t，在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若对任意的正实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·四川绵阳·一模）若存在实数，使得关于的不等式（其中为自然对数的底数）成立，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知实数，满足，实数，满足，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：点与曲线的距离 【例2】若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高三·安徽芜湖·期末）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为 A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·河北石家庄·模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（    ） A． B． C． D． 题型三：曲线与曲线的距离 【例3】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·江西·模拟预测）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知点为函数图像上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 题型四：横向距离 【例4】函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【变式4-1】设直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式4-3】（2025·广东佛山·二模）已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为 ；若，则的最大值为 . 题型五：纵向距离 【例5】已知直线分别与函数，的图象交于两点，则当长度达到最小时，的值为（   ） A． B．2 C． D． 【变式5-1】直线与函数的图象分别交于两点，则的最小为（    ） A．1 B． C． D． 【变式5-2】直线与函数的图象分别交于A､B两点，当|AB|最小时，为（    ） A．1 B． C． D． 【过关测试】 1．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（2025·湖北·一模）设，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南曲靖·一模）设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值为 A． B． C． D． 6．已知实数满足，，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 7．已知实数，，，满足，则的最小值为（    ） A． B．8 C．4 D．16 8．已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知实数，，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知实数满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 11．（2025·吉林·模拟预测）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为 A． B． C． D． 12．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 14．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，的图像分别与直线交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 16．已知函数，其中，存在，使得成立，则实数= . 17．设函数，存在，使得成立，则实数的值是 . 18．若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是 . 19．（2025·广东惠州·一模）设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线、，若在区间内，曲线、有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的最大值为 ． 20．设满足方程的点的运动轨迹分别为曲线，若曲线有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围为 . 21．已知实数满足，则的最小值 . 22．（2025·全国·模拟预测）已知实数a，b，c，d满足关系式，，则的最小值为 ． 23．（2025·江西·一模）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为 ． 24．（2025·高三·福建龙岩·期末）已知为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为 ． 25．设直线与函数，的图象分别交于点、，则当达到最小时的值为 . 26．已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为 ． 27．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为 ． 28．（2025·江苏无锡·一模）若动直线与函数的图象分别交于两点，则线段长度的最大值为 . 29．设，当a，b变化时，的最小值为 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 导数中的距离问题 【题型归纳】 题型一：直线与曲线的距离 题型二：点与曲线的距离 题型三：曲线与曲线的距离 题型四：横向距离 题型五：纵向距离 【方法技巧总结】 导数中的“距离”问题，利用化归转化和数形结合的思想可把问题转化为点到直线的距离、两点间的距离问题，再利用导数法来求距离的最值．