11 反比例函数的图象与性质、实际应用 课件2025年中考数学专题复习精讲（河南）

第三章 函数 反比例函数的图象与性质、实际应用 1 考点1 反比例函数的图象与性质重点 表达式 为常数且 . 自变量 的取值范围为①______ 图象 （双曲 线） ____________________________________________ _____________________________________________ 所在象限 第②________象限 （， 同号） 第③________象限（， 异号） 一、三 二、四 2 性质 在每一象限内，值随 值的 增大而④______,且第一象限 的函数值⑤______0，第三象 限的函数值⑥______0. 在每一象限内，值随 值的增大 而⑦______,且第二象限的函数 值⑧______0，第四象限的函数 值⑨______0. 与坐标轴 的位置关 系 不与坐标轴相交，且无限趋近于坐标轴. 减小 大于 小于 增大 大于 小于 续表 3 对称性 中心对称:反比例函数的图象关于⑩______成中心对称，如:双曲 线一支上的点关于原点的对称点 在双曲线的 另一支上. 轴对称:反比例函数的图象有两条对称轴，分别为直线⑪______ __________. 原点 ， 续表 判断反比例函数增减性时忽略象限 反比例函数的图象不是连续曲线，而是两支分布在不同象限的曲线，所以要 结合函数图象所在的象限来讨论函数的增减性. . . . . 4 考点2 反比例函数表达式中 的几何意义重点 的几何意义：如图，点 为反比例函数 的图象上任意一点， 轴， 轴,则 ⑫____, ⑬_____. 更多与 的几何意义相关的讲解详见P59的“培优 微课”. 5 考点3 反比例函数表达式的确定重点 1.利用待定系数法确定 第一步：设所求反比例函数的表达式为 ； 第二步：找出此函数图象上一点，得 ⑭____； 第三步：确定反比例函数的表达式为 . 2.利用反比例函数表达式中 的几何意义确定 第一步：根据题中图形面积及的几何意义，求得 ； 第二步：根据函数图象所在象限确定的符号，从而确定 的值. 6 考点4 解反比例函数的应用题的步骤 7 基础题过考点 考点1，3→ 1.已知反比例函数是常数且 . （1）自变量 的取值范围为______. （2）若点在该函数的图象上，则 的值为____. （3）若该函数的图象在第一、三象限，则 的值可以是__________________ ____________. 3（答案不唯一，即可） 8 考点1→ 2.已知反比例函数 . （1）该函数图象位于第________象限，且在每个象限内，随 的增大而 ______. （2）若点，在该函数图象上，则___.（填“ ”“ ”或“ ”） （3）易错点（忽略象限）若点,在该函数的图象上，则___ . （填“ ”“ ”或“ ”） （4）若直线与双曲线交于点，，则点 的坐标为 ________,不等式 的解集为___________________. 二、四 增大 或 9 考点2→ 3.点，在反比例函数 的图象上. （1）如图（1），若的面积为2，则的值为____,矩形 的面积 为___. 4 图（1） 10 （2）如图（2），若的面积为2，则的值为____,等边三角形 的 面积为___. 2 图（2） 11 考点4→ 4.人教九下习题改编 已知蓄电池的电压为定值，使 用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位： ） 是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）这个反比例函数的表达式是_ ______; （2）蓄电池的电压为______; （3）当电阻为 时，电流 ______． 12 命题角度1 反比例函数的图象与性质 例1 [2024武汉中考] 某反比例函数具有下列性质:当时,随 的增 大而减小.写出一个满足条件的 的值:______________________________. 1（答案不唯一,满足即可） 13 例2 [2024浙江中考改编] 反比例函数的图象上有， 两点.在下列情况下，比较, 的大小： （1）当时，___ ; [解析] ，， ，根据反比例函数的增减性， 可知 . （2）当时，___ ; [解析] ，，，， . （3）当时，___ . [解析] ，， ，根据反比例函数的增减性， 可知 . 14 【思路分析】 先确定， ,0三者的大小关系，再结合反比例函数的图象 进行判断. 比较反比例函数值大小的方法 1.在同一分支上的点，可根据反比例函数的增减性进行比较. 2.不在同一分支上的点，可根据函数值的正负进行比较. 3.特殊值法也是解决此类问题的常用方法. 15 例3 [2024包头中考] 若反比例函数，中，当 时，函 数的最大值是,函数的最大值是,则 _ _. 【思路分析】 根据范围内反比例函数的增减性，确定， 的值， 即可求解. [解析] 反比例函数中，， 当时，随 的增大而减 小， 当时，函数有最大值2，即 反比例函数 中， ， 当时，随的增大而增大， 当 时，函数有 最大值，即， . 