2.1.1 有理数的加法 暑假预习讲义 2024-2025学年人教版数学七年级上册

2.1.1 有理数的加法 1.有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． 2.用字母表示有理数加法法则： ①同号两数相加： 若a>0，b>0，则； 若a<0，b<0，则． ②异号两数相加： 若a>0，b<0，且时，则； 若a>0，b<0，且时，则； 若a>0，b<0，且时，则a+b=0． ③a+0=a． 考点1：有理数的加法 【典型例题1】（2025•鹤山市一模）计算（-2）+（-4），结果等于（ ） A．2 B．-2 C．-4 D．-6 【典型例题2】（2025•宁波一模）比-1大2的数为（ ） A．-3 B．0 C．1 D．2 【典型例题3】（2025•长沙模拟）下列算式中，运算结果为正数的是（ ） A．-4+3 B．-3+（-4） C．-|-1| D．-（-0.5） 【典型例题4】计算：8+（﹣1）﹣5﹣（）． 【练习1】（2025•河东区一模）计算-2+（-5）的结果等于（ ） A．-3 B．3 C．-7 D．7 【练习2】（2025•唐山一模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、-2、3、-4、5、-6、7、-8分别填入图7中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（ ） A．-7或4 B．-8或1 C．-1或-4 D．1或-1 【练习3】（2025春•西城区校级期中）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为 km. 【练习4】（2025春•芝罘区期中）小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是 【练习5】（2025•滨海新区校级模拟）已知|a|=3，|b|=2，|c|=1且a＜b＜c,求a+b+c的值为 【练习6】计算：（1）； （2）（﹣2.125）+（+3）+（+5）+（﹣3.2）； （3）． 考点2：加法与绝对值 【典型例题5】（2024秋•道县期末）若有理数a,b满足|a|=3，|b|=4，且a＞b,则a+b的值 为 【典型例题6】（2024秋•汕尾期末）若a=4，|b|=6，且b＜a,则a+b= 【练习7】（2024秋•双城区期末）若|a|=1，|b|=4，且a+b的值为负数，则a+b的值为 【练习8】（2024秋•市中区校级期末）如果|-5+□|=3，那么□表示的数是 考点3：幻方 【典型例题7】（2024秋•嘉定区期末）将-2、-1、0、1、2、3、4、5、6这9个数分别填入图中的9个空格里，使每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数的和都相等，其中x= 【典型例题8】（2024秋•河北区校级期末）如图，将-1，2，-3，-5分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则a、b所在位置的两个数字之和是 【练习9】（2024秋•成都期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将-6，8，-10，12，-14，16，-18，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个圈上4个数之和都相等，则a+b的值为 【练习10】（2024秋•新洲区期末）如图，在3×3的九个格子中填入9个数，当每行、每列及每条对角线的3个数之和相等时，我们把这张图称为三阶幻方．下面的这张三阶幻方中，填了两个数，则a所表示的数为 考点4：实际应用 【典型例题9】（2024秋•蓬莱区期末）小花猫从某点O出发在一直线上来回跑动，假定向右跑的路程记为正数，向左跑的路程记为负数，跑动的各段路程依次为（单位：米）：+4，-2，+10，-7，-6，+9，-10，+12． （1）问：小花猫最后在出发点的哪一边？离开出发点O相距多少米？ （2）在跑动过程中，如果每跑过10米奖励一条小鱼，则小花猫一共得到多少条小鱼？ 【典型例题10】（2024秋•礼县期末）为了庆祝中华人民共和国成立72周年，空军航空开放活动在其机场举行，某特技飞行队做特技表演时，其中一架J31型飞机起飞0.5km后的高度（上升记为正）变化为：+2.5km,-1.2km,+1.1km,-1.4km. （1） 求该飞机完成这四个表演动作后离地面的高度； （2） 已知飞机平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么这架飞机在做完这四个表演动作过程中，一共消耗了多少升燃油？ 