17.1 勾股定理 勾股定理的探索与证明 研究课 课件 2024-2025学年人教版八年级数学下册

对于一般的三角形，它的三边之间有什么关系？三角之间有什么关系？ 为什么直角三角形的三边之间会有确定的数量关系？ SAS HL a b c 我们学习过哪些特殊三角形？它们的边角之间有什么关系？ a b c a c b 直角三角形三条边长存在确定的数量关系 ？ ？ 直角三角形的三边之间是否有关系？ 1 前面我们共同学习了三角形的有关内容。请同学们回忆一下对于一般三角形。。。，等腰三角形是两边相等的特殊三角形，它有许多特殊性质。。。三角形的边和角之间是存在相互依赖的这样一个关系的。研究特例是数学研究的一个方向，直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有哪些特殊的性质呢？ 如两个锐角互余，30度所对的直角边等于斜边的一半。那么它的边之间有什么特殊性质呢？两条边确定的直角三角形，形状和大小均能确定，第三条边确定，这就意味着直角三角形的两条边可以唯一地决定着第三条边，那么三边之间就不仅仅是两边之和大于第三边这样的不等关系，三边必然存在着严格的等量关系。 直角三角形三边之间这个确定的数量是什么？本节课我们就一起研究直角三角形三边之间的数量关系，即勾股定理。 （学生通过全等三角形的判定定理，分析出了直角三角形的三边之间的确存在确定的数量关系，进而为本节课找到了知识发生发展的逻辑主线，同时通过一系列提问，带学生回顾前一阶段三角形的研究，为学生提供如何理解图形、如何研究图形的一般方法。） 勾股定理的探索与证明 3 数量关系 怎么发现这个数量关系？ 度量计算 构造正方形 a c b a b c 在发现这个定理之前，你想象一下，如果你是科学家，你会经历哪些探索和尝试呢？ 或者如果你不知道这个结论，你会从那些角度进行探索和尝试呢？ Rt△ABC中， ∠C=90°. 4 勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，大家知道这个数量关系是什么吗？那么你有没有想过这个数量关系是怎么发现的呢？在发现这个定理之前，你想象一下，如果你是科学家，你会经历哪些探索和尝试呢？或者如果你不知道这个结论，你会从那些角度进行探索和尝试呢？ 学生：通过对大量的直角三角形进行边的度量和计算发现的；联想到正方形，通过构造三边为边长的正方形，进而计算正方形的面积来发现边的关系，基于已有经验，学生们就借助网格来发现直角三角形三边之间的关系。 活动一：发现勾股定理 在边长均为1的方网格中，作以格点为顶点的直角三角形，分别以三角形的各边为边长向外作正方形。 三个正方形的面积分别是多少？ 三个正方形的面积之间有怎样的关系？ 直角三角形的三边又有怎样的关系？ 6 通过上面的探究，大家在网格纸中构造的直角三角形三边之间都满足上述问题中的结论 无论是从“数”的角度还是“形”的角度，无论是哪种发现，都离不开有序的思考、合理的猜想和大量的验证，这也是我们学习过程中应该具有的品质. a b c 3 4 5 1 1 8 无论是从数的简单到复杂，还是从形的简单到复杂，或者说无论是从“数”的角度还是“形”的角度，都离不开有序的思考、合理的猜想和大量的验证，我想呢这个是我们学习过程当中应该具有的品质.那么这个结论对任意的直角三角形是否都成立呢？数学是一门很严谨的学科，我们需要对其进行更加严密的逻辑推理，来证明它的真实性。 （要向学生渗透面对一个新的几何对象“研究套路”的意识。在教学过程中，由研究特殊图形的基本套路出发，引导学生思考特殊直角三角形的三边关系，然后到一般直角三角形，归纳出直角三角形三边之间的关系） a b c a2+b2=c2 几何图形 数量关系 怎么证明这个数量关系？ ？ 面积 面积的不变性 对图形面积的不同算法 问题再现： a a b b (a+b)2 a2+2ab+ b2 = 10 怎么证明这个数量关系？直角三角形作为一个几何图形，而a2+b2=c2 作为一个数量关系，这种形和数之间是怎么建立联系的？前期关于整式乘法的学习经历中，我们通过构造几何图形，用等积法直观地推导出了乘法公式，例如：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，这一过程你能发现什么代数关系式?当然我们也可以从代数关系联想到图形构造。 对于勾股定理，我们也可以借助这种数形结合的思想方法，从直角三角形入手构造新图形，利用面积关系证明勾股定理。其中构造成什么图形、怎么构造以及证明的方法，对学生都有较高的要求，需要较强的直观想象和逻辑推理能力。我们就要从学生实际出发，基于学生已有的知识和经验，帮助学生克服难点，引导学生探索代数关系与图形面积建立联系的思路。 a b c a2+b2=c2 面积 a2+b2=c2 a2+b2 +2ab=c2 + 2ab (a +b)2=c2 + 2ab 边长为 a + b的正方形 边长为c的正方形 数 联想 形 构造成什么图形？ 怎么构造？ 证明的方法？ 12 对于勾股定理，我们也可以借助这种数形结合的思想方法，借助图形面积来证明，那么我们需要借助什么图形？