综合法求二面角的求解 常用方法讲义-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

2024-2025学年度高一下学期《综合法求二面角的求解》常用方法讲义 一、二面角问题的解题步骤 1、二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角 2、找到或作出二面角的平面角： （1）定义法：在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，这两条垂线所成的角就是二面角的平面角。 （2）垂面法：过二面角内一点作垂直于棱的平面，该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。 （3）三垂线定理法：过一个半平面内一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上垂足，所得到的角就是二面角的平面角（或其补角）。 3、证明所找到的角就是二面角的平面角： 依据定义或相关定理，证明所作的角的两边分别在二面角的两个半平面内，且两边都与棱垂直。 4、计算平面角的大小： 将平面角放入一个三角形中，通过解三角形来求出角的大小。常用的定理有正弦定理、余弦定理等。如果是特殊的三角形，如直角三角形，可直接利用三角函数的定义来求解。 二、常用方法 1、定义法 步骤 （1）在棱上取点：在二面角的棱上选取一个合适的点。这个点通常选择在具有特殊位置或便于计算的地方，例如棱的中点、端点或者与其他已知条件相关的点。 （2）作垂线：分别从该点在两个半平面内作棱的垂线。这两条垂线要确保分别在二面角的两个半平面内，且与棱垂直。 （3）确定平面角：这两条垂线所形成的角即为二面角的平面角。 （4）适用情况：当二面角的两个半平面具有明显的对称性，或者棱上存在特殊点，使得从该点向两个半平面作棱的垂线比较容易时，适合使用定义法。例如在正方体、正棱柱等规则几何体中，经常可以找到这样的特殊点来构造二面角的平面角。 2、垂面法 步骤 （1）作垂面：过二面角内的某一点作一个垂直于棱的平面。这个平面的作法通常需要根据已知条件和几何体的特征来确定，一般要找到一条与棱垂直的直线，然后过该直线作平面与棱垂直。 （2）确定交线：该垂面与二面角的两个半平面分别相交，得到两条交线。 （3）确定平面角：这两条交线所成的角就是二面角的平面角。 （4）适用情况：当已知条件中存在线面垂直关系，且该垂直关系与二面角的棱相关，能够通过作垂面将二面角的平面角转化为垂面与两个半平面交线所成的角时，适合使用垂面法。比如在一些有侧棱垂直于底面的棱锥中，常常可以利用这种方法来求二面角。 3、三垂线法 步骤 （1）作垂线：过二面角的一个半平面内的一点A作另一个半平面的垂线AO，垂足为O。 （2）作射影：过垂足O作棱的垂线OB，垂足为B，连接AB。 （3）确定平面角：根据三垂线定理，AB为棱，所以∠ABO就是二面角的平面角（或其补角）。需要根据点A的位置以及二面角的实际情况来判断∠ABO是二面角的平面角还是其补角。 （4）适用情况：当二面角的一个半平面内存在一条直线垂直于另一个半平面，或者能够通过已知条件证明存在这样的垂直关系时，适合使用三垂线法。在很多有一条侧棱垂直于底面的棱锥中，经常会用到三垂线法来求二面角。 4、投影面积法——面积比（三垂线法的进阶版） 如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值 将从边之比＝面积之比，从一维到二维，多角度求出两三角形面积，最后求解 补充：即使交线没有画出来也可以直接用 三、解题技巧 （1）观察图形：仔细观察几何体的结构特征，寻找已知的线面垂直、面面垂直关系，以及特殊的点、线、面，这些往往是解题的关键突破口。例如，正方体、长方体等规则几何体中存在很多垂直关系，可利用这些关系快速找到二面角的平面角。 （2）转化思想：将不易直接求解的二面角转化为与之相等或互补的角。比如，通过作平行线、找对称图形等方法，将二面角转化到一个更容易求解的位置。 四、易错点分析 1、平面角的确定：使用定义法、垂面法或三垂线定理法时，容易出现所作角不是二面角的平面角的情况。要严格按照相关定理的要求，证明所作角的两边分别在二面角的两个半平面内且与棱垂直。 2、计算错误：在求平面角的三角函数值或利用向量法计算法向量的点积、模长等过程中，容易出现计算错误。要仔细进行计算，并且在计算完成后进行检验。 3、忽略二面角的范围：二面角的范围是[0,π]，在求解过程中要注意结果是否在这个范围内，避免出现错误的答案。例如，用反三角函数表示二面角时，要根据具体情况确定正确的取值范围 方法技巧一 定义法 例1、如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方体的性质可得，，即可得到为平面与底面所成角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】依题意平面，平面， 所以，， 所以为平面与底面所成角的平面角， 设正方体的棱长为，则，， 又，所以， 即平面与底面所成角的正切值为. 例2、（24-25高一下·江苏南京·阶段测试）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，.    (1)证明：；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）由线面垂直的判定求证； （2）由转化求解； （3）由线面垂直的性质得即二面角的平面角，即可求解． 【详解】（1）证明：因为底面，底面，所以. 因为四边形为正方形，所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 在中，，E是PC的中点，则. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 因为，，所以平面. 因为平面，所以. （2）连接交于点，如图所示：    则，又底面，平面，得， 而，则平面，则点C到平面的距离为， 因为E是PC的中点，所以 ，，，， 所以，， 所以. （3）解：由（1）可得平面，因为平面，平面，所以，. 为二面角的平面角. ，. 因为，所以，解得. 因为，即，所以. 故二面角的余弦值为. 方法技巧二 三垂线法求二面角 例3、在三棱锥中，，，，.