【练习11】（2024秋•广东校级期中）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的道路检修，约定向东走为正方向．某天从A地出发到完工的记录为（单位：km）：+15，-2，+5，-1，+10，-3，-2，+12，+4，-5，+6，求： （1）问完工时检修小组在A地的哪个方向，距A地多远？ （2）若汽车每千米耗油3升，开工时储存180升汽油，完工后不需要回到A地，则到完工中途是否需要加油？若加油，最少加多少升？若不需要加油，到完工时还剩多少升汽油？ 【练习12】（2024秋•绥中县期中）红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜黄队，比分为4：2；黄队胜蓝队，比分为3：1；红队负蓝队，比分为2：5． （1）如果胜一场积3分，负一场积1分，求三个队的积分各是多少？ （2）当球队积分相同时，净胜球总数多的球队排名靠前．如果进球记为正，失球数记为负，净胜球数等于进球数与失球数的和．请通过计算各队的净胜球数，判断哪个球队获得第一名． 【练习13】（2024秋•开封期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）： （1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ （2）若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？ （3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费8元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 参考答案 考点1：有理数的加法 【典型例题1】（2025•鹤山市一模）计算（-2）+（-4），结果等于（ ） A．2 B．-2 C．-4 D．-6 【分析】根据有理数加法解答即可． 【解答】解：（-2）+（-4）=-6，故选：D． 【点评】此题考查有理数的加法，关键是根据有理数的加法法则解答． 【典型例题2】（2025•宁波一模）比-1大2的数为（ ） A．-3 B．0 C．1 D．2 【分析】根据题意得列出算式-1+2，然后根据有理数加法法则计算即可． 【解答】解：根据题意得-1+2=1，故选：C． 【点评】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【典型例题3】（2025•长沙模拟）下列算式中，运算结果为正数的是（ ） A．-4+3 B．-3+（-4） C．-|-1| D．-（-0.5） 【分析】先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断． 【解答】解：A．-4+3=-1＜0，是负数，不符合题意； B． -3+（-4）=-7＜0，是负数，不符合题意； C． -|-1|=-1＜0，是负数，不符合题意； D．-（-0.5）=0.5＞0，是正数，符合题意；故选：D． 【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 【典型例题4】计算：8+（﹣1）﹣5﹣（）． 【分析】此题主要考查了有理数的加减混合运算，解答此题的关键是要明确：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式． ②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．本题根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可． 【答案】2 【解析】8+（﹣1）﹣5﹣（） ＝（8﹣5）+[（﹣1）﹣（）] ＝3+（） ＝2． 【练习1】（2025•河东区一模）计算-2+（-5）的结果等于（ ） A．-3 B．3 C．-7 D．7 【分析】根据有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：原式=-7．故选：C． 【点评】本题考查有理数的加法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【练习2】（2025•唐山一模）嘉嘉设计了一个“幻方”游戏，现在将1、-2、3、-4、5、-6、7、-8分别填入图7中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（ ） A．-7或4 B．-8或1 C．-1或-4 D．1或-1 【分析】由于八个数的和是-4，所以需满足两个圈的和是-2，横、竖的和也是-2．列等式可得结论． 