12 反比例函数与一次函数、几何图形的综合课件2025年中考数学专题复习精讲（河南）

第三章 函数 反比例函数与一次函数、几何图形的综合 1 命题角度1 反比例函数与一次函数的综合 例1 一题多问 如图，已知一次函数与反比例函数 的图象 交于点，，直线与轴、轴分别交于点， . （1） 的值为____. （2）直线 的表达式为____________. 12 2 （3）当时, 的取值范围为___________________. （4）连接，，则 ___. （5）线段,, 的大小关系为_______________. （6）若点为轴上一点，连接，当与相似时，点 的坐标 为______________. 或 9 或 3 （7）点在第四象限，且，，请利用尺规作出点 （不写作法，保留作图痕迹），并求点 的坐标. [答案] 作图如图（1）所示： 图（1） 4 图（2） 如图（2），分别过点，作 轴的垂线， 垂足分别为点， ，易证 ， ， ， ， . 5 （8）请利用无刻度的直尺作一条直线，使 （保留作图痕迹，不写作 法），并加以证明. [答案] 作图如图（3）所示. 图（3） 6 作法提示：连接并延长，交反比例函数的图象于点，连接 并延长， 交反比例函数的图象于点，作直线，则直线即为所求作的直线 . 证明：连接， ， 正比例函数的图象、反比例函数的图象均是关于点 的中心对称图形， ， ， 四边形 是平行四边形， ，即直线为所求作的直线 . 7 （9）以为对角线的矩形的顶点在轴上，求点 的坐标. [答案] 设矩形的中心为 . ， ， ， . 连接，则， . 设，则 ， ，解得 . 故点的坐标为或 . 8 解反比例函数与一次函数综合题的一般方法 对于反比例函数与一次函数综合题，一般的设问有：求函数表达式、求不等 式的解集、比较函数值的大小、求与图形面积相关的问题等，解决这些问题 的一般方法如下. 1.求函数表达式时，一般根据一个已知交点的坐标求得反比例函数的表达式， 再由反比例函数的表达式求得另一个交点的坐标，最后将这两个交点的坐标 分别代入一次函数的表达式中求解即可. 9 2.求不等式的解集，实质是已知两函数值的大小，判断自变量的取值范围， 只需以交点为界限，观察交点左、右两侧的两函数图象上、下的位置关系， 从而得出自变量的取值范围. 3.比较函数值的大小，实质是根据自变量的取值范围确定两函数图象上、下 的位置关系. 4.求与图形面积相关的问题时，需注意以下几点： （1）要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长； （2）对于不能直接求解的图形的面积，往往将其分割为能直接求解的图形 的面积进行求解； （3）要注意 的几何意义的应用. 10 提分特训 1.[2024商丘一模] 如图，在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过, 两点. 11 （1）求反比例函数的表达式. [答案] 反比例函数的图象经过， 两点， ，解得 ， ， ， ， 反比例函数的表达式为 . 12 （2）直线分别交轴、轴于, 两点. ①请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线,交直线于点 ; （要求:不写作法，保留作图痕迹） [答案] 如图所示. 13 ②求出点 的坐标. [答案] 设直线的表达式为，将， 分别代入， 得解得 故直线的表达式为 ． 易知的平分线所在直线的表达式为 ， 联立直线，的表达式，得 14 解得 点的坐标为， ． 命题角度2 反比例函数与几何图形的综合 例2 [2024河师大附中三模] 如图，反比例函数 的图 象经过点,连接并延长，交双曲线于点,以 为 对角线作正方形,点在第四象限，过点,, 作弧. （1）求反比例函数的表达式； [答案] 把代入中，得 ， 反比例函数的表达式是 . 16 （2）求 所在圆的半径； [答案] 如图，连接 , ， . 四边形是正方形，结合双曲线的性质可知 ， 是所在圆的直径，， , 所在圆的半径为 . 