2025年浙江省中考数学二轮复习专题课件：动态几何问题

动态几何问题 1 知识导引 1.由图形的运动变化创设一个动态情境，研究其变化规律的数学问题称为动态问题.解决几何图形的动态问题，需要我们树立联系发展的动态观，用运动和变化的眼光去观察和研究图形，把握图形的运动和变化的全过程.一方面要注意把运动过程中各时刻的图形画出，由“动”变“静”，另一方面要注意把握运动过程中某一特殊情况的位置和等量关系，并特别注意一些不变量和不变关系以及特定限制条件. 2 2.图形的平移、旋转、轴对称、相似等变换问题也是属于图形的动态问题，研究这类问题要充分运用图形变换的性质，抓住图形变换过程中的不变量（全等或相似中对应边或角的关系）进行相关的计算或推理. 3.研究动态几何问题常需要运用函数思想、方程思想、分类讨论等数学思想方法. 3 典例精析 例1 如图，设 是函数 在第一象限图象上的任 意一点，若点 关于原点的对称点为 ，过点 作 轴，过点 作 轴， 与 交于点 ， 则 的面积( ) . C A.等于2 B.等于4 C.等于8 D.随点 的变化而变化 4 【思路分析】设点P的坐标为 ,则根据题意可得 , 的面积 . 【方法归纳】 本题是反比例函数中典型的面积问题，点 虽然是双曲 线上的一个动点，但根据反比例函数特征，点 的横纵坐标的积始终等 于比例系数 . 5 图1 例2 如图1，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动， 设运动时间为 ，连结 . 6 （1）若 ，求 的值. [答案] 在 中， ， ， ， ， ， .由题意可知 ， ， . ， ， 解得 . 7 （2）若 与 相似，求 的值. [答案] ①当 时， ，即 ，解得 .②当 时， ，即 ，解得 . 综上所述，当 或 时， 与 相似. 8 （3）当 为何值时，四边形 的面积最小？并求出最小值. 图2 [答案] 如图2，过点 作 于点 ，则 . ，即 ，解得 .设四边形 的面积为 ， . 当 时， 的值最小，为 . 9 【思路分析】（1）由已知条件得出 ， ， ， ， ，由 得出方程 ，解方程即可.（2）分两种情况：当 时,当 时，由相似三角形的对应边成比例分别得出比例 式，即可得出 的值.（3）过点 作 于点 ，则 ， 证出 ，得出比例式求出 ，由四边形 的 面积 的面积 的面积，得出 是关于 的二次函数， 由二次函数的性质即可得出结果. 10 【方法归纳】 本题是相似形综合题，考查相似三角形的判定与性质、 含 角的直角三角形的性质、三角形面积的计算.证明三角形相似是 解决问题的关键. 11 例3 已知抛物线 经过点 和点 . （1）求抛物线的函数表达式. [答案] 由题意得 解得 函数表达式为 . 12 （2）现有一半径为1、圆心 在抛物线上运动的动圆.问： 在运动 过程中，是否存在 与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心 的坐标；若不存在，请说明理由. [答案] 设点 坐标为 ，则当 与 轴相切时，有 ， .由 ，得 ， .由 ，得 ， .当 与 轴相切时，有 抛物线开口向上，且顶点 在 轴的上方， ， ，解得 . 综上所述，符合要求的圆心 有三个，其坐标分别为 或 或 . 13 （3）若 的半径为 ，点 在抛物线上，当 与两坐标轴都相切 时，求半径 的值. [答案] 设点 坐标为 ，则当 与两条坐标轴都相切时，有 . 由 ，得 ，即 ，解得 . 由 ，得 ，即 ，此方程无解. 的半径为 . 14 【思路分析】（1）用待定系数法可求得函数表达式.（2） 是圆心在抛物线上的动圆，要使圆与坐标轴相切，只要满足圆心到坐标轴的距离等于半径即可，注意分类讨论各种满足条件的情况.（3） 要与两坐标轴都相切，只要符合圆心到 轴与 轴距离相等，由此列出方程求出 的值. 15 【方法归纳】 解决本题的关键在于清楚圆与坐标轴相切，必须有 .仔细审题，圆与坐标轴相切指的是与 轴相切或与 轴相切，而圆与坐标轴都相切指的是与 轴和 轴同时相切.