点在平面上的射影恰好在上. (1)若为线段的中点，求证：平面；(2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接，，由平面，得，再由中位线定理得平行从而得，从而证得线面垂直； （2）作于，连接，证明即为二面角的平面角，然后在直角三角形中求解. 【详解】（1）证明：连接，， 平面，平面，平面， ，， 又，为中点. 又为中点， 又，， ，平面，平面. （2）作于，连接， 平面，平面，则， 又因为，平面， 平面，而平面，. 又，为的中点，所以， 又，. 则即为二面角的平面角. 在中，. 设，，则. 因为，在中，， 则，，. 变式1、如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而根据线线垂直即可求证； （2）根据面面垂直的性质可得为平面与面所成二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】（1）因为是正三角形，且是的中点.，所以， 又底面 是正方形，所以 ， 又因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又因为平面 ，所以平面， 所以平面. （2）如图，取的中点的中点，连接， 因为是正三角形，所以 又因为平面平面，且平面平面 ，平面， 所以平面 ，平面，故， 由题意可知平面，故平面 平面故， 故为平面与面所成二面角的平面角， 设 ， 则， ， 所以 . 综上所述：侧面与底面所成二面角的正弦值为. 变式2、如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，侧面面. (1)求证：面；(2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证. （2）过作于，过作于，连接，利用线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角，在中直接求解即可. 【详解】（1）由菱形可得， 面面，面面， 又正方形中， 面，又平面，， ，平面，面. （2）过作于，则面. 过作于，连接， 因平面，则， 又平面，，故平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 在中，设，，， ，，， . 即二面角的余弦值为. 方法技巧三 垂面法 例4、已知三棱柱中，平面平面ABC，四边形为菱形，且，，.    (1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值的大小. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由面面垂直的性质可证得，由四边形为菱形，得，再利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）设，作于E，连AE，则可证得为二面角的平面角，然后在中求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面.又平面，所以， 因为四边形为菱形，所以.又，，平面.所以平面. （2）解：设，作于E，连AE，如图所示    由（1）平面，平面，所以， 又，，，平面AEO，所以平面AEO， 又因为平面AEO，所以， 所以为二面角的平面角， 又四边形1是菱形，，所以， 所以是等边三角形，则，， 在中，，则，，， 由平面，平面知，即， 所以，所以，所以二面角的余弦值为. 变式1、如图，在三棱柱中，，，在底面的射影为的中点，为的中点. (1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）设为的中点，由线面垂直得到，由三线合一得到，从而得到线面垂直，证明出四边形为平行四边形，得到，证明出结论； （2）作出辅助线，证明出为二面角的平面角，结合（1）得到，求出各边长，利用余弦定理求出的余弦值，进而得到线面角的正弦值. 【详解】（1）设为的中点，由题意得平面， ∵平面， ， ，为的中点， ， ∵，平面， 故平面， 由，分别为，的中点，得且， 从而， 四边形为平行四边形， 故， 又平面， 平面； （2）作，且，连结， 由，，得， 由，，得≌，由，得， 因此为二面角的平面角， 由（1）得平面，平面， 所以， 由，，，得， 故， 由余弦定理得，， 所以. 变式2、（24-25高一下·江苏常州 ·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为2的正三角形，，是中点，过点，，的平面与交于点.    (1)求证：；(2)求证：；(3)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意得，则由线面平行的判定定理可得平面，再利用线面平行的性质定理可证得结论； （2）由题意可得是中点，则，再利用面面垂直的性质可得平面，则，而，则可得结论； （3）过作于，连接，则可证得就是二面角的平面角，然后在中求解即可. 【详解】（1）因为底面是菱形，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面平面，平面， 所以； （2）由（1）知，，所以， 因为是中点，所以是中点， 因为是正三角形，所以， 因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以； （3）过作于，连接， 由（2）知平面， 又因为平面，平面， 所以，， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以就是二面角的平面角， 在正三角形中，，， 在中，，，所以， 在中，， 在中，， 所以二面角的正切值为.    方法技巧四 投影面积法求二面角 例5、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． （1）证明：AB⊥平面PAD； （2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥AD， ∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD， ∴由面面垂直的性质定理得，AB⊥平面PAD； （2）(法一)由题意，△PBD在面PAD上的射影为△PAD． 设AD＝a，则S△PAD， △PBD中，PD＝a，BDa，PBa， ∴S△PBD， ∴面PAD与面PDB所成的二面角的余弦值为， ∴面PAD与面PDB所成的二面角的正切值为． （法二）如图所示：取中点，连接. 