4.3.1等比数列的概念学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1　等比数列的概念(1)

1. 通过生活中的实例，理解等比数列的概念．

2. 了解等比中项的概念．

3. 探索并掌握等比数列的通项公式，了解等比数列与指数函数的关系．

活动一  理解等比数列的概念

类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列值得研究？

1. 请看下面几个问题中的数列：

(1) 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：

9，92，93，…，910；①

100，1002，1003，…，10010；②

5，52，53，…，510. ③

(2) 《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是

，，，，，….④

(3) 在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是

2，4，8，16，32，64，….⑤

(4) 某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是

a(1＋r)，a(1＋r)2，a(1＋r)3，a(1＋r)4，a(1＋r)5.⑥

思考1►►►

与等差数列类比，上述数列有什么共同的特点？

 

 

2. 类比等差数列的定义给出等比数列的定义，并写出其递推关系式．

 

例1　判断下列数列是否为等比数列：

(1) 1，1，1，1，1；

(2) 0，1，2，4，8；

(3) 1，－，，－，.

 

 

等比数列的判定：

要判断一个数列是否为等比数列，只需判断对任意正整数n，是不是一个不为0的常数．

思考2►►►

若数列{an}为等比数列，则数列{a}为等比数列吗？数列{a2n－1}为等比数列吗？数列{2an}为等比数列吗？数列{an＋an＋1}为等比数列吗？

 

 

 

活动二  了解等比中项的概念

例2　求下列等比数列中的未知项：

(1) a，2，8，其中a＝　　　　；

(2) 2，m，8，其中m＝　　　　；

(3) －4，b，c，，其中b＝　　　　，c＝　　　　．　

等比中项的定义：

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.

注意：(1) 两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；(2) 符号相反的两个实数不存在等比中项．

（2024重庆模拟）设n∈N*且n≥2，命题甲：数列{an}为等比数列；命题乙：an＝，则命题甲是命题乙的(　　)

A. 充分不必要条件　B. 必要不充分条件　

C. 充要条件　      D. 既不充分也不必要条件