第四章 §4.5　三角函数的图象与性质（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第四章 三角函数与解三角形 §4.5　三角函数的图象与性质 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 三角函数的图象与性质（基础） 2024·全国甲卷、2024·天津卷 2024·上海卷、2024·北京卷 2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷 2022·天津卷、2021·北京卷 2021·全国甲卷、2021·全国乙卷 理解并掌握三角函数的图象与性质，会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换，该内容是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸缩平移变换，需加强复习备考。 考点2 三角函数的图象与性质（拔高） 2024·天津卷、2024·全国新Ⅰ卷 2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷 2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷 2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国甲卷 2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷 2021·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷 【知识梳理】 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 【名师点拨】 1.对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z). (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　) (3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　) (4)y＝sin|x|是偶函数.(　　) 2.(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间上单调递增 C.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D.函数f(x)是奇函数 3.函数y＝tan的单调区间为　　　　　　.  4.函数y＝cosx∈的值域是　　　　　　.  【名师点拨】 1.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论 (1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). (3)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). 2.谨防两个易误点 (1)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆. (2)对于y＝tan x，是在每个区间(k∈Z)上单调递增，不能认为其在定义域上为增函数. 【必练核心题型】 题型一　三角函数的定义域和值域 【典例】1.函数y＝的定义域为　　　　　　　　　　　　.  【典例】2.函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的值域为　　　　　　.  【变式训练】 变式1.函数y＝tan的值域为(　　) A.[－1，1] B.(－∞，－1]∪[1，＋∞) C.(－∞，1] D.[－1，＋∞) 变式2.若函数f(x)＝4sin x－2cos 2x＋m在R上的最大值是3，则实数m等于(　　) A.－6 B.－5 C.－3 D.－2 题型二　三角函数的周期性、对称性与奇偶性 【典例】1.(多选)(2024·淄博模拟)已知函数f(x)＝sin＋1，则下列结论中正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期T＝π B.函数f(x)的图象关于点对称 C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D.函数f(x)在区间[0，2π]上有4个零点 【典例】2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝cos(x＋φ)，则“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【变式训练】 变式1.(多选)(2024·黄山模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为则(　　) A.ω＝2 B.函数f(x)为奇函数 C.函数f(x)的图象关于点对称 D.函数f(x)的图象关于直线x＝对称 变式2.(2025·广州模拟)若函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ等于(　　) A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z) C.(k∈Z) D.(2k＋1)π(k∈Z) 题型三　三角函数的单调性 命题点1　求三角函数的单调区间 【典例】3　函数f(x)＝sin的单调递减区间为　　　　　　，在[0，π]上的单调递减区间为　　　　　　.  命题点2　根据单调性求参数 【典例】4　(2025·广州模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间[a，b]上单调递减，且f(a)＝1，f(b)＝－1，b－a＝则ω等于(　　) A. B.1 C. D.2 【变式训练】 变式1.下列区间中，函数f(x)＝－2sin单调递增的是(　　) A. B. C. D. 变式2.(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为若f(x)在(－m，m)上单调递增，则正数m的取值范围是　　　　　　.  【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 2.已知函数f(x)＝cos则f(x)在[－2，0]上(　　) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 3.已知函数f(x)＝2cos设a＝fb＝fc＝f则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c 4.已知函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0<φ<2π)在区间上单调递增，则φ等于(　　) A. B. C. D.