10 一次函数的实际应用课件 2025年中考数学专题复习精讲（河南）

第三章 函数 一次函数的实际应用 1 重点考点 一次函数的实际应用 1.图象型问题 说明 图示 函数图 象变化 的意义 （1）图象呈上升趋势，说明函数值随 着自变量的增大而①______； （2）图象平行于 轴，说明随着自变 量的增大函数值②______； （3）图象呈下降趋势，说明函数值随 着自变量的增大而③______. _______________________________________________ 段、段：随 的增大 而增大，且段比 段增 速⑤____； 段：随着的增大， 值 增大 不变 减小 快 2 说明 图示 图象上 拐点的 意义 图象上的拐点既是前一段函数变化的 终点，又是后一段函数变化的 ④______. ⑥______； 段：随 的增大而 ⑦______. 函数图 象的交 点 两个函数图象的交点处自变量的值相 同、函数值相同，在比较两函数值大 小时，该点作用较突出. _____________________________________________ 当时， ； 当时，⑧___ ； 当⑨___时， . 起点 不变 减小 续表 3 2.文字型问题 （1）一般解题步骤 ①设出问题中的变量，弄清自变量和因变量； ②建立一次函数模型（列一次函数表达式）； ③确定自变量的取值范围； ④利用一次函数的性质解决实际问题； ⑤检验、作答. 4 （2）实际问题中的最大值、最小值 在一次函数的实际应用题中，自变量的取值范围一般有一定的限制，所以对 应的函数图象是线段或射线，一般根据一次函数的增减性即可求出函数的最 大值或最小值. 5 基础题过考点 1.[2024山西中考改编] 生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其体长 是尾长的一次函数,部分数据如下表所示,则与 之间的关系式为 _______________. 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 2.人教八下复习题改编 在某火车站托运物品时，不超过 的物品需付款2 元，以后每增加（不足按 计）需增加托运费0.5元．当托运 物品时，设托运费用为元，则关于 的函数解析式为_________ __________. 6 3.学校提倡“低碳环保，绿色出行”，小明和小亮 分别选择步行和骑自行车上学，两人各自从家同 时同向出发，沿同一条路匀速前进．如图所示， 和分别表示两人到小亮家的距离 和时间 之间的关系． （1）小亮家到学校的距离为___ ，小亮的平 均速度为____ . 6 15 （2）小明家到学校的距离为____，小明的平均速度为___ . （3）两人出发_____ 后相遇. 2.5 5 0.35 7 4.人教八下复习题改编 一个有进水管与出水管的容器， 从某时刻开始内只进水不出水，在随后的 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常 数，容器内的水量（单位：）与时间（单位： ） 之间的关系如图所示． （1）每分钟进水___升，每分钟出水___升． 5 （2）求关于 的函数解析式． [答案] 当时， ； 当， ． 8 命题角度1 方案选取型问题 例1 [2024郑州多校联考三模] “五一”期间，某服装商场举行促销活动，活 动方案如下： 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折. 方案二 “每满100送100”（如：购买199元服装，赠100元购物券；购买2 00元服装，赠200元购物券）. 方案三 “每满100减50”（如：购买199元服装，只需付149元；购买200 元服装，只需付100元）. （注：一人只能选择一种方案） 9 （1）小明想买一件上衣和一条裤子,已知上衣的标价为290元.小明通过计算 发现，按方案一购买这两件衣服与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同． ①求裤子的标价； [答案] 设裤子的标价为 元． 按方案一购买这两件衣服的花费是 元； 按方案二先买上衣花费290元，赠200元购物券，再买裤子的花费是 元， 按方案二先买上衣再买裤子的花费是 元. 根据题意，得，解得 ， 答：裤子的标价是210元． 10 ②请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由. [答案] 小明应选择方案三购买． 理由如下： 由①可知，按方案一购买花费是 （元）； 按方案二先买上衣再买裤子的花费是300元，先买裤子再买上衣的花费也是 300元. 按方案三购买的花费是 （元）， ， 小明应选择方案三购买． 11 （2）小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价 （元）可以看成标价 （元）的函数.填空： 当时，关于 的函数表达式为______； 当时，关于 的函数表达式为___________； 当时，关于 的函数表达式为____________. （3）小华准备用方案一或方案三购买一件标价为元 的服装， 当 的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 12 [答案] 用方案一购买的费用是 元； 当时，用方案三购买的费用是 元； 当时，用方案三购买的费用是 元． ①当时，若 ，无解； ②当时，，解得 ． 当 时，用方案三购买更合算． 