4.2.2等差数列的前n项和公式学案-2024～2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4．2.2　等差数列的前n项和公式(1)

1. 探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．

2. 通过对公式的探索和发现，提升观察、联想、归纳类比等能力．

活动一  探求等差数列的前n项和公式

据说，二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：

1＋2＋3＋…＋100＝？

当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050.

高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…①前100项的和的问题．

思考1►►►

你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能用高斯的方法求1＋2＋3＋4＋…＋100＋101吗？

 

 

 

 

思考2►►►

你能从中得到求数列①的前n项和的方法吗？

 

 

 

 

思考3►►►

我们发现，在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦．能否设法避免分类讨论？

 

活动二　掌握公式的应用——求基本量(a1，d，n，an，Sn)　

例1　已知数列{an}是等差数列．

(1) 若a1＝7，a50＝101，求S50；

(2) 若a1＝2，a2＝，求S10；

(3) 若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n.

 

 

 

 

 

例2　已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？

 

 

 

 

 

 

一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定．

(1)  已知等差数列{an}的前5项的和为25，第8项等于15，求第21项；

(2) 已知在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n的值．