8 函数及其图象课件 2025年中考数学专题复习精讲（河南）

第三章 函数 函数及其图象 1 考点1 函数的相关概念及自变量的取值范围 1.函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于 的 每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数. 2.函数值：若是的函数，且时,则叫做当自变量的值为 时的函 数值. 2 3.自变量的取值范围 表达式 自变量的取值范围 分式型，如 ①______ 二次根式型，如 ②______ 分式二次根式型，如 ③______ 零指数幂或负整数指数幂 底数不为零 实际问题 要符合实际意义 3 考点2 函数的表示方法及图象的画法 1.函数的三种表示方法： 列表法、④________法、图象法. 2.函数图象的画法：列表、⑤______、连线. 注意：画一次函数的图象时，描出两点即可；画其他曲线，需至少描出五个点. 表达式 描点 4 研究函数图象时的要点 （1）确定横轴、纵轴表示的量； （2）找图象的特殊点，如起点、终点、转折点、交点等，理解特殊点的意 义； （3）将图象在转折点处进行分段，分析图象上升、下降、水平的变化趋势 及在各种状态下代表的意义. . . . . . . . . 5 基础题过考点 1.[2024牡丹江中考] 函数中，自变量 的取值范围是_____________ __. 且 2.[2024江西中考] 将常温中的温度计插入一杯 的热水（恒温）中,温度 计的读数与时间 的关系用图象可近似表示为( ) C A. B. C. D. 6 3.[2024常州中考] 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合 理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速” 单位：．小华参加 的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是( ) D A.第 所用的时间最长 B.第 的平均速度最大 C.第和第 的平均速度相同 D.前的平均速度大于最后 的平均速度 7 命题角度1 几何问题中函数图象的分析与判断 例1 一题多问 [2023绥化中考改编] 在菱形中， ， . 8 （1）如图（1），点为的中点，点从点出发，沿边运动到点 停 止.设点运动的路程为，，与 的函数关系的图象如图（2） 所示，则 的值为______. 图（1） 图（2） 9 [解析] 由题意可知，题图（1）中的值为 的 最小值.如图，作点关于直线的对称点,连接 , 交于点，则此时的值最小，最小值为 的长.连接，则 .又 ， . 过点作交的延长线于点 ，则 ， ， ， ， ， . 10 （2）如图（3），点先从点 出发，沿直线运动到菱形内部一点，再从该 点沿直线运动到顶点.设点运动的路程为，，与 的函数关系的 图象如图（4）所示，则 的值为__. 图（3） 图（4） 11 [解析] 连接，，交点为,易求 ， .由题图（4）可知，当 时， ，， 点在对角线 上运动，且 当时，点运动到点.由题图（4）可知，当点 停止运动时，函数 图象与轴相交， 此时点与点重合.综上可知，点先沿 运动，再沿 运动.当时，点运动到的中点处，此时 ，即 . 12 （3）如图（5），动点，同时从点出发，点 以每秒2个单位长度的速 度沿折线向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿线段 向终 点 运动，当其中一点运动至终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为 秒，的面积为，与的函数关系的图象如图（6）所示，则 的值 为_____. 图（5） 图（6） 13 [解析] 由题图（5）（6）可知，当点运动到点时， ，此时 ，.易知点到的距离为 ， ，解得.,， 点 先到 达终点，且当点到达终点时，，此时 ， . 14 分析函数图象解决几何问题的步骤 1.分清函数图象的横、纵坐标代表的量及函数自变量的取值范围； 2.找出分段函数的转折点、函数增减性发生变化的点以及函数图象与坐标轴 的交点； 3.根据2中的特殊点的坐标求出点运动到特殊位置时相关的几何量，进而解决 问题. 15 提分特训 1.[2024南阳二模] 如图（1）,正方形 的边长为4，点是边 的中点， 点从点出发，沿线段， 运动， 到达点即停止运动.设点 运动的路程为 C A. B. C. D.， ，正方形的面积与的面积之比为，图（2）是随 变化的图 象.当点运动到的中点时，对应图象上点 的坐标为( ) 16 [解析] 当点运动到的中点时， ， ， 图象上点的坐标为 .故选C. 17 2.在矩形中， .如图（1）， 将矩形 置于平面直角坐标系的第 一象限中，且 轴，直线 沿 轴正方向平移，在平 8 [解析] 当直线经过点时，，设此时直线与交于点 ，则 ，， 当直线经过点时，.又当直线经过点 时，，， 矩形的面积为 . 移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在 轴上平移的距离 为，，间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形 的面积为___. 