13 【思路点拨】 （1）①等量关系：方案一的花费方案二的花费，即（上衣标价 裤子 标价）上衣标价 裤子标价. ②分别计算方案一、方案二先买上衣再买裤子及先买裤子再买上衣、方案三 的花费，再进行比较即可. （2）根据“不满100不减钱”“满100减50”“满200减100”解答即可. （3）分别求出， 时方案三的费用小于方案一的 费用对应 的取值范围即可． 【自主解答】 14 方案选取型问题的求解策略 1.若给定自变量的取值，则将自变量的值代入表达式，得到因变量的值，再 进行选取. 2.若给定因变量的取值，则将因变量的值代入表达式,得到自变量的值，再进 行选取. 3.若自变量、因变量均未给定取值: （1）方法一：可分别求出<m></m>,<m></m>,<m></m>的解集,再根据结果进行选 取; （2）方法二：画出函数图象，求出交点坐标，再利用图象的上、下位置关 系进行判断. 15 提分特训 1.在某次活动中，主办方为 名参与者提供饮用水 服务．若提供瓶装水，则平均每天的总花费为 元；若引入纯净水系统（设备平均每天的固定维 护费用是200元），则平均每天的总花费为 元．如图是，与 之间的函数关系的图象.请 根据图中信息回答下列问题： 16 （1）分别求出，与 之间的函数关系式. [答案] 设与之间的关系式为 ， 将代入，得，解得 ， . 设与之间的关系式为 ， 将，分别代入，得 解得 . 17 （2）请求出图中点的坐标，并说明点 表示的实际意义. [答案] 联立，的表达式，得解得 点的坐标为 . 点 的实际意义：当参与者有250名时，买瓶装水和用纯净水系统的总花费相 同. （3）若参与者有400名，则主办方买瓶装水划算还是引入纯净水系统划算 （直接回答即可）？ [答案] 引入纯净水系统划算． 18 命题角度2 方案设计型问题 例2 [2021河南中考] 猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色,猕猴玩偶非常畅销. 小李在某网店选中A,B两款猕猴玩偶,决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进 货价和销售价如下表: 价格 类别 A款玩偶 B款玩偶 进货价/（元/个） 40 30 销售价/（元/个） 56 45 19 （1）第一次小李用1 100元购进了A,B两款玩偶共30个,求两款玩偶分别购进 多少个. [答案] 设A款玩偶购进个,B款玩偶购进 个, 根据题意,得解得 答:A款玩偶购进20个,B款玩偶购进10个. 20 （2）第二次小李进货时,网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数 量的一半.小李计划购进两款玩偶共30个,应如何设计进货方案才能获得最大 利润,最大利润是多少? [答案] 设A款玩偶购进个,则B款玩偶购进 个, 根据题意,得,解得 . 设利润为元,则 . ,随 的增大而增大， 当时,取最大值, . . 答:应购进A款玩偶10个,B款玩偶20个才能获得最大利润,最大利润为460元. 21 （3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案,并且两次购进的玩偶全部 售出,请从利润率的角度分析,对于小李来说哪一次更合算? （注:利润率 ） [答案] 第一次销售利润为 （元）, 利润率为 . 第二次销售利润率为 . , 从利润率的角度分析，第二次更合算. 22 【思路点拨】 （1）根据“购进了A，B两款玩偶共30个”和“所用金额为1 100元”，列方程组 求解即可. （2）①根据“A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半”，可列不 等式求得A款玩偶数量的范围. ②先求利润与A款玩偶数量的关系，再利用一次函数的增减性进行求解. （3）先根据“利润率 ”分别求两次销售的利润率，再比较即可. 【自主解答】 23 方案设计型问题的求解策略 方案设计型问题一般是求利润最大或费用最少问题，一般步骤如下： 1.根据题意求出函数表达式； 2.由图象、题干信息或列不等式求得自变量的取值范围； 3.利用一次函数的增减性确定利润最大或费用最少时自变量的值，从而设计 出符合要求的方案. 24 提分特训 2.[2024赤峰中考] 一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工， 已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修 复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． 25 （1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米. [答案] 设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路 千 米， 根据题意，得 ， 解得 ． 经检验， 是原方程的解． ． 答：甲队平均每天修复公路6千米，乙队平均每天修复公路9千米． 26 （2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于 乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ [答案] 设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为 天，15天的 工期，两队能修复公路 千米， 根据题意，得 ． 又， ． ，随 的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为 ． 答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米． 