设AD＝a，则，所以, 所以是平面PAD与平面PDB所成的二面角的平面角， 在中，,所以 变式、如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求： （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值． 【答案】（1）体积，圆柱的侧面积；（2） 【解析】（1）因为圆柱的底面直径，母线长， 所以，圆柱的体积为，圆柱的侧面积为. （2）因为是圆柱的底面直径，所以， 因为是圆柱的母线，所以平面， 在中，，，所以， ∴， 由勾股定理得， 在中，∴， 则， 设二面角为，则由射影面积法可得 所以，因此，二面角的正弦值为. 1．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且.    (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求二面角的大小. 2．（23-24高一下·辽宁本溪·期末）已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点．    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 3．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 4．（23-24高一下·福建宁德·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是边长为4的正三角形，为棱的中点，平面． (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角的正切值为，求二面角的大小． 5．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 6．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 7．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 8．（23-24高一下·四川雅安·期末）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点    (1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由； (2)求二面角的大小； (3)若直线平面AEF，求直线AB与平面AEF所成角的正弦值． 9．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点P为底面ABC内（包括边界）的动点，且∥平面，若点P的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 10．（23-24高一下·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，沿对角线把折起，使移到，且平面平面． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求与平面所成的角的正弦值． 11．（23-24高一下·云南楚雄·期末）在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点．    (1)证明：平面． (2)证明：． (3)若二面角的正切值为，求三棱锥的体积． 12．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值． 13．（23-24高一下·广东韶关·期末）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 (3)若，求二面角 的余弦值. 14．（23-24高一下·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点．    (1)求证：平面； (2)求与底面所成角的正切值； (3)设平面平面，求二面角的大小． 15．（23-24高一下·四川自贡·期末）如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且． (1)若平面平面，判断与的位置关系并说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角大小的余弦值． 16．（23-24高一下·广东清远·期末）如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值. 17．（23-24高一下·福建龙岩·期末）如图，在几何体中，四边形ABEF为正方形，，.记二面角的大小为，二面角的大小为. (1)证明：； (2)若，且. （i）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值； （ii）作出二面角的平面角，说明理由并求的值. 18．（23-24高一下·湖北武汉·期末）（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形． (1)若面ABCD，，，求证：； (2)若二面角的大小为，，且，设直线BD和平面QCB所成角为，求的最大值． 19．（23-24高一下·广东佛山·期末）如图，在直三棱柱中，是上一动点，是的中点，是的中点. (1)当时，证明: 平面; (2)在答题卡的题 (2) 图中作出平面与平面的交线 (保留作图痕迹,无需证明); (3)是否存在，使得平面与平面所成二面角的余弦值为? 若存在求满足条件的值，若不存在，则说明理由. 参考答案 1．(1) (2) 【分析】（1）由已知可证得平面，所以为直线与平面所成的角，然后在中求解即可； （2）连接交于点，过点作于点，连接，则可得是二面角的平面角，然后在中求解即可. 【详解】（1）在正方形中，有， 因为平面面，所以， 又因为平面平面， 所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，， 在中，， ， 所以直线与平面所成角的余弦值为； （2）连接交于点，    在正方形中，有， 因为平面，所以， 因为平面平面， 所以平面，所以， 在中，过点作于点，连接， 因为平面平面， 所以平面，所以， 则是二面角的平面角， 在中，， 则，同理可求得， 在中，， ， 因为，所以， 则二面角的大小为. 