【解答】解：设小圈上的数为c,大圈上的数为d, ∵-1+-2+3-4+5-6+7-8=-4，且横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是-2，横、竖的和也是-2，则-4-6+b+7=-2， 得b=1， 由-6-2+b+c=-2，得c=5， 由a+c-2+d=-2，得a+d=-5， 当a=3时，d=-8，则a+b=3+1=4， 当a=-8时，d=3，则a+b=-8+1=-7， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是-2． 【练习3】（2025春•西城区校级期中）小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，图表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为 km. 【分析】根据题意得，只有第一天和第三天选择“高强度”，计算出此时的距离即可． 【解答】解：如果第二天和第三天选择低强度，则距离为 6+6=12（km），如果第三天选择高强度，则第二天休息，则距离为15km, ∵12＜15， ∴第二天休息，第三天选择高强度，如果第四天和第五天选择低强度，则距离为 5+4=9（km），如果第五天选择高强度，则第四天休息，则距离为8km, ∵9＞8， ∴第四天和第五天选择低强度，为保持最远距离，则第一天为高强度， ∴最远距离为 12+0+15+5+4=36（km）， 故答案为：36． 【点评】本题考查了有理数的加法应用，解题的关键是理解题意并掌握有理数的加法． 【练习4】（2025春•芝罘区期中）小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是 【分析】根据题意列出方程，再解方程即可解答． 【解答】解：设原两个正整数分别为x和y, 根据题意列方程：10x+y= 126，x+10y= 72． 解得x = 12，y = 6， 故两数之和为：12+6=18， 故答案为：18． 【点评】本题考查了有理数的加法，解题的关键是根据题意列出方程． 【练习5】（2025•滨海新区校级模拟）已知|a|=3，|b|=2，|c|=1且a＜b＜c,求a+b+c的值为 【分析】根据绝对值和a＜b＜c求得a、b、c的值，然后代入计算即可． 【解答】解：∵|a|=3，|b|=2，|c|=1， ∴a=±3，b=±2，c=±1， ∵a＜b＜c, ∴a=-3，b=-2，c=-1或1， ∴a+b+c=-3-2-1=-6或a+b+c=-3-2+1=-4， 故答案为：-6或-4． 【点评】本题主要考查了绝对值的应用和有理数的加减运算，运用绝对值和已知条件确定a、b、c的值是解答本题的关键． 【练习6】计算：（1）； （2）（﹣2.125）+（+3）+（+5）+（﹣3.2）； （3）． 【答案】（1）10；（2）3；（3）13． 【解析】（1）原式＝12.25 ＝14﹣4 ＝10． （2）原式＝[（﹣2.125）+（+5）]+[（+3）+（﹣3.2）] ＝3． （3）原式＝﹣15243 ＝（﹣1﹣5+24﹣3）+（） ＝15﹣2 ＝13． 考点2：加法与绝对值 【典型例题5】（2024秋•道县期末）若有理数a,b满足|a|=3，|b|=4，且a＞b,则a+b的值 为 【分析】根据绝对值的定义易得a=±3，b=±4，再根据a＞b确定a,b的值，然后将它们相加并计算即可． 【解答】解：∵有理数a,b满足|a|=3，|b|=4， ∴a=±3，b=±4， ∵a＞b, ∴a=±3，b=-4， 则a+b=3-4=-1或-3-4=-7， 故答案为：-1或-7． 【点评】本题考查有理数的加法及绝对值，结合已知条件求得a,b的值是解题的关键． 【典型例题6】（2024秋•汕尾期末）若a=4，|b|=6，且b＜a,则a+b= 【分析】先根据绝对值的性质和已知条件求出b,再把a,b的值代入a+b进行计算即可． 【解答】解：∵|b|=6， ∴b=±6， ∵b＜a, ∴b=-6， ∴a+b=4+（-6）=-2， 故答案为：-2． 【点评】本题主要考查了有理数的加法和绝对值，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则和绝对值的性质． 【练习7】（2024秋•双城区期末）若|a|=1，|b|=4，且a+b的值为负数，则a+b的值为 【分析】先根据绝对值的意义，以及a+b的值为负数，求出a,b的值，进而求出代数式的值即可． 【解答】解：∵|a|=1，|b|=4， ∴a=±1，b=±4， ∵a+b的值为负数， ∴a=±1，b=-4， ∴a+b=1-4=-3或a+b=-1-4=-5； 故答案为：-3或-5． 【点评】本题考查有理数的加法和绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键． 【练习8】（2024秋•市中区校级期末）如果|-5+□|=3，那么□表示的数是 【分析】根据绝对值的性质和有理数的加法法则进行解题即可． 