17 （3）直接写出图中阴影部分的面积. [答案] . [解析] 解法提示：如图，设为的中点，则点为 所在圆的圆心，连接 ， 则 . 设与轴交于点 . 正方形是关于点 的中心对称图形， 与关于点 成中心对称， . 18 【思路分析】 （1）利用待定系数法求解即可. （2）连接，根据正方形的性质，可知 ，从而可知 是过 ，， 三点的弧所在圆的直径，据此求解即可. （3）根据正方形的性质，将阴影部分进行转化、合并，再进行分割，利用 “分割求和法”计算. 【自主解答】 19 提分特训 2.[2023宜宾中考] 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的 直角顶点，顶点，恰好落在反比例函数 第一象限的图象 上. （1）分别求反比例函数的表达式和直线 所对应的一次函数的表达式. 20 图（1） [答案] 如图（1），过点作轴于点，过点 作 轴于点，则 . 在等腰直角三角形中， ， ， ， . 又 ， ， ， . ， ， ， ， ， ，而 ， 21 ，解得 ， 即，， ， 反比例函数的表达式为 . 设直线的表达式为 ， 将，分别代入，得 解得 直线所对应的一次函数的表达式为 . （2）在轴上是否存在一点，使 周长的值最小？若存在，求出最小 值；若不存在，请说明理由. 图（2） [答案] 存在点使 的周长最小. 如图（2），作关于轴的对称点 ，连接 交轴于点，连接，由对称性可知 ， . 故此时 的值最小. 易得， ， 故此时 的值也最小. 周长的最小值为 . 23 一图串考法 24 考法1 反比例函数与一次函数的综合（8年1考） 1.[2017河南，20] 如图，一次函数与反比例函数 的 图象交于点和 . （1）填空：一次函数的表达式为____________，反比例函数的表达式为 ______； 25 （2）点是线段上一点，过点作轴于点，连接，若 的面积为，求 的取值范围. [答案] 点在 的图象上， ,， . 点在线段 上， 设点，则 ， . ，且， 当时， ； 当或3时， . 的取值范围是 . 26 此考法更多练习见《题型帮》P33题型十类型1 27 考法2 反比例函数与几何图形的综合（8年3考） 2.[2024河南,18] 如图,矩形 的四个顶点都在 格点（网格线的交点）上,对角线, 相交于点 ,反比例函数的图象经过点 . （1）求这个反比例函数的表达式; [答案] 反比例函数的图象经过点,, , 这个反比例函数的表达式为 . 28 （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点 的三个格点,再画出反比例 函数的图象; [答案] 作图如图所示. 29 （3）将矩形向左平移,当点 落在这个反比例函数的图象上时,平移的 距离为__. 30 3.[2023河南,19] 小军借助反比例函数图象设计 “鱼形”图案.如图，在平面直角坐标系中，以反比 例函数图象上的点和点 为顶点，分 别作菱形和菱形，点，在 轴上， 以点为圆心，长为半径作，连接 ． （1）求 的值； [答案] 点在反比例函数的图象上, . 31 （2）求扇形 的半径及圆心角的度数； [答案] 如图,连接交于点 . 32 四边形 为菱形, , . 点的坐标为,, , , , , . 综上,扇形的半径为2,圆心角的度数为 . 33 （3）请直接写出图中阴影部分的面积之和． [答案] . [解析] 解法提示：设，交于点 ， 四边形是菱形，， , . 又 ， . 34 4.[2022河南,18] 如图,反比例函数 的图象经 过点和点,点在点的下方,平分,交 轴 于点 . （1）求反比例函数的表达式. [答案] 反比例函数的图象经过点 , , 反比例函数的表达式为 . 35 （2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线.（要求:不写作法, 保留作图痕迹,使用 铅笔作图） [答案] 如图. 36 （3）线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点,连接.求证: . 证明：平分, . 的垂直平分线交于点 , , , , . 37 $$