2．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及勾股定理的逆定理得，再利用线面垂直的性质判定推理即得. （2）作出二面角的平面角，再利用余弦定理计算即得. 【详解】（1）在直角梯形中，，，则， 又，由余弦定理得， 则，即，由平面，平面， 得，而平面， 所以平面. （2）作，垂足为N，连接，如图， 在中，，又，则≌，有, 于是≌，则，，为二面角的平面角， 由（1）知平面，平面，得，则， 在等腰中，，则， 而，在中，， 所以二面角的余弦值为．    3．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过四边形是正方形，得到，进而可求证； （2）作，垂足为，连接.先证明平面，得到是二面角的平面角，在判断四棱锥为正四棱锥，求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2）解： 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 4．(1)证明见解析; (2). 【分析】（1）由已知可得，由线面垂直可得，进而可证平面，可证结论； （2）由已知可得，取的中点，连接，取的中点，连接，，由已知可得为二面角的平面角，求解即可. 【详解】（1）由于底面为矩形，所以， 又有平面，平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）由于，即为异面直线和所成角所成的角．     因为异面直线和所成角的正切值为， 由于平面，所以， 所以在中，，所以， 由于是边长为4的正三角形，取的中点，连接， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，． 取的中点，连接，，，， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角，     在中，，所以，      所以为二面角的平面角. 5．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线面垂直的性质可得，然后由直径所对的圆周角等于可得，进而由线面垂直的判定定理可得平面，从而面面垂直的判定定理得证平面平面. （2）设，作,垂足于，并求的长度，进而由可得，易知是二面角的平面角，从而用余弦定理即可即可求解. 【详解】（1）证明：因为是一条母线，所以平面，而平面，则， 因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即， 又平面且， 所以平面，而平面，则平面平面. （2）设，则，. 取的中点，则，， 作，垂足于，则，即， 进而，所以. 因为分别是的中点，连接， 所以，又，. 由，可知，是二面角的平面角. 所以. 故二面角的余弦值为. 6．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，从而证明平面. （2）利用线面垂直的判定证得平面，进而得为直线与平面所成角并求出，利用勾股定理求出，再由余弦定理求出，利用二面角的定义即可得答案. 【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连接， 由分别为和的中点，得且， 由O为BC中点，得且，则且， 即四边形为平行四边形，于是，又平面，平面， 所以平面. （2）由三棱柱所有棱长都为2，，得都是正三角形， 而O为BC中点，则，，平面，， 于是平面，又，则平面， 为直线与平面所成角， 因此，，而平面，则， 又为中点，则， 在中，，，则， 由，，得是二面角的平面角， 所以二面角的大小. 7．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先根据证明平行四边形得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明即可； （2）应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理证明即可； （3）根据面面垂直结合二面角定义找到二面角，再应用边长求正弦及余弦值即可. 【详解】（1） 连接，，， 又为的中点，，， 四边形是平行四边形， 又平面，平面， 平面， （2）平面，， 是的中点，，又，平面， 平面， 又因为平面，， 在正方形中，､分别为棱､的中点， ，平面， 平面， 又平面，平面平面. （3）由（2）知平面，平面， 平面平面平面，且平面平面， ，设与交于点，则平面， 过作垂直，连接，则， 为二面角的平面角， 令，则，， ， 又因为，， 为的中点， ， 在直角三角形中，， 由图知，为锐角， ， 由图知二面角的平面角与二面角的平面角互补， 故二面角的平面角的余弦值为. 8．(1)平面平面PBC，证明见解析 (2) (3)． 【分析】（1）由平面PAB证明，由等腰三角形的性质证明，最后由面面垂直的判定证明即可； （2）作于G，由三角形全等，得出是二面角的平面角，进而由余弦定理求解； （3）由线面平行的性质证明F为线段BC上的中点，再由结合面面垂直的性质证明平面AEF，进而得出线面角的平面角，结合直角三角形的边角关系求解. 【详解】（1）平面平面PBC． 理由如下： 因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为，又，平面， 所以平面PAB，故． 在中，，E为PB的中点，所以． 因为平面PBC，平面PBC，， 所以平面PBC．又平面AEF， 所以平面平面PBC． （2）不妨设，计算可得，， 又，，，所以， 则，作于G，连结DG，又，， 可知，所以， 所以是二面角的平面角．    在中，由， 得，则，， 连结BD，知，在中，根据余弦定理， 得， 所以． （3）因为直线平面AEF，平面PBC，平面平面， 所以直线直线EF． 又E为线段PB的中点，所以F为线段BC上的中点． 由（2）知，所以． 设BG与EF交点为H，连结AH， 由（1）知，平面平面PBC，平面平面， 所以平面AEF． 所以直线AB与平面AEF所成角为． 又由EF，F为BC上的中点，可得H为BG的中点， 可知，，又， 所以． 直线AB与平面AEF所成角的正弦值为．    9．(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）连接，可证平面，根据平行关系可得∥，进而可得结果； （2）根据长度关系可得，分析可知二面角的平面角为，进而可得结果； （3）根据面面平行分析可知：点P的轨迹为线段，结合题中的长度关系运算求解. 