【解答】解：∵|-5+□|=3， ∴-5+□=3或-3， ∴□=8或2． 故答案为：8或2． 【点评】本题考查有理数的加法、绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 考点3：幻方 【典型例题7】（2024秋•嘉定区期末）将-2、-1、0、1、2、3、4、5、6这9个数分别填入图中的9个空格里，使每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数的和都相等，其中x= 【分析】根据有理数的加法计算后即可求得答案． 【解答】解：由题意可得，最中间的数为2， 则5+0+1=-2+2+6=3+4-1=5-2+3=0+2+4=1+6-1=1+2+3=5+2-1， 那么第一行的数分别为5，0，1， 第二行的数分别为-2，2，6， 第三行的数分别为3，4，-1， 则x=-1， 故答案为：-1． 【点评】本题考查有理数的加法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【典型例题8】（2024秋•河北区校级期末）如图，将-1，2，-3，-5分别填入没有数字的圈内，使横、竖以及内、外两圈上的4个数字之和都相等，则a、b所在位置的两个数字之和是 【分析】画出符合题意的图，再进行计算． 【解答】解：a=-3，b=2，∴a+b=-1； a=-3，b=-1， ∴a+b=-4； ∴a+b=-1或-4，故答案为：-1或-4． 【点评】本题考查了有理数的加法，正确分类讨论是解题的关键． 【练习9】（2024秋•成都期末）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将-6，8，-10，12，-14，16，-18，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个圈上4个数之和都相等，则a+b的值为 【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定b=-6或b=8，从而求出d的值，即可求解． 【解答】解：如图， ∵-6+8-10+12-14+16-18+20=8， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ∴-14+12+16+a=4， ∴a=-10， ∵12+8+a+c=4，b+16-14+d=4， ∴c=-6，b+d=2， ∴b=-18或b=20， 当b=-18时，d=20，此时a+b=-10-18=-28， 当b=20时，d=-18，此时a+b=-10+20=10． ∴a+b的值为-28或10． 故答案为：-28或10． 【练习10】（2024秋•新洲区期末）如图，在3×3的九个格子中填入9个数，当每行、每列及每条对角线的3个数之和相等时，我们把这张图称为三阶幻方．下面的这张三阶幻方中，填了两个数，则a所表示的数为 【分析】设空格中相应位置的数为m,n,p,q,根据“每行、每列及每条对角线的3个数之和相等”解答即可． 【解答】解：空格中相应位置的数为m,n,p,q, 由题意得：m+n+a=a+p+q=m+6+p=n+q+0，∴m+n+a+a+p+q=m+6+p+n+q+0，即2a=6，解得：a=3． 故答案为：3． 【点评】此题考查了有理数的加法，抓住每行、每列、每对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解本题的关键． 考点4：实际应用 【典型例题9】（2024秋•蓬莱区期末）小花猫从某点O出发在一直线上来回跑动，假定向右跑的路程记为正数，向左跑的路程记为负数，跑动的各段路程依次为（单位：米）：+4，-2，+10，-7，-6，+9，-10，+12． （1）问：小花猫最后在出发点的哪一边？离开出发点O相距多少米？ （2）在跑动过程中，如果每跑过10米奖励一条小鱼，则小花猫一共得到多少条小鱼？ 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【解答】解：（1）由题意得：向右跑的路程记为“+”，向左跑的路程记为“-”，则小猫离O点的距离为：（+4）+（-2）+（+10）+（-7）+（-6）+（+9）+（-10）+（+12）=+10（米）， 答：小花猫最后在出发点的右边；离开出发点O相距10米． （2）小猫一共跑动的距离为：|+4|+|-2|+|+10|+|-7|+|-6|+|+9|+|-10|+|+12|=60（米）， 60÷10=6（条）； 答：小花猫一共得到6条小鱼． 