微专题突破：导数与函数零点 讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

微专题突破：利用导数解决函数零点问题

【一】认识知识点

高一研究的是基本初等函数零点问题，主要题型为求零点、判断零点个数、已知零点个数求参数。高二学习导数以后，函数解析式不再是单纯的基本初等函数，而是比较复杂的超越函数。所以高二侧重研究函数的零点个数、已知函数零点个数求参数范围。解决零点问题的关键是求单调性，确定极值点，含参问题常用分离参数进行处理。

判断不含参数函数零点个数的一般解题步骤：①求定义域并求导数；②讨论函数的单调性及判断极值的正负情况；③利用零点存在性定理判断单调区间是否存在零点.

判断含参数函数零点个数的一般方法：①能分离参数，则转化为两个函数图象交点问题；②不能分离则按照不含参数的处理步骤处理，难点在于讨论含参数函数的单调性.

已知零点个数求参数的一般处理方法：①分离参数，转化为两函数图象交点问题；②讨论带参函数的单调性后根据零点个数q求出参数.

现在通过以下例题的学习来掌握零点的处理方法。

 

例1：（判断不含参数函数零点个数问题）

（1）判断函数的零点个数.

（2）判断函数的零点个数.

（3）判断函数的零点个数.

解：（1）依题意得：

由得：     .

当          ，单调递增；当          ，，单调递减；

所以;

所以在上没有零点.

（2）依题意得：

所以恒成立，从而在上单调递增，

所以至多有一个零点

因为;

所以在上有且只有一个零点.

（3）自主完成推算过程：

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【参考答案】

（1）  ； ；

（3）依题意得：

由得：1.

当，，单调递增；当，，单调递减；

所以;

因为;

所以在上有且只有一个零点,在上有且只有一个零点,

所以在上有2个零点.

 

 

 

例2：（判断含参函数零点个数问题）

（1）判断函数的零点个数.

（2）判断函数的零点个数.

【点拨】（1）中，所以可以通过分离参数把零点个数问题转化为两函数图象的交点问题；而（2）中，不适合用分离参数转化问题，只能直接讨论函数的单调性，并得出函数的极值情况，从而解决问题.

解：（1）等价于根的个数，等价于函数图象交点个数.

由 得：

当，，单调递增；当，，单调递减；

所以

当，当，

所以，当时，函数图象无交点，此时函数无零点.

当或时，函数图象有1个交点，此时函数有1个零点.

当时，函数图象有2个交点，此时函数有2个零点.

综上，当时函数无零点；

当或时，函数有1个零点；

当时，函数有2个零点.

（2），

    若，则恒成立，单调递增，又，所以有且只有一个零点；

若，由得

当时，，单调递减；当时，；单调递增;

所以

令，则，

当时，，单调递增;当时 ,，单调递减

所以，即

当时，，有且只有一个零点；

当时，，又，当，，函数有2个零点；

当时，，又，2

，考查函数

则，在上单调递增，

所以,函数有2个零点；

综上，当，或若时，有且只有一个零点；

      当或时，有2个零点.

 

例3:（已知函数零点个数求参数）

（1）已知函数（为常数），若有3个零点，求的范围；

（2）已知函数存在两个零点，求实数t的取值范围.

【点拨】（1）中，可以考虑利用分离参数把零点个数问题转化为图像交点个数问题，不分离参数解决会比较麻烦；（2）中的，若同时除以分离t则需要分类讨论，但从另一个角度同除t分离参数则不需要分类讨论。遇到已知零点个数求参数问题，可以先看不分离参数是否容易解决，如果容易则不分离参数，否则需要分离参数，大部分情况都会采用分离参数，但如果分离参数后函数变得复杂，此情景不适合分离参数，如解决有两个零点时，不适合分离参数转化问题.

解：（1）易知不是函数的一个零点， 所以当，则，

设，即两函数图象有三个交点，

易得，

所以时，，即此时单调递减，

或时，，此时单调递增，

又时，，且时，，

时，，时，，，

作出函数大致图象如下，所以要满足题意需，