【详解】（1）连接， 因为，M为的中点，则， 又因为平面，且平面，则， 由，平面，可得平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则∥，， 且∥，，可得∥，， 可知为平行四边形，则∥， 所以平面. （2）不妨设，则， 且平面，可知， 因为平面，平面，可得， 则，即，则， 可知为矩形，则， 由（1）可知：，则二面角的平面角为， 在中，可得， 所以二面角的正弦值为. （3）连接， 由（1）可知：∥，且平面，平面， 可得∥平面， 在平行四边形中，分别为的中点，则∥，， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，可得∥平面， 且，平面，所以平面∥平面， 且平面平面，可知点P的轨迹为线段， 即，由题可知：，且为矩形， 则， 在中，因为，则边上的高， 可得， 所以三棱柱的侧面积. 【点睛】方法点睛：探索性问题求解的途径和方法 1.对命题条件探索的三种途径： ①先猜后证，即先观察，尝试给出条件再证明； ②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性； ③将几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件． 2.对命题结论的探索方法： 从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，现寻找与条件相容或者矛盾的结论． 10．(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）先证平面，通过线面垂直，得到线线垂直. （2）构造二面角的平面角，通过解三角形，求二面角的余弦. （3）利用体积法求点到平面的距离，则即为所求. 【详解】（1）因为为矩形，所以， 又因为平面平面且交于，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为平面， 所以平面，平面， 所以； （2）如图： 过作于点，过作于点，连， 因为面面且交于，所以面，平面， 平面， 面平面，， 所以，为二面角的平面角， 在Rt中，， ，显然，， 所以， 所以，二面角的余弦值为. （3）由（1）知：， 设点到平面的距离为， 由，得， 即，得：， 与平面所成的角的正弦值为． 11．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)48 【分析】（1）连接，证明，由线线平行证线面平行即得； （2）过作交于，证平面得，由平面得，可证平面，即得； （3）过作交于,证平面，作交于，连接，证即为二面角的平面角，由题设，通过两组三角形相似求出即得. 【详解】（1）如图，连接．    因为分别为的中点，所以为的中位线，则． 因为平面平面，所以平面． （2）如图，过作交于．    因平面平面，平面平面，平面，故平面． 因为平面，所以． 因为平面平面，所以． 因为，所以平面， 又平面，所以． （3）如图3，过作交于，过作交于，连接．      因平面，平面,则, 因平面,故得平面. 因平面,则． 因为，平面,所以平面. 又平面，则，则即为二面角的平面角， 依题意，． 设，则．因为，所以． 由，得，即，则． 又由，得，即，解得． 因,则的面积为， 故． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面垂直的判定和二面角的几何求法，属于难题. 解题关键在于充分利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理，结合图形执果索因即可；对于二面角的求法，一般是先找到平面的垂线，再由垂足向棱作垂线,连线后即可证得其平面角. 12．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先用线面垂直定理证明平面，再用面面垂直定理证明平面平面即可； （2）由于平面PAC，所以PM为PD在平面PAC内的射影，所以为PD与平面PAC所成角.借助锐角三角函数求值即可； （3）投影法求解，为在平面上的投影.分别求出面积再比即可得解. 【详解】（1）证明：因为ABCD为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以，又， 又，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）如图所示， 设交于，连接，由（1）知平面PAC 所以PM为PD在平面PAC内的射影，所以为PD与平面PAC所成角. 因为，所以， 在直角中， 所以PD与平面PAC所成角得正弦值为 （3）运用投影法解题. 由于平面，平面，则． 又底面为正方形，则. 因为，平面，则平面. 则为在平面上的投影.且. ，，， ，则为等腰三角形，连接，则. ，则. 设平面与平面夹角为，则． 由图知道二面角为锐角，则二面角的余弦值为. 13．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取的中点，由中位线定理可得，，推出四边形是平行四边形，进而可得，再由线面平行的判定定理，即可得出答案． （2）由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得答案． （3）取的中点，连接，先找到二面角的平面角为，再计算余弦值，即可得出答案． 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为为棱的中点， 所以，， 又，，为的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）证明：因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面，又平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， （3）取的中点，连接， 因为为的中点，所以， 又，所以， 又直三棱柱的几何特征可得面，又面，所以， 又，平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以二面角的平面角为， 因为， 所以，， 在中，， 所以， 所以二面角的余弦值为． 14．