15 二次函数的实际应用 课件 2025年中考数学专题复习精讲（河南）

第三章 函数 二次函数的实际应用 1 命题角度1 物体运动高度或距离与时间的关系问题 例1 小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔 发射一枚花弹，每枚花弹的飞 行路径均相同，且飞行相同时间后发生爆炸.小杰发射出的第一枚花弹的飞行 高度随飞行时间 变化的规律如下表： 飞行时间 0 0.5 1 4.5 … 飞行高度 2 9.5 16 33.5 … 2 （1）求第一枚花弹的飞行高度与飞行时间 的函数关系式（不要求写出自 变量的取值范围）. [答案] 依题意,设第一枚花弹飞行高度与飞行时间 的函数关系式为 , 将,分别代入 , 得解得 所求的函数关系式为 . 3 （2）当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度. [答案] , 当时, 取最大值. 此时,第一枚花弹到达最高点,第二枚花弹飞行时间为 . 两枚花弹的飞行路径相同, 将代入得, . 当第一枚花弹到达最高点时,第二枚花弹到达的高度为 . 4 （3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于 ．小杰发现在第一枚花 弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否 符合安全要求． [答案] 由题意知,第二枚花弹飞行高度与第一枚花弹飞行时间 的函数关系 式为 . 根据得, , 解得,此时 , 花弹的爆炸高度符合安全要求. 5 【思路分析】 （1）利用待定系数法求解即可. （2）先求第一枚花弹到达最高点时的时间，再求此时第二枚花弹的飞行时 间，代入函数关系式，即可得解. （3）先求第二枚花弹飞行高度与第一枚花弹飞行时间 的函数关系式，根 据，求得第一枚花弹爆炸时的时间，进而可得 的值，与30作比较即可. 【自主解答】 6 提分特训 1.某科研单位为保障某种型号的无人机能安全投产，随机选择一架该种型号 的无人机进行测试，测试该无人机在跑道上着陆后滑行的情况，收集到的数 据如下表. 滑行时间 0 1 2 3 4 … 滑行速度 30 28 26 24 22 … 滑行距离 0 29 56 81 104 … 已知该无人机在跑道上着陆后的滑行速度与滑行时间 之间满足一次函数关 系，滑行距离与滑行时间 之间满足二次函数关系. 7 （1）求与的函数关系式和与 的函数关系式. [答案] 设,将，分别代入，得 解得 . 由题可知，当时，, 可设 , 将，分别代入，得 解得 . 8 （2）求该无人机在跑道上着陆后滑行 时,无人机的滑行速度. [答案] 对于,当时，, 无人机滑行 后停止. 对于，当时，，解得 , （不合题意，舍去）. 当时，， 无人机的滑行速度为 . （3）求该无人机着陆后，以不大于 的速度滑行的距离. [答案] 对于，，随 的增大而减小. 令，解得 . 当时,,当时, . , 该无人机着陆后，以不大于的速度滑行了 . 9 命题角度2 抛物线形实际应用 例2 如图，排球运动员站在点 处练习发球， 将球从点正上方的 处发出，把球看成点， 其运行的高度与运行的水平距离 满 足关系式.已知球网与 点的 水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为 . 10 （1）当 时. ①求与的关系式（不要求写出自变量 的取值范围）. [答案] 当时， . 将代入，得，解得 . 故 . ②球____越过球网.（填“能”或“不能”） 能 ③球会不会出界？请说明理由. [答案] 会.令，得 ,故球会出界. 11 （2）若球一定能越过球网，又不出边界，求 的取值范围. [答案] 由图象经过点，得 ，① 由球能越过球网，得 ，② 由球不出边界，得 .③ 联立①②③，解得 , 所以的取值范围是 . 12 解决抛物线形实际应用问题的一般方法 在解答抛物线形问题时，灵活应用函数的表达式是关键. 若没有抛物线的函数表达式，则一般要先正确建立平面直角坐标系，将题中 的特殊位置转化为相应点的坐标，往往最高（低）点为抛物线的顶点. 若已知抛物线的函数表达式，要利用函数表达式来解决水位高度是否过警戒 线、车能否安全通过涵洞、球能否过网等实际问题时，则要根据目标位置的 横坐标来确定纵坐标或根据纵坐标来确定横坐标并与实物进行对比解决问题. 13 提分特训 2.[2024安阳一模] 某公园内有一个喷泉从垂直于 地面的立柱的端点 处喷出一个水柱，其形状 呈抛物线形.建立如图所示的平面直角坐标系， 所在的直线是 轴，地面上有一个底面为正方形的 无盖长方体水池（厚度忽略不计），其底面边长 是1米，高为米,点， 是其底面一组对边的中点， 矩形是其经过点，的一个竖直的截面，点,,都在 轴上.已知 米,米，抛物线形水柱在距离轴2米处到达离地面米的最高点 . 14 （1）求抛物线的表达式. [答案] 由题意得，抛物线的顶点坐标是, 设抛物线的表达式为 . 把代入，得，解得 , 抛物线的表达式为 . 15 （2）该抛物线形水柱是否会把水喷到水池内?