π 5.已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则f(x)在上的最小值为(　　) A.－2 B.－ C.－1 D.－ 6.已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(0<ω<10，0<φ<π)图象的一个对称中心是A点B在f(x)的图象上，下列说法错误的是(　　) A.f(x)＝cos B.直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在上单调递减 D.f是奇函数 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 8.(2025·岳阳模拟)若函数f(x)＝sin(ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x＝对称，则下列说法正确的是(　　) A.f(0)＝ B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)在区间(0，π)上有2个极值点 D.f(x)在区间上单调递增 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.函数y＝的定义域为　　　　　　.  10.函数f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈的值域为　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)已知f(x)＝sin. (1)求函数y＝的最小正周期；(6分) (2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值.(7分) 12.(14分)已知函数f(x)＝asin－2cos2(a>0)，且满足　　　　.  从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面　　　　　　中并作答下列问题.  (1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；(6分) (2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围.(8分) 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)已知函数f(x)＝sin |x|－cos 2x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)的最小值为－ D.f(x)的最大值为2 14.已知函数满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在上单调递减. 写出一个同时具有以上性质①②③的函数：　　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角函数与解三角形 §4.5　三角函数的图象与性质 【考情分析·探规律】 考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势 考点1 三角函数的图象与性质（基础） 2024·全国甲卷、2024·天津卷 2024·上海卷、2024·北京卷 2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷 2022·天津卷、2021·北京卷 2021·全国甲卷、2021·全国乙卷 理解并掌握三角函数的图象与性质，会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换，该内容是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸缩平移变换，需加强复习备考。 考点2 三角函数的图象与性质（拔高） 2024·天津卷、2024·全国新Ⅰ卷 2024·全国新Ⅱ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷 2023·天津卷、2023·全国新Ⅰ卷 2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国甲卷 2022·北京卷、2022·全国新Ⅰ卷 2021·全国新Ⅰ卷、2021·全国甲卷 【知识梳理】 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R {x x≠kπ＋} 值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 【名师点拨】 1.对称性与周期性 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z). (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z). 3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　) (2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　) (3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　) (4)y＝sin|x|是偶函数.(　　) 【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条. (2)正切函数y＝tan x在每一个区间 (k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数. (3)当k>0时，ymax＝k＋1； 当k<0时，ymax＝－k＋1. 2.(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)在区间上单调递增 C.函数f(x)的图象关于直线x＝0对称 D.函数f(x)是奇函数 【答案】ABC 【解析】由题意得f(x)＝－cos x， 对于A，T＝＝2π，故A正确； 对于B，因为y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在上单调递增，故B正确； 对于C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，故C正确，D错误. 3.函数y＝tan的单调区间为　　　　　　.  【答案】(k∈Z) 【解析】由－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，得<x<(k∈Z)， 所以y＝tan的单调区间为(k∈Z). 4.函数y＝cosx∈的值域是　　　　　　.  【答案】 【解析】由x∈得x＋∈ 所以y＝cos的值域为. 