精品解析：四川省泸州市合江县合江县马街中学校2024-2025学年高一下学期期中数学试题

合江县马街中学高2024级高一下期第二次素质检测试卷 数学 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设复数，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. D. - 4. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则大小（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（ ） A. B. 复数对应的点位于第二象限 C. D. 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 13. 已知向量，则向量在上的投影向量的坐标是__________. 14. 将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，与夹角. （1）求； （2）若与共线，求值. 16 已知锐角，且满足. （1）求； （2）求. 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若为边上的一点，_____.且，求的面积.在下列两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并加以解答.①若是的平分线；②若为线段的中点. 18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 19. 已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合江县马街中学高2024级高一下期第二次素质检测试卷 数学 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加减法的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意可得, 故选：D 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式结合特殊角的正弦值即可求解. 详解】解：. 故选：C. 3. 设复数，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. -1 C. D. - 【答案】B 【解析】 【分析】由共轭复数与虚部的概念直接求解即可 【详解】因为， 所以， 所以虚部是. 故选：B 4. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弦切互化可得，即可利用二倍角公式求解. 【详解】由可得，故， 所以， 故选：A 5. 在中，，则大小为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，所以或. 故选：B 6. 若是方程的两个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理可得，结合两角和与差的正、余弦公式以及切弦互化计算即可求解. 【详解】因为是方程的两个实根， 所以， 则. 故选：B 7. 已知函数满足，将函数图象向左平移个单位后其图象关于y轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据，求得，再根据，确定函数的解析式，并求得平移后的解析式，最后根据函数的对称性，确定的最小值. 【详解】因为，所以，即，， 又因为，所以当时，，所以，将其图象向左平移个单位后， 所得函数， 因为函数图象关于y轴对称， 所以，，即，， 当时，，所以的最小值为. 故选:A. 8. 在平行四边形中，为的中点，，与交于点，过点的直线分别与射线，交于点，，，，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，将用和表示，再利用，，三点共线，求得，再利用基本不等式求得最值. 【详解】由，，共线，可设， 由,,三点共线，故可设， 则有，解得：， 故， 由题意，，，三点共线， 故可设， 则，整理得， 故， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为； 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出角的正弦，余弦，正切值，可判断A,B项正误；再运用诱导公式即可判断C,D项正误. 【详解】角的终边经过点，， 则，， ， ，， 故A，B正确，C，D错误. 故选：AB 10. 欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有（ ） A. B. 复数对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出，即可判断A；根据的范围求出的符号，再根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据共轭复数的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，，故A错误； 对于B，，而，则、， 故位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以， 又因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 在中，若，则 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 在中，若，则必是等腰直角三角形 D. 在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正弦定理可判断A；由正弦函数的单调性可判断B；由正弦定理边化角判断C，利用余弦定理可判断D. 【详解】对于A， 在中，若，则，由正弦定理可得，A正确； 对于B，锐角中，，则， 故，B正确； 对于C，在中，若，则， 即得，故或， 故或，即是等腰三角形或直角三角形，C错误； 对于D，，，则， 故，，结合，可知是等边三角形，D正确， 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可化简求解. 【详解】, 故答案为： 13. 已知向量，则向量在上的投影向量的坐标是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【详解】在上的投影向量为， 故答案为： 14. 将余弦函数的图象向左平移个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在区间上恰有1个最小值和3个零点，则的取值范围为___. 【答案】 【解析】 【分析】根据图像变换可得，再以为整体，结合余弦函数性质列式求解即可. 【详解】余弦函数的图象向左平移个单位，可得， 再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，可得， 因为，且，则， 由题意可得：，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，与的夹角. （1）求； （2）若与共线，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等式及向量的运算律求解即可； （2）根据共线向量定理列等式求解即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 与共线， ∴存在唯一实数，使得 即， 又与不共线，∴， 解得. 16. 已知锐角，且满足. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角和的正弦公式即可求解； （2）根据（1）的结论及同角三角函数的平方关系，利用两角和的余弦公式及三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解. 【小问1详解】 因为为锐角，， 所以. 因为，是锐角，即，， 所以，， 又因为， 所以. . 【小问2详解】 由（1）知，， 因为是锐角，， 所以， 由，， 所以， ， 因为， 所以. 17. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若为边上的一点，_____.且，求的面积.在下列两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并加以解答.①若是的平分线；②若为线段的中点. 【答案】（1） （2）条件选择见解析， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合正弦的差角公式即可化简得求解， （2）根据等面积法可得，结合余弦定理即可求解①，根据向量线性表示，结合模长公式以及余弦定理即可求解②. 【小问1详解】 由正弦定理知，由 得， 所以， 所以， 所以， 所以， 又在三角形中所以. 又，所以. 【小问2详解】 ①：由平分得，. ，即. 在中，由余弦定理得 又， 联立得， 解得（舍去）， . ②：因为. ，得， 在中，由余弦定理得， 即， 联立，可得， . 18. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． （1）若，求的值； （2）求的长； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； （3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案. 小问1详解】 由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. 【小问3详解】 由图可得， ， ， 由，则. 19. 已知向量，，其中，函数，且的图象上两条相邻对称轴的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）若对，关于的不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换将其化成正弦型函数，依题求出即得； （2）先求出函数在R上的单调递增区间，再与给定区间求交即得； （3）将所给不等式等价转化，将其化成在恒成立问题，通过设元，将函数化成，，判断其单调性即得，从而求得参数范围. 【小问1详解】 依题， 由题知，，. 【小问2详解】 由可得 ，， 时，的单调递增区间为，． 【小问3详解】 因在恒成立， 则 化简得， 即在恒成立 记， ，，， 又 设，则根据对勾函数性质知在上单调递增， ， ，即. 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正弦型函数的性质应用，属于难题.解决此类题的关键是，根据解析式特点进行三角恒等变换，将其化成正弦型函数，结合正弦函数的图象解决问题；对于恒成立问题，常常寻求参变分离法，将不等式恒成立问题转化为求对应函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$