【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【典型例题10】（2024秋•礼县期末）为了庆祝中华人民共和国成立72周年，空军航空开放活动在其机场举行，某特技飞行队做特技表演时，其中一架J31型飞机起飞0.5km后的高度（上升记为正）变化为：+2.5km,-1.2km,+1.1km,-1.4km. （3） 求该飞机完成这四个表演动作后离地面的高度； （4） 已知飞机平均上升1km需消耗5L燃油，平均下降1km需消耗3L燃油，那么这架飞机在做完这四个表演动作过程中，一共消耗了多少升燃油？ 【分析】（1）利用有理数的加法计算再判断离地面的高度；（2）分别求出上升的总高度，下降的总高度，再计算油耗量． 【解答】解：（1）0.5+2.5-1.2+1.1-1.4=1.5（千米）； 答：飞机完成这四个表演动作后离地面的高度1.5km； （2）（2.5+1.1）×5+（1.2+1.4）×3=3.6×5+2.6×3=18+7.8=25.8（升）， 答：一共消耗了25.8升燃油． 【点评】本题考查了有理数的加法，正数负数的意义，解题的关键是掌握有理数的加法，正数负数的意义． 【练习11】（2024秋•广东校级期中）某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的道路检修，约定向东走为正方向．某天从A地出发到完工的记录为（单位：km）：+15，-2，+5，-1，+10，-3，-2，+12，+4，-5，+6，求： （1）问完工时检修小组在A地的哪个方向，距A地多远？ （2）若汽车每千米耗油3升，开工时储存180升汽油，完工后不需要回到A地，则到完工中途是否需要加油？若加油，最少加多少升？若不需要加油，到完工时还剩多少升汽油？ 【分析】（1）利用正数和负数的意义解答；（2）利用有理数的加法解答． 【解答】解：（1）15-2+5-1+10-3-2+12+4-5+6=39（km）， ∴完工时检修小组在A地的东边，距A地39km； （2）|+15|+|-2|+|+5|+|-1|+|+10|+|-3|+|-2|+|+12|+|+4|+|-5|+|+6|=65km, 65×3=195（升）． 195-180=15升． 答：到完工中途需要加油，最少需要加15升． 【点评】本题考查了有理数的加法，正数和负数，解题的关键是掌握有理数的加法法则，正数和负数的意义． 【练习12】（2024秋•绥中县期中）红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜黄队，比分为4：2；黄队胜蓝队，比分为3：1；红队负蓝队，比分为2：5． （1）如果胜一场积3分，负一场积1分，求三个队的积分各是多少？ （2）当球队积分相同时，净胜球总数多的球队排名靠前．如果进球记为正，失球数记为负，净胜球数等于进球数与失球数的和．请通过计算各队的净胜球数，判断哪个球队获得第一名． 【分析】（1）根据题意，得出三个队各自胜的场次，即可解答；（2）根据题目所给净胜球数的定义，即可解答． 【解答】解：（1）根据题意可知， 红队得分：3+1=4分， 黄队得分：3+1=4分， 蓝队得分：3+1=4分， 所以三个队各得4分； （2）红队进球6个，失球7个，净胜球数=6+（-7）=-1， 黄队进球5个，失球5个，净胜球数=5+（-5）=0， 蓝队进球6个，失球5个，净胜球数=6+（-5）=1， 因为1＞0＞-1， 所以蓝队获得第一名． 【点评】本题考查了有理数的加法，正数和负数，掌握有理数的加法的杨女士法则是关键． 【练习13】（2024秋•开封期中）某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）： （1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ （2）若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？ （3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费8元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【分析】（1）根据有理数加法即可求出答案．（2）根据题意列出算式即可求出答案．（3）根据题意列出算式即可求出答案． 【解答】解：（1）5+2+（-4）+（-3）+6=6（km）， 答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的南边6千米处． （2）（5+2+|-4|+|-3|+6）×0.3=20×0.3=6（升）， 答：在这个过程中共耗油6升． （3）[8+（5-3）×1.8]+8+[8+（4-3）×1.8]+8+[8+（6-3）×1.8]=50.8（元）， 答：在这个过程中该驾驶员共收到车费50.8元． 【点评】本题考查正负数的意义，解题的关键是熟练运用正负数的意义，本题属于基础题型． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$