【名师点拨】 1.熟记与三角函数周期性、对称性、奇偶性有关的常用结论 (1)正弦型曲线、余弦型曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期. (2)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z). (3)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z). 2.谨防两个易误点 (1)要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减区间的混淆. (2)对于y＝tan x，是在每个区间(k∈Z)上单调递增，不能认为其在定义域上为增函数. 【必练核心题型】 题型一　三角函数的定义域和值域 【典例】1.函数y＝的定义域为　　　　　　　　　　　　.  【答案】(k∈Z) 【解析】方法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一直角坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示. 在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为(k∈Z). 方法二　要使函数y＝有意义， 则sin x－cos x≥0，即sin≥0， 即2kπ≤x－≤2kπ＋π(k∈Z)， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 即原函数的定义域为(k∈Z). 【典例】2.函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2的值域为　　　　　　.  【答案】 【解析】设sin x＋cos x＝sin＝t，t∈[－]，则2sin xcos x＝t2－1， 则由函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin xcos x＋2，可知y＝t2＋t＋1＝t∈[－]， 当t＝－时，ymin＝；当t＝时，ymax＝3＋. 因此函数的值域为. 【解题技巧】 (1)三角函数有关定义域的求法：根据函数解析式的特征列出与三角函数有关的不等式，借助三角函数性质及图象求解，与正切函数有关的定义域，要注意正切函数本身的定义域. (2)三角函数值域的不同求法 ①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域. ②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域. ③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域. 【变式训练】 变式1.函数y＝tan的值域为(　　) A.[－1，1] B.(－∞，－1]∪[1，＋∞) C.(－∞，1] D.[－1，＋∞) 【答案】B 【解析】因为－≤x≤且x≠0， 所以≤－x≤且－x≠ 所以函数y＝tan的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞). 变式2.若函数f(x)＝4sin x－2cos 2x＋m在R上的最大值是3，则实数m等于(　　) A.－6 B.－5 C.－3 D.－2 【答案】C 【解析】因为f(x)＝4sin x－2(1－2sin2x)＋m＝4sin2x＋4sin x＋m－2＝(2sin x＋1)2＋m－3， 当sin x＝1时，函数取到最大值，即(2＋1)2＋m－3＝3，解得m＝－3. 题型二　三角函数的周期性、对称性与奇偶性 【典例】1.(多选)(2024·淄博模拟)已知函数f(x)＝sin＋1，则下列结论中正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期T＝π B.函数f(x)的图象关于点对称 C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称 D.函数f(x)在区间[0，2π]上有4个零点 【答案】AC 【解析】∵f(x)＝sin＋1， ∴f(x)的最小正周期T＝＝π，A正确； ∵sin＝0，∴函数f(x)的图象关于点对称，B错误； 又sin＝1，∴函数f(x)的图象关于直线x＝对称，C正确； 令f(x)＝0得sin＝－1， ∴2x－＝－＋2kπ，k∈Z， ∴x＝－＋kπ，k∈Z， 又x∈[0，2π]，∴x＝ ∴f(x)在[0，2π]内有2个零点，D错误. 【典例】2.(2025·西安模拟)已知函数f(x)＝cos(x＋φ)，则“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意可知，f(x)的定义域为R， 若f(0)＝cos φ＝0，可得φ＝＋kπ，k∈Z， 若k为偶数，则f(x)＝cos ＝cos＝－sin x为奇函数； 若k为奇数，则f(x)＝cos ＝－cos＝sin x为奇函数， 即充分性成立； 若f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即必要性成立. 综上所述，“f(0)＝0”是“f(x)为奇函数”的充要条件. 【名师点拨】 (1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式. (2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解. (3)对称轴、对称中心的求法：对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，令ωx＋φ＝＋kπ或ωx＋φ＝kπ(k∈Z). 【变式训练】 变式1.(多选)(2024·黄山模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)图象上相邻两条对称轴之间的距离为则(　　) A.ω＝2 B.函数f(x)为奇函数 C.函数f(x)的图象关于点对称 D.函数f(x)的图象关于直线x＝对称 【答案】AC 【解析】f(x)＝sin ωx－cos ωx ＝2＝2sin 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为 所以T＝则T＝π， 所以T＝＝π，解得ω＝2， 所以f(x)＝2sin故A正确； 显然，函数f(x)为非奇非偶函数，故B错误； 对于C选项，f ＝2sin ＝2sin(－π)＝0， 所以函数f(x)的图象关于点对称，故C正确； 对于D选项，f ＝2sin＝2sin＝－1， 所以函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故D错误. 变式2.(2025·广州模拟)若函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ等于(　　) A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z) C.