与坐标轴都相切的圆的圆心一定在直线 或 上. 16 探究活动 图1 例 如图1，在平面直角坐标系中，四边形 各顶 点的坐标分别为 ， ， ， ，动点 与 同时从点 出发，运动时间为 ，点 沿 方向以 的速度向点 运动， 点 沿折线 运动，在 ， ， 上运动的速度分别为 ， ， ，当 ， 中的一 点到达点 时，两点同时停止运动. 17 （1）求 所在直线的函数表达式. [答案] 设 所在直线的函数表达式为 . 把 ， 代入，得 解得 所在直线的函数表达式为 . 18 （2）当点 在 上运动时，求 的面积 关于 的函数表达式 及 的最大值. 图2 [答案] 如图2，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ， 过点 作 于点 ，交 于点 .由题意得 ,则 . ， ， .由勾股定理 19 得 ， ， . 在 中， ， ， .点 过 的时间为 ， . . . 当 时， 有 最大值为 . （3）在 ， 的运动过程中，若线段 的垂直平分线经过四边形 的顶点，求相应的 值. ①当 时，线段 的垂直平分线经过点 （如图3），过点 作 轴于点 ，连结 .由题意得 ， ， ， . , . 在 中，由勾股定理得 ， 22 ，解得 ， （舍）， 此时 . 图3 ②当 时，线段 的垂直平分线经过点 （如图4），连结 ，过点 作 轴于点 .由题意得 ， ， . 图4 在 中，由勾股定理得 ， ，解得 ， （舍去），此时 .③当 时，若线段 的垂直平分 线经过点 （如图5），则 .由（2）知 ， ， , ，解得 . 图5 若线段 的垂直平分线经过点 （如图6），连结 ,过点 作 轴于点 ，则 ， ， .由勾股定理得 ， ，解得 ， （舍去），此时 .综上所述， 的值为 或 或 或 . 图6 【思路分析】(1)利用待定系数法求 所在直线的函数表达式. (2)由题 意得 ，求出 边上的高为 ,代入面积公 式计算，并根据二次函数的性质求出最大值即可. (3)分别按点 在 上运动时讨论:①当 时，线段 的垂直平分线经 过点 ;②当 时，线段 的垂直平分线经过点 ;③当 时，分线段 的垂直平分线经过点 和线段 的垂直平 分线经过点 两种情况继续讨论，只要能画出图形,根据垂直平分线的 性质和勾股定理列方程即可得结论. 28 【方法归纳】 本题是四边形的综合题，考查利用待定系数法求直线的函数表达式、动点问题、三角形的面积问题、二次函数的最值问题、线段垂直平分线的性质以及勾股定理，计算量大，第三小题有难度，容易漏解，注意运用数形结合的思想. 29 学力训练 A组 夯实基础 （第1题） 1.如图，在直角梯形 中， ， ， ， ， ．若动点 从点 出发，由 沿边运动，则 的最大面积是( ) . B A.10 B.12 C.14 D.16 30 （第2题） 2.如图，等边三角形 的边长为3， 为 的三等分点， 三角形边上的动点 从点 出发，沿 的方向运 动，到达点 时停止.设点 运动的路程为 ， ， 则 关于 的函数图象大致为( ) . A A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 31 （第3题） 3.如图， 的半径为1，正方形 的对角线长为6， .若将 绕点 按顺时针方向旋转 ，则在 旋转过程中， 与正方形 的边只有一个公共点的 情况一共出现( ) . B A.3次 B.4次 C.5次 D.6次 32 （第4题） 4.如图，将正方形 中的 绕点 按顺时针方 向旋转，能与 重合.若 ，则点 所走过的 路径长为_ ___． <m></m> 33 5.如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的 边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图1位置滚动到图4位置 时，线段 绕点 顺时针转过的角度为_ _____． 图1 图2 图3 图4 <m></m> 34 （第6题） 6.如图，在 中， ， .