14 二次函数图象与性质的综合应用 课件 2025年中考数学专题复习精讲（河南）

第三章 函数 二次函数图象与性质的综合应用 1 命题角度1 二次函数中的增减性、最值、范围问题 例1 [2024威海中考改编] 已知抛物线与 轴交点的 坐标分别为，，且 . （1）若抛物线与轴交点的坐标分别为， ，且 .填空： 2 ①___（填写 、或 ）； ②,,,的大小关系用“ ”连接：__________________. [解析] 解法提示：与 轴交点的坐标分别为 ，，且 ， ， . 同理，得， . 易得 . 3 （2）若，在抛物线上，且恒成立，求 的取值范围. [答案] 易知抛物线的对称轴为直线 . ，在抛物线上，且 恒成立， 直线在直线 的左侧， ，解得 . 4 （3）当时，最大值与最小值的差为 ，求 的值. 5 [答案] 抛物线的顶点坐标为 ，对称轴为直 线 . 对于，当时，;当时， . ①当取最大值，取最小值时，，解得 . ②当取最大值，取最小值时，，解得 （舍去）， . ③当取最大值，取最小值时， ，解得 ， . 综上所述，的值为，，或 ． 6 【思路分析】 （1）根据抛物线与轴交点情况及抛物线平移规律，判断，，， 在 轴上对应的位置，再进行判断. （2）判断出直线 与抛物线对称轴的位置关系，即可得解. （3）抛物线的对称轴为直线.根据直线，， 的 位置关系分情况讨论即可. 【自主解答】 7 提分特训 1.在平面直角坐标系中，二次函数,,是常数，且 的图象经过点，，且该二次函数有最小值,为 , 则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 8 2.已知抛物线（， 是常数）． （1）当时，函数 的值最大，最大值为4． ①求抛物线的表达式. [答案] ,且当时，函数 的值最大，最大值为4， 抛物线的顶点坐标为 ， ， ， ， ． 故抛物线的表达式为 ． 9 ②若点，都在此抛物线上，且 ， ，比较与 的大小，并说明理由. [答案] 由①可知，抛物线的表达式为 ， 当时，随的增大而增大；当时，随 的增大而减小． ， ， ， ． 结合函数图象可知，当抛物线开口向下时，距离对称轴越远的点的纵坐标越 小， ． 10 （2）当时，的最大值为4,当时， 的最大值为5，求抛物线的表 达式． [答案] 当时，的最大值为4，当时， 的最大值为5， 抛物线的对称轴在 轴的右侧， ， ． 抛物线开口向下，且当时，的最大值为4， ． 当时， 的最大值为5， ，， ． 故抛物线的表达式为 ． 11 命题角度2 二次函数中的交点问题 例2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）与 轴 交于点，，与轴交于点，点 在抛物线上. 12 （1）求出抛物线的函数表达式和的值，直接写出直线 的函数表达式. [答案] 将代入 ， 得， ， 抛物线的函数表达式为 . 对于，当时， ， 解得，， . 直线的函数表达式为 . 13 （2）点为直线上一动点，横坐标为，将点 向左平移1个单位长度， 得到点，若线段与抛物线恰好只有一个交点，求 的取值范围. [答案] 易知，则 . 当点落在抛物线上时， ，解得 ， . 若，线段 与抛物线无交点. 若，当时，线段 与抛物线恰好只有一个交点. 若，当时，线段 与抛物线恰好只有一个交点. 综上，的取值范围为或 . 14 【思路分析】 （1）利用待定系数法求解即可. （2）先求出点落在抛物线上时的值，再找到临界情况（点与点 重 合，②点在点,之间，③点与点 重合），即可得解. 【自主解答】 15 提分特训 3.[2024洛阳三模] 已知：抛物线 经 过点, . 16 （1）请直接写出抛物线的表达式 . [答案] . [解析] 解法提示：把，分别代入 ，得 解得 . （2）平移抛物线使得新顶点仍在原抛物线上，新抛物线与 轴交于, . 18 ①求新抛物线的表达式,并直接写出时 的取值范围； [答案] 在原抛物线上， . 平移后新抛物线的顶点为 ， . 令，得 ， , ， ，解得 ， ， . 当时，的取值范围为 . ②若点在新抛物线上，线段轴，,线段 与新抛物线有两 个交点，请直接写出点 横坐标的取值范围. [答案] 且 . 20 [解析] 解法提示：过新抛物线上的一点（非点）作 轴 的平行线，交新抛物线于另一点（点在点 左侧）， 设，则 . 若，则 ， 解得 ， . 如图所示，分析可知，当点在曲线上时（不与点 重合），新抛物线 与线段有两个交点，故点横坐标的取值范围为 且 . 21 一图串考法 22 考法 二次函数图象与性质的综合应用（8年2考） 1.[2021河南，22] 如图,抛物线 与直线 交于点和点 . 23 （1）求和 的值; [答案] 抛物线经过点 , , . 直线经过点 , , . （2）求点的坐标,并结合图象写出不等式 的解集; [答案] 当时，, , 点的坐标为 . 结合图象可知,不等式的解集为或 . 24 （3）点是直线上的一个动点,将点向左平移3个单位长度得到点 ,若 线段与抛物线只有一个公共点,直接写出点的横坐标 的取值范围. [答案] 或 . [解析] 解法提示：将直线向左平移3个单位长度得到直线，易知直线 的 解析式为 . 令，整理，得 ，易知该方程没有实数根， 25 故直线 与抛物线没有公共点，如图. 易知抛物线的顶点坐标为，过点作 轴 的平行线，交直线于点 . 当点在线段上（不与点重合）时，线段 与抛 物线只有一个公共点，此时 . 当点在线段上（不与点重合）时，线段 与抛 物线有两个公共点. 当点与点重合时，线段与抛物线只有一个公共点，此时 ，代 入，得 . 综上可知，点的横坐标的取值范围为或 . 26 2.[2020河南，21] 如图,抛物线与轴正半轴、 轴正半轴 分别交于点,,且,点 为抛物线的顶点. 27 （1）求抛物线的表达式及点 的坐标; [答案] 抛物线与轴正半轴交于点 , 点的坐标为, . ,且点在 轴正半轴上, 点的坐标为 . 抛物线经过点 , , 解得（舍去）, , 抛物线的表达式为 . , 抛物线的顶点的坐标为 . 28 （2）点,为抛物线上两点（点在点 的左侧）,且到对称轴的距离分别为 3个单位长度和5个单位长度,点为抛物线上点,之间（含点, ）的一个 动点,求点的纵坐标 的取值范围. 29 [答案] 抛物线的对称轴为直线 , 点,到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,且点在点 的左 侧， 点的横坐标为或4,点 的横坐标为6, 点的纵坐标为,点的纵坐标为 . 当点的坐标为时,点的坐标为 , . 当点的坐标为时,点的坐标为 , . 30 $$