(k∈Z) D.(2k＋1)π(k∈Z) 【答案】C 【解析】若0在定义域内，由x＝0时，y＝0，得φ＝kπ(k∈Z)； 若0不在定义域内，由x＝0时，tan φ无意义，得φ＝kπ＋(k∈Z). 综上，φ＝(k∈Z). 题型三　三角函数的单调性 命题点1　求三角函数的单调区间 【典例】3　函数f(x)＝sin的单调递减区间为　　　　　　，在[0，π]上的单调递减区间为　　　　　　.  【答案】k∈Z　和 【解析】f(x)＝sin的单调递减区间是g(x)＝sin的单调递增区间. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋k∈Z. 故所求函数的单调递减区间为k∈Z. 令A＝k∈Z，B＝[0，π]， ∴A∩B＝∪ ∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和. 命题点2　根据单调性求参数 【典例】4　(2025·广州模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间[a，b]上单调递减，且f(a)＝1，f(b)＝－1，b－a＝则ω等于(　　) A. B.1 C. D.2 【答案】C 【解析】由函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx ＝2sin 因为f(a)＝1，f(b)＝－1，所以sinsin＝－ 又f(x)在区间[a，b]上单调递减，ω>0， 所以ωa＋＋2kπ，k∈Z，ωb＋＋2kπ，k∈Z， 两式相减，可得ω(b－a)＝因为b－a＝ 所以ω＝. 【解题技巧】 (1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错. (2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. 【变式训练】 变式1.下列区间中，函数f(x)＝－2sin单调递增的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当x∈时，x－∈函数f(x)单调递减，故A不满足题意； 当x∈时，x－∈函数f(x)单调递增，故B满足题意； 当x∈时，x－∈函数f(x)在上不单调，故C不满足题意； 当x∈时，x－∈函数f(x)在上不单调，故D不满足题意. 变式2.(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为若f(x)在(－m，m)上单调递增，则正数m的取值范围是　　　　　　.  【答案】 【解析】因为函数f(x)＝sin(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为 所以×解得ω＝2， 即f(x)＝sin 因为f(x)在(－m，m)上单调递增，且m>0， 所以函数f(x)＝sin的单调递增区间包含0， 令－≤2x－≤得－≤x≤ 所以(－m，m)⊆ 所以故m的取值范围为. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数f(x)＝的定义域为(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 【答案】A 【解析】由题意，函数f(x)＝有意义， 则满足－2cos x－1≥0， 即cos x≤－ 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域为 (k∈Z). 2.已知函数f(x)＝cos则f(x)在[－2，0]上(　　) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 【答案】D 【解析】∵x∈[－2，0]， ∴2x－∈ ∵－<－4－<－π<－<0， ∴函数f(x)＝cos在[－2，0]上先减后增. 3.已知函数f(x)＝2cos设a＝fb＝fc＝f则a，b，c的大小关系是(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c 【答案】A 【解析】a＝f＝2cos b＝f＝2cos c＝f＝2cos 因为y＝cos x在[0，π]上单调递减， 又0<<<<π， 所以a>b>c. 4.已知函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0<φ<2π)在区间上单调递增，则φ等于(　　) A. B. C. D.π 【答案】D 【解析】根据题意，函数f(x)＝sin(3x＋φ)，其周期T＝ 又由f(x)在区间上单调递增， 而 必有3×＋φ＝2kπ－且3×＋φ＝2kπ＋k∈Z， 变形可得φ＝2kπ－π，k∈Z， 又由0<φ<2π，必有k＝1，此时φ＝π. 5.已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则f(x)在上的最小值为(　　) A.－2 B.－ C.－1 D.－ 【答案】A 【解析】因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称， 所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 解得φ＝kπ＋(k∈Z)， 又0<φ<所以当k＝0时，φ＝ 所以f(x)＝2sin 因为x∈ 所以2x＋∈ 所以当2x＋即x＝时，f(x)在上的最小值为－2. 6.已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(0<ω<10，0<φ<π)图象的一个对称中心是A点B在f(x)的图象上，下列说法错误的是(　　) A.f(x)＝cos B.直线x＝是f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在上单调递减 D.f是奇函数 【答案】B 【解析】因为点B在f(x)的图象上， 所以f(0)＝cos φ＝. 又0<φ<π，所以φ＝ 因为f(x)图象的一个对称中心是A 所以＋kπ，k∈Z， 则ω＝2＋8k，k∈Z. 又0<ω<10，所以ω＝2， 则f(x)＝cosA正确； f＝cos ＝0， 则直线x＝不是f(x)图象的一条对称轴，B不正确； 当x∈时，2x＋∈[2π，3π]，f(x)单调递减，C正确； f＝cos＝－sin 2x，是奇函数，D正确. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.