27 命题角度3 图象类问题 例3 [2024牡丹江中考] 一条公路上依次有 ，，三地，甲车从地出发，沿公路经 地到地，乙车从地出发，沿公路驶向 地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车 比甲车早 到达目的地．甲、乙两车之间的 路程与甲车行驶时间 的函数关系 如图所示.请结合图象信息，解答下列问题： 28 （1）甲车行驶的速度是____ ，并在图中括号内填上正确的数； [答案] 300（图中填的数） [解析] 解法提示：由题图，可知甲车行驶的路程为 ， 甲车行驶的速度是 . 点 纵坐标表示出发前两车之间的路程，即甲车全程行驶的路程，为 . 29 （2）求图中线段 所在直线的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； [答案] 由题图，可知，，设线段 所在直线的函数表达式 为 ， 将，代入，得解得 故线段所在直线的函数表达式为 . 30 （3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距地的路程是甲车距 地路程的 3倍． [答案] 或 . 31 [解析] 解法提示：，两地间的路程为 ，乙车的速度为 ， ,两地间的路程为,，两地间的路程为 . 设两车出发，乙车距地的路程是甲车距 地路程的3倍. 分两种情况讨论. ①两车相遇前，由题意，得，解得 . ②两车相遇后，由题意，得，解得 . 综上可知，两车出发或时，乙车距地的路程是甲车距 地路程的3 倍． 32 【思路点拨】 （1）根据“乙车比甲车早到达目的地”，在图中找到甲车这 行驶的路程， 即可找到解题突破口；根据点 纵坐标代表的意义（出发前两车之间的路程， 即甲车全程行驶的路程）进行求解. （2）利用待定系数法求解. （3）分甲、乙两车相遇前、后两种情况，根据等量关系“乙车距 地的路程 是甲车距 地路程的3倍”，列一元一次方程进行求解． 【自主解答】 33 提分特训 3.[2024许昌二模] 某超市购进甲、乙两种水果 的进价分别为10元/、15元/ ,乙种水果在销售 后采取降价销售,这个价格保持到销售完这 批水果.这两种水果的销售额 （单位:元）与销售 量（单位: ）之间的关系如图所示. （1）甲种水果每千克的销售价为____元; 20 34 （2）求乙种水果销售额（单位:元）与销售量（单位: ）之间的关系式, 并写出自变量 的取值范围; [答案] 当时，设乙种水果销售额与销售量 之间的关系式为 ， 把代入，得，解得， . 当时，设乙种水果销售额与销售量 之间的关系式为 ， 则解得 . 综上所述，乙种水果销售额与销售量 之间的关系式为 35 （3）当两种水果销售额相同,且销售额大于0时,请直接写出销售这两种水果 的利润和. [答案] 900元. [解析] 解法提示：由，得 ， 故当 时，两种水果销售额相同，此时销售这两种水果的利润和为 （元）. 36 命题角度4 物资调运问题 例4 某公司准备安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地．每辆 大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物 资．已知这两种货车的运费如下表： A地运费（元/辆） B地运费（元/辆） 大货车 900 1 000 小货车 500 700 现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10 吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有 辆，这 20辆货车的总运费为 元． 37 （1）这20辆货车中，大货车、小货车分别有多少辆？ [答案] 设大货车、小货车分别有辆、 辆， 由题意，得解得 答：大货车、小货车分别有12辆、8辆. 38 （2）求关于的函数表达式，并直接写出 的取值范围. [答案] 前往A地的大货车有辆，则前往A地的小货车有 辆，前往B 地的大货车有辆，前往B地的小货车有 辆， ，其中 ． 39 （3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费的最小值． [答案] 由题意得，解得 ， . 对于 , ,随 的增大而增大， 当时，取最小值，此时 . 答：总运费的最小值为16 400元． 40 【思路点拨】 （1）根据“大、小货车共20辆”和“运送260吨物资”，列方程组求解即可. （2）根据“总运费大、小货车到A地的运费 大、小货车到B地的运费”列出 与的关系式.根据大、小货车到A，B两地的车辆数量不小于0，可得 的取 值范围. （3）根据“运往A地的物资不少于140吨”，列不等式求出 的取值范围，与 （2）中的取值范围相结合，确定 的取值范围，再利用一次函数的性质即 可求得总运费的最小值. 【自主解答】 41 物资调运方案问题的求解策略 1.用表格或图示的方法，厘清数量关系； 2.根据表格或图示中的数量关系列出函数表达式； 3.根据题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式确定）； 4.根据函数表达式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求 确定调运方案. 42 一图串考法 43 考法1 方案选取型问题（8年2考） 1.