5.1.2 导数的概念及其几何意义 学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5．1.2　导数的概念及其几何意义(1)

1. 了解平均变化率和瞬时变化率的意义．

2. 理解f′(x0)的含义，并能简单的应用．

3. 利用f′(x0)，解决简单的实际问题．

活动一  导数的概念

物理中，从平均速度到瞬时速度；在几何中，从割线的斜率到切线的斜率．都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法．

思考►►►

对于函数y＝f(x)，自变量由x0→x0＋Δx，函数值有怎样的变化？

 

 

平均变化率：＝.

瞬时变化率：如果当Δx→0时，无限趋近于一个确定的值，这个值就称为瞬时变化率．

导数的定义：若Δx→0，无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .

活动二　求函数在x＝x0处的导数　

例1　设f(x)＝，求f′(1).

 

 

 

 

 

 

要求f′(x0)的值，先求，再求它的极限．

求y＝x2＋＋5在x＝2处的导数．

 

 

 

 

 

 

 

 

活动三　导数的实际应用　

例2　将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．已知在第xh时，原油的温度（单位：℃）为y＝f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8).计算第2h与第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

 

 

 

 

 

 

 

实际中的瞬时变化率就是导数，若值是负的，说明是下降（或减少），若值是正的，说明是上升（或增加）.

例3　一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度（单位：m/s）为y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义．

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 若f(x)在x＝x0处可导，则 (　　)

A. 与x0，Δx有关              B. 仅与x0有关，而与Δx无关

C. 仅与Δx有关，而与x0无关    D. 与x0，Δx均无关

2. （2023渭南期中）若函数y＝f(x)在x＝2处的瞬时变化率为 ，且＝＝4＋Δx，则f′(2)的值为(　　)

A. 2    B. 4    C. 2＋Δx    D. 4＋Δx

3. （多选）已知函数y＝f(x)，则下列说法中正确的是(　　)

A. Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量

B. ＝叫做函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率

C. f(x)在x＝x0处的导数记为y′

D. f(x)在x＝x0处的导数记为f′(x0)

4. （2023湖北期末）2022年2月，第24届冬季奥林匹克运动会在北京隆重举行，中国代表团获得了9金4银2铜的优异成绩，彰显了我国体育强国的底蕴和综合国力．设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程l（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为l(t)＝2t2＋t，则当t＝3 s时，该运动员的滑雪瞬时速度为　　　　m/s.

5. 求函数y＝在x＝0处的导数．