(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由面面垂直的性质定理可得平面，从而知，再利用线面垂直的判定定理，即可得证； （2）取的中点，连接，，先利用面面垂直的性质定理可证平面，从而知即为所求，再利用锐角三角函数的知识，求解即可； （3）先证平面，由线面平行的性质定理知，再证平面，从而知，同理可证，于是即为所求． 【详解】（1）证明：因为侧面是正三角形，是的中点， 所以， 因为底面为正方形，所以， 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，、平面， 所以平面． （2）解：取的中点，连接，，    因为侧面是正三角形，所以， 又侧面底面，侧面底面，平面， 所以平面， 所以即为与底面所成角， 设正方形的边长为，则，， 在中，， 所以与底面所成角的正切值为． （3）解：因为，平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以， 由（1）知平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可得， 所以即为二面角的平面角， 又侧面是正三角形，所以， 故二面角的大小为． 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线、面垂直与平行的判定或性质定理，线面角、二面角的定义与求法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 15．(1)，理由见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质判断推理即得. （2）令，连接，求出点到平面的距离即可求得线面角的正弦. （3）取的中点，探求二面角的平面角，再利用余弦定理计算即可. 【详解】（1），理由如下： 由分别是的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面平面，平面， 所以. （2）令，连接，由是菱形，，得都是正三角形， 则，，而平面， 于是平面，又平面，则平面平面， 在平面内过作于，由平面平面， 因此平面，连接，则是直线与平面所成的角， 在正中，，， ，则， 于是，， 所以直线与平面所成角的正弦值是. （3）在中，， 即，显然，则有，同理， 取的中点，连接，则，有， 因此是二面角的平面角，而， 则， 所以二面角大小的余弦值是. 【点睛】思路点睛：平面图形翻折问题，在翻折过程中，始终位于同一平面内的点线位置关系和数量关系不变，否则将可能发生变化. 16．(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）如图，连接，可得，则得平面； （2）由已知，可得都是等腰直角三角形，则，又得平面，则得，则平面，得； （3）由已知和（2）可得，为直线与底面所成的角，进而证得即为二面角的平面角，再利用三角形相似求得，从而得解. 【详解】（1） 如图，连接， 因为为边上的中点，为边上的中点， 所以，又平面，又平面， 所以平面. （2）在四边形中，，，， 则， 所以，则， 所以都是等腰直角三角形，则， 又平面平面，，即， 平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，又平面， 所以平面，又平面， 所以. （3）已知，直线与底面所成角的余弦值为， 由（2）知，，平面， 则为直线与底面所成的角，则， 所以在中，则，， 取的中点，连接，过作的垂线交于，连接， 由，平面，平面平面，平面平面， 则平面， 又平面，所以，， ，平面，， 所以平面，又平面，所以， 则即为二面角的平面角， 因为，， 又，所以，又， 则在中，由勾股定理， 则，所以. 17．(1)证明见解析 (2)（i）（ii）作图见解析， 【分析】（1）根据线面垂直即可求证， （2）（i）理由等体积法求解到平面的距离为，即可求解，（ii）根据面面垂直的性质，结合二面角的几何法（垂线法）即可得为二面角的平面角，理由三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）在以，，，，，为顶点的五面体中， ，，平面， 平面．又平面，故 （2）平面．又平面，平面平面， 过作，垂足为， 由于平面平面，平面，故平面． 由，知为二面角的平面角，故， 由，可得平面，平面，故 为二面角的平面角，． 故四边形为等腰梯形， 四边形为正方形，, 则，，, 又，， , 设到平面的距离为， 则，故, 设直线BD与平面CBE所成角为,则； （ii）由于平面，平面，故平面平面 过作，过作，连接, 则为二面角的平面角， 理由：，平面，平面平面， 故平面，平面，故, 又，平面, 故平面,平面,故, 故为二面角的平面角， 由于，所以,, 又，故, 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）问题转化为证明平面，即证明和，转化为证明平面， 而则只需证明 （2）作出二面角的平面角以及直线与平面所成的角，列出的表达式，最后把问题转化为函数最值问题. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，在中，， 则，，所以，，由，，所以， 所以，又因为，，平面， 所以平面，又因为平面，所以. （2） 在平面中，过点作，因为为矩形，所以， 所以为二面角的平面角，且， 又，平面，所以平面，在平面中，过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角，即，，又因为， 所以，由可得，， 设，，则，， 所以，当且仅当时等号，所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角的平面角以及直线与平面所成的角，然后写出的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式. 19．(1)证明见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）构造平行四边形，利用平行四边形对边平行得线线平行，再用线面平行的判定定理即可. （2）一个平面内的直线，不平行则相交，将相关线段延长至相交即可. （3）做出二面角的平面角，由题意易得，再由等面积法计算出，由余弦值可得正切值，即可求解. 【详解】（1）时，为的四等分点（靠近）， 取中点为，取的四等分点（靠近）为，连接. 