16 例4 直线与双曲线交于和 两点， 则 的值为____． 【思路分析】 根据正比例函数、反比例函数图象的中心对称性进行推理即可. [解析] 直线、双曲线均关于原点对称， 它们的 交点也关于原点对称，， ， . 17 例5 [2024宁夏中考] 在同一平面直角坐标系中,函数 的图象可以 由函数 的图象平移得到.依此想法,数学小组对反比例函数图象的平移 进行探究. 【动手操作】 列表: … 1 2 3 4 5 … … 2 1 … … 0 1 2 3 … … 4 2 1 … 18 描点连线:如图，在已画出函数的图象的坐标系中画出函数 的图 象. [答案] 19 【探究发现】（1）将反比例函数 的图象向____平移___个单位长度得 到函数 的图象. 左 1 （2）上述探究方法运用的数学思想是( ) B A.整体思想 B.类比思想 C.分类讨论思想 【应用延伸】（1）将反比例函数 的图象先_____________________, 再_____________________得到函数 的图象. （2）函数 图象的对称中心的坐标为________. 向右平移2个单位长度 向下平移1个单位长度 20 提分特训 1.[2024天津中考] 若点，，都在反比例函数 的图象上，则，， 的大小关系是( ) B A. B. C. D. [解析] ， 反比例函数 的图象位于第一、三象限，且在每个象 限内随的增大而减小. 点,在第一象限反比例函数 的 图象上，， 点在第三象限反比例函数 的图象上，， .故选B． 21 2.函数 的大致图象为( ) B A. B. C. D. 3.[2024陕西中考] 已知点和点均在反比例函数 的 图象上,若,则___0.（填“ ”“”或“ ”） [解析] 点和点均在反比例函数 的图象上， ，.，， ． 22 4.如图，点是反比例函数 的图 象与的一个交点，图中阴影部分的面积为 ， 则 ____. 12 [解析] 反比例函数的图象、 均关于原点对 称， ，． 连接，则 ， ，解得（负值已舍去），， ． 23 命题角度2 反比例函数中 的几何意义 例6 如图，菱形的面积为4，反比例函数 的图 象经过点，则 ___. 2 例7 如图，的顶点在双曲线上，顶点 在 双曲线上.若，则 的值为____. 【思路分析】 先将转化为矩形，再利用 的几何意义求解. 24 提分特训 5.[2024牡丹江中考] 矩形 在平面直角坐标系中的位置如图 所示，反比例函数的图象与边交于点，与 边交于点 ，与交于点，，若四边形的面积为2，则 的值是( ) D A. B. C. D. 25 [解析] 如图，过点作轴于点，易证， .又， ， . ， ，解得 . 26 6.如图，线段轴（点在点上方），且点，分别在双曲线 ， 上，点为轴上一点，则的面积为______（用含 的式子表示）. 27 命题角度3 反比例函数的实际应用 例8 某二手车管理站用一种一氧化碳检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中 一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图（1）所示，其工作原理为：当 尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显 示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻 的阻值随着尾气中一氧化碳的 含量变化的关系图象如图（2）所示， 为定值电阻，电源电压 恒定不变． 28 图（1） 图（2） （1）气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量 之间成________函数 关系，该函数的表达式为_ _____. 反比例 29 （2）已知该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求 为不高于.若某辆小轿车的尾气检测阻值为 ，则该小轿车尾气 中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由. [答案] 没有达到标准. 理由：将代入，得，解得 ， 该小轿车尾气中一氧化碳的含量是 . ， 该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准． 30 （3）该管理站对（2）中的小汽车进行维修，使其尾气中一氧化碳的含量降 至 ,此时气敏电阻的阻值与维修前相比会如何变化？升高或降低了多 少？ 【自主解答】 [答案] 由题图（2）可知，随 的降低而升高， 此时气敏电阻的阻值与维修前相比会升高. 当时， ， . 答：此时气敏电阻的阻值与维修前相比升高了 ． 31 提分特训 7.[2024洛阳洛龙区一模] 在实验课上,小明做了一个实验,如图（1）,在仪器 左边托盘（固定）中放置一个物体,在右边托盘 （可左右移动）中放置一 个可以装水的容器,容器的质量为 .在容器中加入一定质量的水,使仪器左右 平衡.