5.2.2 导数的四则运算法则 学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5．2.2　导数的四则运算法则

1. 理解导数的四则运算法则，能利用导数公式表中的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数．

2. 体会建立数学理论的过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步提升思维能力.

活动一  掌握基本初等函数的导数公式

(1) C′＝　　　　（C为常数）；

(2) (xα)′＝　　　　（α为非零常数）；

(3) (ax)′＝　　　　（a>0，且a≠1）；

(4) (logax)′＝　　　　＝　　　　（a>0，且a≠1）；

(5) (ex)′＝　　　　；

(6) (ln x)′＝　　　　；

(7) (sin x)′＝　　　　；

(8) (cos x)′＝　　　　．

活动二  探究函数的四则运算的导数法则

探究1　设f(x)＝x2，g(x)＝x.计算[f(x)＋g(x)]′与[f(x)－g(x)]′，它们与f′(x)和g′(x)有什么关系？

 

 

 

 

结论1　[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x).

例1　求下列函数的导数：

(1) y＝x3－x＋3；

(2) y＝2x＋cos x.

 

 

 

 

探究2　设f(x)＝x2，g(x)＝x，计算[f(x)g(x)]′与f′(x)g′(x)，它们是否相等？f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢？

 

结论2　[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；′＝(g（x)≠0）.

函数的四则运算的导数法则：

(1) [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2) [Cf(x)]′＝Cf′(x)（C为常数）；

(3) [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(4) ′＝(g（x)≠0）.

例2　求下列函数的导数：

(1) y＝x3ex；

(2) y＝.

 

 

 

 

 

 

 

 

活动三  掌握导数的四则运算法则的简单应用

例3　日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为c(x)＝(80<x<100).求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：

(1) 90%；

(2) 98%.