请通过计算进行说明. [答案] 当时，,解得或 （舍）. ，， , 点到轴的距离是米，点到轴的距离是 米. ， 该抛物线形水柱会把水喷到水池内． （注：也可以把和分别代入，得 和 ，由于,， 会把水喷到水池内） 16 命题角度3 利用二次函数解决利润问题 例3 某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的 进价为6.2万元/，加工过程中原料的质量有 的损耗， 加工费（万元）与原料的质量 之间的关系为 ，销售价万元/与原料的质量 之间 的关系如图所示． （1）求与 之间的函数关系式. [答案] 设与之间的函数关系式为，将， 分 别代入，得解得与 之间的函数关系式为 . 17 （2）设销售收入为（万元），求与 之间的函数关系式. [答案] . （3）原料的质量 为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万 元？（销售利润 销售收入-总支出） [答案] 设销售总利润为 （万元），则 ， ， 当时， 取最大值，最大值为65.2. 答：原料的质量为 时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元． 18 【思路点拨】 （1）利用待定系数法求解即可. （2）根据“加工过程中原料的质量有的损耗”和“销售收入 销售价×销 量”即可求得与 之间的函数关系式. （3）设销售总利润为（万元），根据“销售利润 销售收入-原料成本-加 工费”，列出与 之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可. 【自主解答】 19 利用二次函数的性质求最大利润的一般思路 1.根据等量关系列出二次函数表达式，并根据自变量的实际意义，确定自变 量的取值范围. 2.将二次函数表达式化为顶点式，在自变量的取值范围内，利用二次函数的 性质求最值，求解时应注意： （1）若顶点的横坐标在自变量的取值范围内，则一般在顶点处取得最值 （注意结合函数图象及题意具体情况具体分析）； 20 （2）若顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，则需结合二次函数的图象， 利用二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最值. 注意：在售价变化引起销量变化的问题中，要弄清楚自变量 代表的是售价 还是上涨（下降）的量. . . 21 提分特训 3.[2024遂宁中考] 某酒店有A,B两种客房，其中A种客房24间，B种客房20 间.若全部入住，一天营业额为7 200元；若A,B两种客房均有10间入住，一 天营业额为3 200元. （1）求：A,B两种客房每间定价分别是多少元？ [答案] 设A种客房每间定价为元，B种客房每间定价为 元， 由题意可得 解得 答：A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为120元. 22 （2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每 个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲.当A种客房每间定价为多少元 时，A种客房一天的营业额 最大，最大营业额为多少元？ [答案] 设A种客房每间定价为 元， 则 . ， 当时，取最大值， . 答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额 最大，最大营 业额为4 840元． 23 命题角度4 利用二次函数解决几何面积问题 例4 小明想用 打印完成一个作品，作品正面为边长为4米的正方形，设计 图案如图所示（正方形 中，外侧四个空白矩形用材料甲打印，四个阴 影矩形用材料乙打印，中心区是小正方形 ，用材料丙打印）.在打印厚 度确定后，三种材料的价格如下表： 材料 甲 乙 丙 价格/元/米 60 30 40 24 设小正方形的边长为米，打印材料的总费用为 元. （1）请直接用含 的式子分别写出甲、乙、丙三种材料的打印面积. [答案] 甲材料打印的面积为米，丙材料打印的面积为米 ，乙材 料打印的面积为米 . 25 （2）求关于 的函数解析式. [答案] 由题意得 ， 关于的函数解析式为 . （3）当 时，求打印材料总费用的最小值． [答案] . ， 当时，随 的增大而减小. ， 当时， 有最小值，最小值为640， 当 时，打印材料总费用的最小值为640元． 26 【思路分析】 （1）先算甲、丙材料的打印面积，再算乙材料的打印面积. （2）等量关系：总费用甲材料的面积×甲的价格 乙材料的面积×乙的价 格 丙材料的面积×丙的价格. （3）利用二次函数的图象与性质求最值即可. 【自主解答】 27 提分特训 4.[2024武汉模拟] 问题背景 为美化校园，某 学校计划在如图所示的正方形花坛 内种 植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三 角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形 内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内 种植黄色花卉．的长为， ．