(2024·新课标全国Ⅱ)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin下列说法中正确的有(　　) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】A选项，令f(x)＝sin 2x＝0， 解得x＝k∈Z，即为f(x)的零点， 令g(x)＝sin＝0， 解得x＝k∈Z，即为g(x)的零点， 显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为＝π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋k∈Z， 解得x＝k∈Z， g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋k∈Z， 解得x＝k∈Z， 显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误. 8.(2025·岳阳模拟)若函数f(x)＝sin(ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x＝对称，则下列说法正确的是(　　) A.f(0)＝ B.f(x)的图象关于点对称 C.f(x)在区间(0，π)上有2个极值点 D.f(x)在区间上单调递增 【答案】ABC 【解析】因为函数f(x)＝sin(ω∈N*，ω≤6)的图象关于直线x＝对称， 可得ω·＋kπ，k∈Z， 解得ω＝2＋6k，k∈Z， 又ω∈N*，且ω≤6，所以ω＝2， 即f(x)＝sin. A中，f(0)＝sin 所以A正确； B中，因为2×＝π，所以f(x)的图象关于点对称，所以B正确； C中，因为x∈(0，π)，所以2x＋∈ 令2x＋解得x＝ 令2x＋解得x＝ 所以极值点为所以C正确； D中，因为x∈所以2x＋∈则函数不单调，所以D不正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.函数y＝的定义域为　　　　　　.  【答案】 【解析】要使函数有意义，则 即 故函数的定义域为 . 10.函数f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈的值域为　　　　　　.  【答案】 【解析】f(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3 ＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3 ＝2sin2x＋2sin x＋1 ＝2. 因为x∈所以≤sin x≤1. 当sin x＝1时，f(x)max＝5； 当sin x＝时，f(x)min＝. 所以函数f(x)的值域为. 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知f(x)＝sin. (1)求函数y＝的最小正周期；(6分) (2)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值.(7分) 【解析】(1)因为f(x)＝sin 所以f sin ＝sin ＝－sin 2x－cos 2x， 所以y＝＝(－sin 2x－cos 2x)2＝1＋sin 4x， 所以函数y＝的最小正周期T＝. (2)当x∈时≤2x＋≤ 所以－1≤sin≤ 所以－≤f(x)≤1， 所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－. 12.(14分)已知函数f(x)＝asin－2cos2(a>0)，且满足　　　　.  从①f(x)的最大值为1；②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π；③f(x)的图象过点这三个条件中选择一个，补充在上面　　　　　　中并作答下列问题.  (1)求函数f(x)的解析式及最小正周期；(6分) (2)若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，求实数m的取值范围.(8分) 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【解析】(1)函数f(x)＝asin－2cos2 ＝asin－cos－1 ＝asin－cos－1 ＝asin＋sin－1 ＝(a＋1)sin－1. 若选择条件①f(x)的最大值为1， 则a＋1＝2，解得a＝1， 所以f(x)＝2sin－1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. 若选择条件②f(x)的图象与直线y＝－3的两个相邻交点的距离等于π， 且f(x)的最小正周期T＝＝π， 所以－(a＋1)－1＝－3，解得a＝1， 所以f(x)＝2sin－1. 若选择条件③f(x)的图象过点 则f＝(a＋1)sin－1＝0，解得a＝1. 所以f(x)＝2sin－1， 则函数f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令f(x)＝1，得sin＝1， 则2x－＋2kπ，k∈Z， 即x＝＋kπ，k∈Z. 若关于x的方程f(x)＝1在区间[0，m]上有两个不同解，则x＝或x＝ 所以实数m的取值范围是. 【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)已知函数f(x)＝sin |x|－cos 2x，则下列结论正确的是(　　) A.f(x)为偶函数 B.f(x)的最小正周期为π C.f(x)的最小值为－ D.f(x)的最大值为2 【答案】ACD 【解析】因为f(－x)＝sin |－x|－cos(－2x)＝sin |x|－cos 2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，则A正确； 若f(x)的最小正周期为π，则f(x＋π)＝f(x)恒成立，即sin |x＋π|－cos 2(x＋π)＝sin |x|－cos 2x，即sin |x＋π|＝sin |x|恒成立，而当x＝时，sin ≠sin 所以“f(x)的最小正周期为π”是错误的，则B错误； 由f(x)是偶函数，只需考虑x≥0时的最值即可，当x≥0时，f(x)＝sin x－cos 2x＝2sin2x＋sin x－1＝2因为sin x的值域为[－1，1]，所以f(x)的值域为则C，D正确. 14.已知函数满足：①f(3－x)＝－f(x)；②f(x)＝f(1－x)；③函数f(x)在上单调递减. 写出一个同时具有以上性质①②③的函数：　　　　　　.  【答案】f(x)＝2sin(答案不唯一) 【解析】对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点对称， 对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称， 设f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)， 则T＝4×＝4，ω＝ 又f(x)的图象关于直线x＝对称， 且函数f(x)在上单调递减， 则＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 得φ＝＋2kπ，k∈Z. 所以可令f(x)＝2sin(答案不唯一). 学科网（北京）股份有限公司 $$