这种图形怎么构造？ 我们可以从结论出发，根据已有的知识经验，对a2+b2=c2 的代数结构进行分析，平方联想到正方形，边长为c的正方形，学生联想到完全平方公式，构造初边长为a+b的大正方形，也可以构造出边长为b-a的小正方形。 a b c a2+b2=c2 面积 a2+b2=c2 a2+b2 -2ab=c2 - 2ab (b - a )2=c2 - 2ab 边长为 b - a的正方形 边长为c的正方形 数 联想 形 14 活动二：利用全等的直角三角形，探究证明勾股定理 a2+b2=c2 若干个全等的 直角三角形 摆拼 面积 a b c 正方形 拼成一个边长为a + b（或者边长为b-a）的正方形 用不同方式表示所拼成的正方形的面积 整理代数关系式 15 a b b c A B C D A B C D E F G H c a b a a2+b2=c2 形 数 通过构造几何图形,并利用不同方法去表示同一个几何图形的面积，来证明代数式之间的恒等关系。 16 一方面我们可以整体算。。。，另一方面我们可以用四个全等的直角三角形的面积和小正方形的面积，即。。。。整理。。。结论。。。 通过四个全等的直角三角形摆拼成新的图形，以摆拼前后图形面积的不变性作为依据，对图形面积的不同算法作为手段，抽象出代数关系式，让学生感悟图形面积与勾股定理的联系。 利用数形结合地思想方法，从代数关系联想几何图形，再利用图形关系解决代数问题。 这种由“形”探“数”的研究方法，将抽象的数学知识变得直观起来，是我们证明数学命题的重要而有效的方法。 赵爽（即赵君卿）是三国时期吴国的数学家，他在注释《周髀算经》时，用四个全等的直角三角形拼图，对勾股定理进行了详细证明。他是我国最早对勾股定理进行证明的数学家。 “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. A B C D E F G H c a b c c c a a a b b b 这就是赵爽弦图，又叫勾股圆方图！ 18 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽,….. 为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 我们感受到勾股定理的证明方法并非高不可攀，数学家们发现的我们也可以发现… a2+b2=c2 全等的 直角三角形 摆拼 面积 等腰直角 三角形 与平方有关的图形，除了正方形，你还能联想到哪些基本图形？ a b c 再探勾股定理 20 与平方有关的图形，除了正方形，你还能联想到哪些基本图形？斜边互相垂直，从而构造了与c2 有关的图形。 a b c a b c a b c a b c 22 使得斜边互相垂直，从而构造了与c方有关的等腰直角三角形，这种证明更加直观、简捷、易懂、明了。 以上方法的共同点是什么？ 直角三角形的直角在这里发挥了什么样的作用？ 24 比如说在这里边为什么你构造的图形里面是个小的正方形，那么直角在这里面发挥了什么样的作用等等。引导学生体会正方形或等腰三角形在解决问题当中所发挥的作用，无论是哪种方法直角三角形的直角又发挥了什么样的关键作用，没有这个直角那就没有一系列后续你所构造的这个特殊图形，进而让学生体会形的特征（三角形一个角是直角）与数量关系（a2+b2=c2）的紧密联系。到此呢相信学生进一步感受到勾股定理是如何把形的特征（三角形一个角是直角）转化成数量关系（a2+b2=c2），进一步体会这种由形探数的研究过程和一般方法。勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，面积法是其中一种方法，同学们课下可以继续来探索新的证法。 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. 勾股定理 a b c 勾股定理把形的特征（三角形一个角是直角）转化成数量关系（a2+b2=c2），把形和数紧密联系了起来。 26 例1.在Rt△ABC中， ∠B=90°. （3）若c=5, ∠A=30°,求a,b. （1）若a=1,c=2,求b. （2）若a：b=2：5 ，c=5,求a. 看清哪个角是直角，明确斜边。 已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解. 27 例2. 已知直角三角形的两边长分别是3和4，求第三边长. 4 3 A C B 4 3 C A B 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 28 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解. 例3.如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，求图2中大正方形的面积. a b c a2+b2=c2 正方形 形 数 归纳小结 形 a b c a b c a b c 31 $$