5.3.1 函数的单调性 学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

 

 5.3.1　函数的单调性(1)

1. 结合实例，借助几何直观掌握函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性及单调区间.

2.  通过初等方法与导数方法在研究函数单调性的比较，体会导数方法在研究函数单调性的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律．

活动一  掌握导数与函数单调性的关系

思考1►►►

如图1是某跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11的图象，如图2是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋2.8的图象．a＝，b是函数h(t)的零点．

     

图1                图2

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？

 

 

 

 

 

思考2►►►

观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系．

           

(1)              (2)            (3)           (4)

 

 

一般地，函数f(x)的单调性与导函数 f′(x) 的正负之间具有如下的关系：

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．

思考3►►►

(1) 试结合y＝x3进行思考：如果函数f(x)在某区间上单调递增，那么在该区间上必有f′(x)>0吗？

 

 

 

 

 

(2) 如果在某个区间上恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？

 

 

 

 

 

 

f′(x)>0(f′（x)<0）是y＝f(x)在某个区间上单调递增（减）的充分不必要条件．

活动二  掌握利用导数研究函数的单调性及单调区间

例1　利用导数判断下列函数的单调性：

(1) f(x)＝x3＋3x；

(2) f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)；

(3) f(x)＝.

 

 

 

例2　求下列函数的单调区间：

(1) f(x)＝3x2－2ln x；

(2) f(x)＝x2·e－x；

(3) f(x)＝x＋.

 

用导数求函数单调区间的一般步骤：

(1) 求定义域；(2) 求f′(x)；(3) 解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(4) 确定单调区间．

例3　已知导函数f′(x)的下列信息：

当1<x<4时，f′(x)>0；

当x<1或x>4时，f′(x)<0；

当x＝1或x＝4时，f′(x)＝0.

试画出函数f(x)图象的大致形状．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. （2023阜新期末）设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是(　　)

　　　     

A          B           C           D

2. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是(　　)

A. (－∞，2)    B. (0，3)    C. (1，4)    D. (2，＋∞)

3. （多选）（2024十堰月考）下列函数中，在区间(1，＋∞)上单调递增的是(　　)