18 命题角度2 实际问题中函数图象的分析与判断 图（1） 例2 [2023平顶山二调改编] 在一定温度下,某固态 物质在 溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质 的质量,叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度.物质 的溶解度会随温度的变化而变化.已知硝酸钾和氯 化钾在水中的溶解度与温度 的关系如图 （1）所示,溶液浓度的计算方法如图（2）. 19 信息窗 1.溶液的溶质质量分数=溶质质量溶液质量×100%; 2.溶质质量+溶剂质量=溶液质量; 3.在一定温度下,向一定量溶剂里加入某种溶质,当溶质不能继续溶解时,所得 到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液,还能继续溶解的溶液,叫做这种溶质的不 饱和溶液. 图（2） 判断下列说法的正误，若正确，在（ ）打“√”，若错误，在（ ）打“ ”. （1）温度越高，硝酸钾的溶解度越大. ( ) √ （2）氯化钾的溶解度随温度的升高而减小. ( ) × 20 （3）硝酸钾的溶解度随温度变化的情况比氯化钾明显. ( ) √ （4）当 时，硝酸钾的溶解度大于氯化钾的溶解度. ( ) × （5）当 时,硝酸钾的溶解度等于氯化钾的溶解度. ( ) √ （6）当时，硝酸钾饱和溶液中溶质的质量小于 氯化钾饱 和溶液中溶质的质量. ( ) × （7）当时， 水能溶解的硝酸钾的质量大于氯化钾的质量. ( ) √ （8）当时,硝酸钾加入 水中能完全溶解. ( ) × 21 一图串考法 22 考法1 几何问题中函数图象的分析与判断（8年4考） 1.[2023河南，10] 如图（1），点 从 等边三角形的顶点 出发，沿直线 运动到三角形内部一点，再从该点沿 直线运动到顶点．设点 运动的路程 A A.6 B.3 C. D. 为，，图（2）是点运动时随 变化的关系图象，则等边三角形 的边长为( ) 23 [解析] 当时，， 此时 ， 点在线段 的垂直平分线上运动．设 点运动的第一段路线的终点为，如图，连接 ，则 ， .由函数图象可知， ，， 点 为 等边三角形的外心， , .过点 作 于点 ，则 ， ， ．故选A． 24 2.[2021河南,10] 如图（1）,矩形 中, 点为的中点,点沿从点运动到点 , 设,两点间的距离为, ,图（2） 是点运动时随变化的关系图象,则 的 长为( ) C A.4 B.5 C.6 D.7 [解析] 由题图可知，当点与点B重合，即 时， ①.连接，当点 由点B向点C运动时， .当点与点重合时， 的值最大，最大值为5，即此时 ,②.由①②，可求得， ， .故选C. 25 3.[2018河南,10] 如图（1），点 从菱形 的顶点出发，沿 以 的速度匀速运动到点 .图（2）是 点运动时,的面积 随时间 变化的图象,则 的值为( ) C A. B.2 C. D. 26 [解析] 如图，过点A作于点.在菱形 中， ,.观察题图中与 的函数关系的图象 可得，当时，，当时， , ,, . ，.在 中，，,解得 （负值已舍去）.故选C. 27 4.[2017河南,14] 如图（1），点 从 的顶点出发，沿 匀 速运动到点.图（2）是点 运动时，线 段的长度随时间 变化的关系图象， 其中为曲线部分的最低点，则 的面积是____. 12 28 [解析] 由题意可得， 的长度变化的图象分为线段和曲线两部分，分别对 应点的运动区间：段和段.由线段部分的最大值为5，可得点 运动到 点时，，即 .由曲线最低点的函数值为4和“垂线段最短”，可 得当时，.由曲线的末端对应的函数值为5，可得点 运动到 点时，，即，则,即是等腰三角形.当 时，由勾股定理，得,则 ， 故 . 29 此考法更多练习见《题型帮》P9题型三类型2 30 考法2 实际问题中函数图象的分析与判断（8年2考 ） 5.[2024河南，10] 把多个家用电器连接在同一个插线板上,同时使用一段时 间后,插线板的电源线会明显发热,存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进 行研究,得到时长一定时,插线板电源线中的电流与使用电器的总功率 的函 数关系的图象（如图（1））,插线板电源线产生的热量与 的函数关系的图 象（如图（2））.下列结论中错误的是( ) 31 A.当时, B.随 的增大而增大 C.每增加, 的增加量相同 D.越大,插线板电源线产生的热量 越 多 [解析] 由题图可知，A，B中的结论都正确.由题图（2）可知，每增加 ， 的增加量不相同，在逐渐增大，故C中的结论错误.越大， 越大，则热量 就越大，故D中的结论正确.故选C. √ 32 6.[2022河南，10] 呼气式酒精测试仪中装有酒精 气体传感器,可用于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精 气体传感器是一种气敏电阻图（1）中的, 的 阻值随呼气酒精浓度 的变化而变化 （如图（2））,血液酒精浓度与呼气酒精浓度 的关系见图（3）.下列说法不正确的是( ) 33 信息窗 为血液酒精浓度,为呼气酒精浓度 非酒驾 酒驾 醉驾 图（3） A.呼气酒精浓度越大, 的阻值越小 B.当时, 的阻值为100 C.当 时,该驾驶员为非酒驾状态 D.当 时,该驾驶员为醉驾状态 √ 34 [解析] 由题图（2）可知，呼气酒精浓度越大，的阻值越小；当 时，的阻值为100.故A，B中说法正确.由题图（3）可知，当 时， ，属于酒驾状态，故C中说法错误.由题图（2） 可知，当时，， ，属于醉驾状 态，故D中说法正确.故选C. 35 $$