方法之一是转化化归，将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题，而这个“点”一般就是利用导数求得的切点；方法之二是构造函数，求出导数，利用导数求解最值． 【典型例题】 题型一：直线与曲线的距离 【例1】（2025·高三·天津和平·期中）已知函数，若对任意的正实数t，在R上都是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意在R上恒成立，其中， 整理得对恒成立， 所以对恒成立， ， 令，， 时，，递减，时，，递增， 所以， 所以的最小值是16， 所以． 故选：D． 【变式1-1】若对任意的正实数，函数在上都是增函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数在上都是增函数， 所以恒成立， 即对任意的实数，在上恒成立， 所以，，， 故只需的最小值． 令， ， 由于时，；时，，即时，取得最小， 故选：A 【变式1-2】（2025·四川绵阳·一模）若存在实数，使得关于的不等式（其中为自然对数的底数）成立，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式 ，即为， 表示点距离的平方不超过，即最大值为． 由在直线上， 设与直线平行且与相切的直线的切点为， 可得切线的斜率为，解得，切点为， 由切点到直线的距离为直线上的点与曲线的距离的最小值， 可得，解得，则的取值集合为； 故选：C． 【变式1-3】已知实数，满足，实数，满足，则的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为，则，即因为，则，即. 要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值. 因为，则，有，，即过原点的切线方程为. 最短距离为. 故选A. 考点：导数的几何意义 题型二：点与曲线的距离 【例2】若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的导数为， 设，可得过的切线的斜率为， 当垂直于切线时，取得最小值， 可得，且， 可得，解得或（舍去）， 即有，解得， ∴， 故选：D． 【变式2-1】（2025·高三·安徽芜湖·期末）若点与曲线上点距离最小值为，则实数为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点的坐标为，根据直线与曲线在点处的切线垂直，得到关于的表达式，再利用两点间的距离公式结合的最小值为，求出的值，即可得出实数的值.设点的坐标为，对函数求导得， 由题意可知，直线与曲线在点处的切线垂直，则， 得， 由两点间的距离公式得， 由于的最小值为，即，，解得，因此，. 故选：C. 【变式2-2】（2025·河北石家庄·模拟预测）设点，P为曲线上动点，若点A，P间距离的最小值为，则实数t的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，则，记， ，易知是增函数，且的值域是， ∴的唯一解，且时，，时，，即， 由题意，而，， ∴，解得，． ∴． 故选：C． 题型三：曲线与曲线的距离 【例3】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示：与直线相交于，关于的对称点在上. 则 设，则， 故在上单调递减，在上单调递增，， 故恒成立，即恒成立. 的导函数，的导函数， 当两条切线与平行时，都有，到直线的距离为. 故，当，时等号成立. 故选：. 【变式3-1】（2025·江西·模拟预测）设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，这两个函数互为反函数，图象关于对称. 所以与的图象可以看成是由，这两个函数图象向右平移一个单位得到的. 所以的最小值即为曲线与上两点的最小值. 曲线上的点到直线的距离为 设，则. 由可得，由可得 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数，所以 由图象关于对称得：的最小值为. 故选：B 【变式3-2】已知点为函数图像上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，又圆的圆心为， 令， ，． 令， ， 令， ，时，， 在上单调递增，，即 所以在上单调递增，即在上单调递增，而． ，解得；，解得， 在递减，在递增， ， ， 则线段的长度的最小值为， 故选：A． 【变式3-3】设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵函数与函数互为反函数， ∴函数与函数的图象关于直线对称， ∴的最小值是点到直线的最短距离的2倍， 设曲线上斜率为1的切线为， ∵，由得， 即切点为（，2），     ∴ ， ∴切线到直线的距离， ∴两点间的最短距离为2=． 故选:B． 题型四：横向距离 【例4】函数，的图象与直线分别交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由可得， 由可得， 所以 设，，则， 记，则恒成立， 所以即在上单调递增， 且， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以的最小值为， 故选：C. 【变式4-1】设直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线与函数，的图象分别交于，两点， ，，，其中，且， ，设函数， ，， 令，解得， 当，即时，函数在，单调递增， 当，即时，函数在单调递减， 故时，函数有最小值，最小值为， 故线段的长度的最小值为． 故选：D． 【变式4-2】（2025·新疆乌鲁木齐·二模）直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】因为直线分别与函数，交于，两点， 令，则，令，则，所以 ，因为所以，所以，则. 则，令， ， 令，得或(舍去)， 所以在上单调递减，在上单调递增， . 故选：A. 【变式4-3】（2025·广东佛山·二模）已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为 ；若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由有三个零点，则， 由，而，则， 又，则，， 则，且， 对于且，则， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 所以， 综上，最大值. 