分别为的中点， ，且， 分别为的四等分点（靠近）， ，且， ，且，则四边形为平行四边形， 又平面，平面， 平面 （2）如图，平面中，与不平行，故与一定相交，设与交于点，连接，则点既在平面上，又在平面上，则为平面与平面的交线. （3）过作，垂足为，过作，垂足为，连接，设与交于点, 因为三棱柱是直三棱柱，所以平面， 又平面，，又，， 平面，又平面，， 又，，平面，又平面，. 所以为平面与平面所成的二面角. 假设存在满足条件的，即， 由已知可求得，所以， 所以，又， ，所以， 所以，， ， ， ，故， 由得， 又，所以，解得， 即存在使得平面与平面所成二面角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高一下学期《综合法求二面角的求解》常用方法讲义 一、二面角问题的解题步骤 1、二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角 2、找到或作出二面角的平面角： （1）定义法：在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，这两条垂线所成的角就是二面角的平面角。 （2）垂面法：过二面角内一点作垂直于棱的平面，该平面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角。 （3）三垂线定理法：过一个半平面内一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上垂足，所得到的角就是二面角的平面角（或其补角）。 3、证明所找到的角就是二面角的平面角： 依据定义或相关定理，证明所作的角的两边分别在二面角的两个半平面内，且两边都与棱垂直。 4、计算平面角的大小： 将平面角放入一个三角形中，通过解三角形来求出角的大小。常用的定理有正弦定理、余弦定理等。如果是特殊的三角形，如直角三角形，可直接利用三角函数的定义来求解。 二、常用方法 1、定义法 步骤 （1）在棱上取点：在二面角的棱上选取一个合适的点。这个点通常选择在具有特殊位置或便于计算的地方，例如棱的中点、端点或者与其他已知条件相关的点。 （2）作垂线：分别从该点在两个半平面内作棱的垂线。这两条垂线要确保分别在二面角的两个半平面内，且与棱垂直。 （3）确定平面角：这两条垂线所形成的角即为二面角的平面角。 （4）适用情况：当二面角的两个半平面具有明显的对称性，或者棱上存在特殊点，使得从该点向两个半平面作棱的垂线比较容易时，适合使用定义法。例如在正方体、正棱柱等规则几何体中，经常可以找到这样的特殊点来构造二面角的平面角。 2、垂面法 步骤 （1）作垂面：过二面角内的某一点作一个垂直于棱的平面。这个平面的作法通常需要根据已知条件和几何体的特征来确定，一般要找到一条与棱垂直的直线，然后过该直线作平面与棱垂直。 （2）确定交线：该垂面与二面角的两个半平面分别相交，得到两条交线。 （3）确定平面角：这两条交线所成的角就是二面角的平面角。 （4）适用情况：当已知条件中存在线面垂直关系，且该垂直关系与二面角的棱相关，能够通过作垂面将二面角的平面角转化为垂面与两个半平面交线所成的角时，适合使用垂面法。比如在一些有侧棱垂直于底面的棱锥中，常常可以利用这种方法来求二面角。 3、三垂线法 步骤 （1）作垂线：过二面角的一个半平面内的一点A作另一个半平面的垂线AO，垂足为O。 （2）作射影：过垂足O作棱的垂线OB，垂足为B，连接AB。 （3）确定平面角：根据三垂线定理，AB为棱，所以∠ABO就是二面角的平面角（或其补角）。需要根据点A的位置以及二面角的实际情况来判断∠ABO是二面角的平面角还是其补角。 （4）适用情况：当二面角的一个半平面内存在一条直线垂直于另一个半平面，或者能够通过已知条件证明存在这样的垂直关系时，适合使用三垂线法。在很多有一条侧棱垂直于底面的棱锥中，经常会用到三垂线法来求二面角。 4、投影面积法——面积比（三垂线法的进阶版） 如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC，则平面α与平面ABC的夹角余弦值 将从边之比＝面积之比，从一维到二维，多角度求出两三角形面积，最后求解 补充：即使交线没有画出来也可以直接用 三、解题技巧 （1）观察图形：仔细观察几何体的结构特征，寻找已知的线面垂直、面面垂直关系，以及特殊的点、线、面，这些往往是解题的关键突破口。例如，正方体、长方体等规则几何体中存在很多垂直关系，可利用这些关系快速找到二面角的平面角。 （2）转化思想：将不易直接求解的二面角转化为与之相等或互补的角。比如，通过作平行线、找对称图形等方法，将二面角转化到一个更容易求解的位置。 四、易错点分析 1、平面角的确定：使用定义法、垂面法或三垂线定理法时，容易出现所作角不是二面角的平面角的情况。要严格按照相关定理的要求，证明所作角的两边分别在二面角的两个半平面内且与棱垂直。 2、计算错误：在求平面角的三角函数值或利用向量法计算法向量的点积、模长等过程中，容易出现计算错误。要仔细进行计算，并且在计算完成后进行检验。 3、忽略二面角的范围：二面角的范围是[0,π]，在求解过程中要注意结果是否在这个范围内，避免出现错误的答案。例如，用反三角函数表示二面角时，要根据具体情况确定正确的取值范围 方法技巧一 定义法 例1、如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是（    ） A． B． C． D． 例2、（24-25高一下·江苏南京·阶段测试）如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，.    (1)证明：；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值. 方法技巧二 三垂线法求二面角 例3、在三棱锥中，，，，.点在平面上的射影恰好在上. (1)若为线段的中点，求证：平面；(2)求二面角的余弦值. 变式1、如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的正弦值. 变式2、如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，侧面面. (1)求证：面；(2)求二面角的余弦值. 方法技巧三 垂面法 例4、已知三棱柱中，平面平面ABC，四边形为菱形，且，，.    (1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值的大小. 