红、 蓝、黄三种花卉的价格分别为40元/ ，100元/ ，60元/ ． 建立模型 设的长为，购买花卉的总费用为 元． 28 （1）用含 的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积. [答案] 红色花卉的种植面积:,蓝色花卉的种植面积: , 黄色花卉的种植面积: . （2）求与 之间的函数解析式. [答案] . 29 方案决策 （3）当购买花卉的总费用最少时，求 的长． [答案] . 抛物线 的开口向上, 当时, 有最小值. 此时,, . 设,则 . 在中,根据勾股定理得 . 解得 （负舍）. 答:当购买花卉的总费用最少时,的长为 . 30 一图串考法 31 考法 二次函数的实际应用（8年4考） 1.[2024河南,22] 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 满足关系式 ,其中是物体运动的时间, 是物体被发射时的速度. 社团活动时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球. （1）小球被发射后___时离地面的高度最大（用含 的式子表示）. （2）若小球离地面的最大高度为 ,求小球被发射时的速度. [答案] 根据题意,得当时， , , ，即小球被发射时的速度为 . 32 （3）按（2）中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相 同.小明说:“这两次间隔的时间为.”已知实验楼高 ,请判断他的说法是否 正确,并说明理由. [答案] 小明的说法不正确. 理由如下: 由（2）,得 . 当时, , 解得, . , 小明的说法不正确. 33 2.[2023河南,22] 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学 知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析． 如图，在平面直角坐标系中，点，在 轴 上，球网与轴的水平距离 ， ，击球点在 轴上．若选择扣球， 羽毛球的飞行高度与水平距离 近似 满足一次函数关系 ；若选择 吊球，羽毛球的飞行高度 与水平距离 近似满足二次函数关系 ． 34 （1）求点的坐标和 的值． [答案] 依题意知,点为直线与 轴的交点. 当时, , 点的坐标为 . 抛物线经过点 , ,解得 . 35 （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． [答案] ,, . 若选择扣球,当时,得,解得 , 此时,球的落地点到点的距离为 . 若选择吊球,由（1）知, . 当时,得 , 解得, （舍去）, 此时球的落地点到点的距离为 . , 应选择吊球. 36 3.[2022河南,21] 小红看到一处喷水 景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此 展开研究:测得喷水头距地面 ,水 柱在距喷水头水平距离处达到最高,最高点距地面 ;建立如图所示的 平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为,其中 是水柱 距喷水头的水平距离, 是水柱距地面的高度. 37 （1）求抛物线的表达式. [答案] 由题意知，点是抛物线 的顶点， . 又 抛物线经过点, , 解得 ， 抛物线的表达式为或 . 38 （2）爸爸站在水柱正下方,且距喷水头水平距离.身高 的小红在水 柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离. [答案] 当时, ， 解得, , , . 答:小红与爸爸的水平距离为或 . 39 4.[2018河南,21] 某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售 量（个）与销售单价 （元）之间满足一次函数关系.关于销售单价、日销 售量、日销售利润的几组对应值如下表： 销售单价 元 85 95 105 115 日销售量 个 175 125 75 日销售利润 元 875 1 875 1 875 875 ［注：日销售利润日销售量 （销售单价-成本单价）］ 40 （1）求关于的函数表达式（不要求写出的取值范围）及 的值. [答案] 设关于的函数表达式为 , 由题意得解得 故关于的函数表达式为 . 当时， . （2）根据以上信息，填空： 该产品的成本单价是____元;当销售单价_____元时，日销售利润 最大， 最大值是_______元. 80 100 2 000 41 （3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本．预计在今后的销售中， 日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系.若想实现销售单价为90元时，日 销售利润不低于3 750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元? [答案] 设该产品的成本单价为 元, 由题意得 , 解得 . 答：该产品的成本单价应不超过65元. 42 $$