故答案为：，. 题型五：纵向距离 【例5】已知直线分别与函数，的图象交于两点，则当长度达到最小时，的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】直线与函数，的交点为：，，所以，，令，则， 当时，；当时，，所以时，有最小值，. 故选：C. 【变式5-1】直线与函数的图象分别交于两点，则的最小为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 设，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，函数取得最小值，， 所以的最小为. 故选：D 【变式5-2】直线与函数的图象分别交于A､B两点，当|AB|最小时，为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】令， 则，易知，，单减； ，，单增； 则； 则直线与函数的交点间距离， 当且仅当时，AB最小. 故选：B. 【过关测试】 1．设点在曲线上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】 和互为反函数，问题可以转化为直线到距离的两倍. 令得故切点为 由，所以. 故选：C. 2．（2025·湖北·一模）设，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，， 由表示两点与点的距离， 而点在抛物线上，抛物线的焦点，准线为， 则表示与的距离和与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得表示与的距离和加上1， 由图象可知三点共线时，且为曲线的垂线，此时取得最小值， 即为切点，设， 由，可得， 设，则递增，且，可得切点， 即有，则的最小值为， 故选：B. 3．（2025·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，，则点在函数图象上，在函数的图象上， 容易知道图象是抛物线图象的上半部分， 记抛物线焦点为，过 作抛物线的准线的垂线，垂足为，如图所示： 则， 当且仅当在线段 上时，取最小值. 设这时点坐标为，又， 所以有，解得 ，即该点为， 所以，因此. 故选：A. 4．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】与互为反函数，其图像关于直线对称 先求出曲线上的点到直线的最小距离． 设与直线平行且与曲线相切的切点，． ，，解得．． 得到切点，点P到直线的距离． 最小值为． 故选：B． 5．（2025·云南曲靖·一模）设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】表示点与点距离的平方,的轨迹是函数的图象，的轨迹是直线.则，作的图象平行于直线的切线，切点为，则，所以，切点为，所以若存在使得成立，则，此时恰好为垂足，所以，解得，故选A. 6．已知实数满足，，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】 ， 令 ，则， 其几何意义为点A 与点 之间距离的平方， 设 ，则点A和B分别在 和 的图像上，如下图， 显然 和互为反函数，其图像关于y=x对称， 则A与B的最短距离必然在直线y=x的垂线上，点A与点B关于y=x对称， 不妨设 ，则 ， ，设 ， ， 当 ， ，在x=1处取得最小值 ， 即 ，∴当 取最小值时，即是 取得最小值， 的最小值为 ； 故选：D. 7．已知实数，，，满足，则的最小值为（    ） A． B．8 C．4 D．16 【答案】B 【解析】由得，，，即，， 的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方， 不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为， 显然直线与直线的距离的平方即为所求， 由，得，设切点为，， 则，解得， 直线与直线的距离为， 的最小值为8． 故选：B. 8．已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 9．已知实数，，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由已知， 则，即为直线上的点， 为函数上的点， 则， 设与相切，由， 则，可得，所以切点为，则， 则切点到直线的距离为， 所以最小值为2. 故选：B. 10．已知实数满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题，得， 设是曲线的点，是直线的点， 可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方， 对求导得，令，得， 所以曲线C上的点到直线l的距离最小， 该点到直线l的距离为， 因此的最小值为. 故选：D 11．（2025·吉林·模拟预测）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.故选A. 12．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，圆心为，设点的坐标为， 则， 设， ， 令，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，故， 所以时，且， 所以时，，函数单调递减， 当时，令，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 则，即， 所以时，单调递增，即单调递增， 所以，故当时，函数单调递增， 所以， 故的最小值为， 则线段的长度的最小值为． 故选：B． 13．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】 由圆的对称性可得只需考虑圆心到函数图象上一点的距离的最小值． 设图象上一点，令图象上一点的切线为 由的导数为，即切线的斜率为， 当时，圆心到函数图象上一点的距离最小， 此时，即有， 由，可得，递增，又， 所以，， 所以点到点的距离最小，且为， 则线段的长度的最小值为， 故选：A． 14．