改变托盘与点的距离 ,记录容器中加入的水的质量, 得到下表: 托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与 各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出这些点, 并用平滑的曲线连接起来,得到如图（2）所示的关于 的函数图象. 32 图（1） 图（2） （1）请在该平面直角坐标系中作出关于 的函数图象. 33 [答案] 作出关于 的函数图象如下： 34 （2）观察函数图象,并结合表中的数据回答下列问题: ①直接写出关于 的函数表达式. [答案] . ②当时,随的增大而______（填“增大”或“减小”）,随 的增大 而______（填“增大”或“减小”）. 减小 减小 ③的图象与 的图象有什么位置关系? [答案] 的图象向下平移5个单位长度得到 的图象. 35 ④求关于 的函数表达式. [答案] 的图象是由 的图象向下平移5个单位长度得到的, , . 36 （3）若在容器中加入的水的质量满足,求托盘与点 的距 离 的取值范围. [答案] 把代入,得 , 把代入,得 , . 37 一图串考法 38 考法1 反比例函数的图象与性质（8年2考） 1.[2020河南，6] 若点,,在反比例函数 的图 象上,则,, 的大小关系是( ) C A. B. C. D. [解析] 由题可知，， ， ， ，故选C. 39 考法变式 2.[2024新疆中考] 如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线交于，两点， 轴于点，连接交轴于点 ，结合图象判断下列结 论：①点与点关于原点对称；②点是 的中点； ③在的图象上任取点和点 ，如 C A.1 B.2 C.3 D.4 果，那么； .其中正确结论的个数是( ) 40 [解析] 反比例函数与正比例函数的图象均关于坐标原点中心对称，若有交点， 一定是两个，且这两个点关于原点对称，故结论①正确.轴，则 轴.又，，即点D是的中点，故结论②正确.当点 ， 在同一象限内时，若，则 ，故结论③错误.易知 ，.易证 ， ， ，故结论④正确.因此结论① ②④正确，故选C. 41 考法2 反比例函数中 的几何意义（8年3考） 考法补充 3.[2024苏州中考] 如图，点 为反比例函数 图象上的一点，连接,过点 作 的垂线，与反比例函数 的图象交于 点,则 的值为( ) A A. B. C. D. 42 [解析] 如图，过点A作 轴于点C，过点B作 轴于点D， ， .易证 ， ，即， （负值已舍）. 43 4.[2021河南,18] 如图,大、小两个正方形的中心均与平 面直角坐标系的原点 重合,边分别与坐标轴平行,反比例 函数的图象与大正方形的一边交于点 ,且经过 小正方形的顶点 . （1）求反比例函数的表达式; [答案] 反比例函数的图象经过点 , , 反比例函数的表达式为 . 44 （2）求图中阴影部分的面积. [答案] 如图, 反比例函数的图象过点 , 正方形 的面积为2. 由图可知, ， 正方形的面积为 , 阴影部分的面积为 . 45 5.[2018河南，18] 如图，反比例函数 的图象 过格点（网格线的交点） . （1）求反比例函数的表达式. [答案] 点在反比例函数 的图象上， ， , 故反比例函数的表达式为 . 46 （2）在图中用直尺和 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均 需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点，点 ； ②矩形的面积等于 的值. [答案] 答案不唯一，正确画出两个矩形即可. 47 考法3 与反比例函数有关的综合探究题（8年1考） 6.[2019河南，21] 模具厂计划生产面积为4,周长为的矩形模具.对于 的取 值范围,小亮已经能用“代数”的方法解决,现在他又尝试从“图形”的角度进行探 究,过程如下: （1）建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为,，由矩形的面积为4,得,即 ；由周 长为,得，即.满足要求的 应是两个函数图象 在第____象限内交点的坐标. 一 48 （2）画出函数图象 函数的图象如图所示，函数的图象可由直线 平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线 . [答案] 画直线 如图所示： 49 （3）平移直线 ,观察函数图象 ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长 的值 为___. 8 ②在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长 的取值范围. [答案] 直线与函数 的图象交点还有两种情况： 当有0个交点时，周长的取值范围是 ; 当有2个交点时，周长的取值范围是 . （4）得出结论 若能生产出面积为4的矩形模具，则周长 的取值范围为_______. 50 $$