变式1、如图，在三棱柱中，，，在底面的射影为的中点，为的中点. (1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值. 变式2、（24-25高一下·江苏常州 ·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面平面，是边长为2的正三角形，，是中点，过点，，的平面与交于点.    (1)求证：；(2)求证：；(3)求二面角的正切值. 方法技巧四 投影面积法求二面角 例5、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD． （1）证明：AB⊥平面PAD； （2）求面PAD与面PDB所成的二面角的正切值． 变式、如图所示，已知圆柱的底面直径，母线长，且为圆柱底面圆周上的一点，．求： （1）圆柱的体积和侧面积； （2）二面角的正弦值． 1．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且.    (1)求直线与平面所成角的余弦值； (2)求二面角的大小. 2．（23-24高一下·辽宁本溪·期末）已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点．    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 3．（23-24高一下·青海·期末）如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 4．（23-24高一下·福建宁德·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是边长为4的正三角形，为棱的中点，平面． (1)求证：平面平面； (2)若异面直线和所成角的正切值为，求二面角的大小． 5．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 6．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，三棱柱所有棱长都为2，，O为BC中点，D为与交点． (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小． 7．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，正三棱柱中，各棱长均相等，､､､分别为棱､､､的中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值. 8．（23-24高一下·四川雅安·期末）我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点    (1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由； (2)求二面角的大小； (3)若直线平面AEF，求直线AB与平面AEF所成角的正弦值． 9．（23-24高一下·山东聊城·期末）如图，在三棱柱中，，点在底面ABC的射影为BC的中点O，M为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点P为底面ABC内（包括边界）的动点，且∥平面，若点P的轨迹长度为，求三棱柱的侧面积. 10．（23-24高一下·湖南郴州·期末）如图，在矩形中，，沿对角线把折起，使移到，且平面平面． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求与平面所成的角的正弦值． 11．（23-24高一下·云南楚雄·期末）在四棱锥中，平面，平面平面分别为的中点．    (1)证明：平面． (2)证明：． (3)若二面角的正切值为，求三棱锥的体积． 12．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知四棱锥的底面是正方形，点是棱的中点，平面，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角的余弦值． 13．（23-24高一下·广东韶关·期末）如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点. (1)求证：平面 (2)求证：平面平面 (3)若，求二面角 的余弦值. 14．（23-24高一下·湖南长沙·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点．    (1)求证：平面； (2)求与底面所成角的正切值； (3)设平面平面，求二面角的大小． 15．（23-24高一下·四川自贡·期末）如图，在边长为4的菱形中，分别是的中点，将沿折起，使点到的位置，且． (1)若平面平面，判断与的位置关系并说明理由； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求二面角大小的余弦值． 16．（23-24高一下·广东清远·期末）如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，，，，. (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值. 17．（23-24高一下·福建龙岩·期末）如图，在几何体中，四边形ABEF为正方形，，.记二面角的大小为，二面角的大小为. (1)证明：； (2)若，且. （i）求直线BD与平面CBE所成角的正弦值； （ii）作出二面角的平面角，说明理由并求的值. 18．（23-24高一下·湖北武汉·期末）（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形． (1)若面ABCD，，，求证：； (2)若二面角的大小为，，且，设直线BD和平面QCB所成角为，求的最大值． 19．（23-24高一下·广东佛山·期末）如图，在直三棱柱中，是上一动点，是的中点，是的中点. (1)当时，证明: 平面; (2)在答题卡的题 (2) 图中作出平面与平面的交线 (保留作图痕迹,无需证明); (3)是否存在，使得平面与平面所成二面角的余弦值为? 若存在求满足条件的值，若不存在，则说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$