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）直线分别与函数，交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，且在上递增； ，且在上递增. 所以，且都有唯一解， ， ， 构造函数， 所以在区间递减；在区间递增. 所以的最小值为. 所以的最小值为. 故选：A 15．已知函数，的图像分别与直线交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，， ，其中，且， 所以，令，， 则时，解得， 所以时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 故选：C． 16．已知函数，其中，存在，使得成立，则实数= . 【答案】/ 【解析】设，设，则， 而点P在曲线，点Q在直线上， 当过曲线上的一点的切线与直线平行时， 点到直线的距离取得最小值 由，可得，所以， 到直线的距离，则，即恒成立， 由题意可知存在，使得，则 过点垂直于的直线为 由，可得，则，则 故答案为： 17．设函数，存在，使得成立，则实数的值是 . 【答案】 【解析】由题意得： 可将看作动点与定点之间距离的平方 则动点在函数图象上，在直线图象上 ，令，解得：， 上的点到直线的距离最小      若存在，使得成立，则 此时，为垂足         本题正确结果： 18．若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】∵在R上是增函数， ∴在R上恒成立， ∴， 令，则， 则 ， 令，， 则， 易得时，，时，， 所以时，， ∴当，取得最小值为 ， 所以，取得最小值为 ， ∴，即. 故答案为： 19．（2025·广东惠州·一模）设满足方程的点，的运动轨迹分别为曲线、，若在区间内，曲线、有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 依题意，曲线：，曲线：，在区间内，曲线、有两个交点， 即方程，也就是在上有两解， 即直线与，的图像有两个交点， 令， ， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，，， 且， 所以， 因为直线与，的图像有两个交点， 所以的最大值为． 故答案为：． 20．设满足方程的点的运动轨迹分别为曲线，若曲线有两个交点（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】法一：因为， ， 依题意，曲线，曲线， 且曲线有两个交点，方程在上有两解， 即方程在上有两解，令， 所以方程有两解等价于函数的图象与的图象有两个交点. 易知直线恒过定点，斜率为， 又由得，令，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，作出的图象如图所示， 设直线是的图象的切线，设切点为， 则切线斜率为，所以切线的方程为， 又直线经过点，所以， 即，解得或，所以或， 由图知，当或即或时， 函数的图象与的图象有两个交点，即曲线有两个交点， 故实数的取值范围是. 法二：因为， 依题意，曲线，曲线，且曲线有两个交点， 方程在上有两解，即方程在上有两解， 当时，，此时； 当时，即方程在上有两解， 令，则的图象与的图象有两个交点. 又， 令，则或， 当或时，单调递减， 当或时，单调递增， 又，且当时，， 当时，，当时，， 所以的大致图象如图所示， 要使的图象与的图象有两个交点，则或， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 21．已知实数满足，则的最小值 . 【答案】 【解析】由题意可得可以表示两点与之间距离的平方 故， 可以看成是函数， 即函数在的切线与函数平行时求出最小值 则，解得 此时 故的最小值为 22．（2025·全国·模拟预测）已知实数a，b，c，d满足关系式，，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，可得，，可以看做曲线上一点和直线上一点之间的距离，可设与直线平行的直线与曲线相切于，则，，∴，解得，，∴，∴的最小值为． 故答案为： 23．（2025·江西·一模）已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点（为自然对数的底），则线段的长度的最小值为 ． 【答案】 【解析】圆心，先求的最小值，设，所以以点为切点的切线方程为，当垂直切线时，，此时点，函数图象上任意点到点的距离大于点到切线的距离即，所以的最小值是，故答案为. 24．（2025·高三·福建龙岩·期末）已知为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【解析】由圆的对称性可知，只需满足圆心（0，）到图象上一点的距离最小值 设图象上的一点为 则 即有切线斜率为 可得 , 设 , 递增 又 可得处点（e,1）到的距离最小，为 则线段长度的最小值为 25．设直线与函数，的图象分别交于点、，则当达到最小时的值为 . 【答案】 【解析】令，其中，则，. 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，即， 故. 故答案为：. 26．已知直线分别与函数和的图象交于点A，B，则的最小值为 ． 【答案】1 【解析】先证明：， 证明：设， 故， 当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 故，故. 设，则且即， 故， 由的性质可得，当且仅当时等号成立，故， 故答案为：1. 27．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若动直线与函数和的图象分别交于，两点，则的最大值为 ． 【答案】． 【解析】， ， ， 则时，取得最大值为． 故答案为：． 28．（2025·江苏无锡·一模）若动直线与函数的图象分别交于两点，则线段长度的最大值为 . 【答案】 【解析】因为，所以由题设可知，因此当时，，应填答案． 29．设，当a，b变化时，的最小值为 . 【答案】. 【解析】， 函数表示点和的距离加上的纵坐标， 画出和的图像，如图所示： 故，当共线时等号成立. 设，则，， 当时，，故，函数单调递增； 当时，，故，函数单调递减. ，故. 综上所述：的最小值是. 故答案为：. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$