[2020河南，19] 暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动 方案如下: 方案一:购买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠; 方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身 （次）,按照方案一所需费用为 （元）,且;按照方案二所需费用为 （元）,且 .其函数图象如图所示. 44 （1）求和 的值,并说明它们的实际意义. [答案] 的图象过点和点 , 的实际意义是:打六折后的每次健身费用为15元. 的实际意义是:每张学生暑期专享卡的价格为30元. （2）求打折前的每次健身费用和 的值. [答案] 打折前的每次健身费用为 （元）. . 45 （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,选择哪种方案所需费用 更少?说明理由. [答案] 选择方案一所需费用更少. 理由：,, . , . 当时,，解得 . 结合函数图象可知,小华暑期前往该俱乐部健身8次,选择方案一所需费用更少. 46 考法2 方案设计型问题（8年5考） 2.[2024河南,21] 为响应“全民植树增绿,共建美丽中国”的号召,学校组织学生 到郊外参加义务植树活动,并准备了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每包质 量均为 ,营养成分表如下. 47 （1）若要从这两种食品中摄入热量和 蛋白质,应选用A,B两种食 品各多少包? [答案] 设选用A种食品包,B种食品 包. 根据题意,得解得 答:应选用A种食品4包,B种食品2包. 48 （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两 种食品共7包,要使每份午餐中的蛋白质含量不低于 ,且热量最低,应如何选 用这两种食品? [答案] 设选用A种食品包,则选用B种食品 包, 根据题意,得， . 设总热量为,则 . , 随 的增大而减小, 当时, 最小, . 答:应选用A种食品3包,B种食品4包. 49 3.[2022河南,20] 近日,教育部印发《义务教育课程方案和课程标准 （2022年版）》,将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了 让学生体验农耕劳动,开辟了一处耕种园,需要采购一批菜苗开展种植活动,据 了解,市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 倍,用300元在市场上购买的A 种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆. （1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格. [答案] 设菜苗基地每捆A种菜苗的价格为元,根据题意,得 ,解得 ， 经检验, 是原方程的解. 答:菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元. 50 （2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买A,B两种 菜苗共100捆,且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校 活动,对A,B两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最少花费多少钱. [答案] 设购买A种菜苗捆,则购买B种菜苗 捆,根据题意,得 ,解得 . 设本次购买花费 元,则 . ,随 的增大而减小, 当时,有最小值, . 答:本次购买最少花费2 250元. 51 4.[2019河南,20] 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3 个A奖品和2个B奖品共需120元;购买5个A奖品和4个B奖品共需210元. （1）求A,B两种奖品的单价. [答案] 设A奖品的单价为元，B奖品的单价为 元， 根据题意，得解得 答：A奖品的单价为30元，B奖品的单价为15元. 52 （2）学校准备购买A,B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量 的 .请设计出最省钱的购买方案，并说明理由. [答案] 最省钱的购买方案：A奖品8个，B奖品22个. 理由：设购买A奖品个，则购买B奖品个，共需 元， 根据题意，得 . , 当取最小值时， 取最小值. , . 又为正整数， 当时， 取得最小值. . 故当购买A奖品8个，B奖品22个时最省钱. 53 考法3 其他问题（8年1考） 考法补充 5.[2024石家庄长安区一模] 某中学举行校庆活动， 在活动中该中学使用了两架小型无人机进行现场 拍摄.1号机所在高度与上升时间 的函数 图象如图所示；2号机从 高度开始，并以 的速度上升．两架无人机同时起飞，设2 号机所在的高度为 ． 54 （1）求1号机所在高度与上升时间之间的函数解析式（不必写出 的取值范围），并在图中画出2号机所在高度与上升时间 的函数关 系图象. [答案] 设 . 由题图，知函数的图象经过， 两点． 将，分别代入 , 得解得 ． 由题意，得 ． 55 当时，，当时， . 函数的图象经过， 两点. 据此画出2号机所在高度与上升时间 的函数关系图象如图． 56 （2）在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机 的高度；如果不能，请说明理由． [答案] 在某时刻两架无人机能位于同一高度. 理由：当时，，解得 ． 此时 ． 答：此时两架无人机的高度为 ． 57 $$