已知 的半径等于 ， ， 分别与 相切于点 ， 在 内沿 方向滚动，与 边相切时运动停止.试求圆心 移 动的距离. 35 [答案] 如答图所示，连结 ， . ， 分别与 相切于点 ， ， ， ， . 在 中， . ， ， .设当运动停止时， 与 ， 分别相切于点 ， ，连结 ， . 36 同理可得 . 圆心 移动 的距离为 . （第7题） 7.如图，在矩形 中， ， .设 ， 分别为 ， 上的动点，在点 自点 沿 方向向 点 做匀速运动的同时，点 自点 沿 方向向点 做匀 速运动，运动的速度都为 ，设 ， 运动的时间为 ． 38 （1）写出 的面积 关于时间 的函数表达式，当 为何 值时， 有最大值？最大值是多少？ 图1 [答案] 如答图1所示，过点 作 于点 ，则 . . ， ， .由题意得 ， 39 .当 ， 运动 后， . . 当 时， 取 得最大值，最大值为 . （2）当 为何值时， 为等腰三角形？ [答案] 若 为等腰三角形，分三种情况：①当 时，如 答图2所示，过点 作 于点 ，则 .由 ，得 ， . ，得 ②当 时， ，解得 ③当 时，如答图3所示，过点 作 于点 .由 ，得 . ，解得 . 41 图2 图3 （3） 能否成为等边三角形？若能，求出 的值；若不能，请说 明理由． [答案] 不能. ， 不可能为等边三角形. 43 B组 瞄准中考 （第1题） 1.【东营】如图，把 沿着 的方向平移到 的位置，它们重叠部分的面积是 面积 的一半.若 ，则 移动的距离是 ( ) . D A. B. C. D. 44 （第2题） 2.【阜新】如图，已知正方形 在平面直角坐标 系中，点 的坐标为 ，将正方形 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到正方形 ，则 点 的坐标为( ) . A A. ， B. ， C. D. 45 （第3题） 3.【毕节】如图，在正方形 中，点 ， 分 别在 ， 上，且 ，将 绕 点 按顺时针方向旋转 ，使点 落在点 处， 则下列判断中，不正确的是( ) . D A. 是等腰直角三角形 B. 垂直平分 C. D. 是等腰三角形 46 （第4题） 4.【安徽】如图，已知在 中， ， ， ， 是 内部的一个动点，且满足 ，则线段 长的最小值为( ) . B A. B.2 C. D. 47 [解析] ， . ， . . 点 在以 为直径的 上. 如答图所示，连结 交 于点 ，此时 最小.在 中， ， ， ， 的最小 值为2.故选B. 48 （第5题） 5.【台州】如图，已知在 中， ， ， ，以边 的中点 为圆心，作半 圆与 相切， ， 分别是边 和半圆上的动点， 连结 ，则 长的最大值与最小值的和是 ( ) . C A.6 B. C.9 D. 49 [解析] 如答图所示，设 与 相切于点 ，连结 ，作 于点 ，交 于点 ，此时 最小，为 . ， ， ， . ， ， 的最小值为 .当点 在 边上，点 与点 重合时， 最大， 为 . 长的最大值与最小值的和是9.故选C. 50 6.【嘉兴】一副含 和 角的三角尺 和 叠合在一起， 边 与 重合， （如图1）， 为边 的中点， 边 与 相交于点 ，此时线段 的长是_ __________.现将三角尺 绕点 按顺时针方向旋转（如图2），在 从 到 的变 化过程中，点 相应移动的路径的长为_ __________.（结果保留根号） <m></m> <m></m> 图1 图2 51 如答图1所示，过点 作 于点 ， 于点 ，则四边 形 是正方形，设边长为 .在 中， ， 在 中， ，在 中， ， . . 图1 52 如答图2所示，当 时，易证 ，此时 的值最小， 易知 ， . 当旋转角为 时， 与 重合，易知 .观察图象可知， 在 从 到 的变化过程中， 点 的移动的路径为 ，相应移动的路径长 . 图2 53 图1 7.【十堰】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ，顶点为 ， 为抛物线上的 一个动点， 是过点 且垂直于 轴的直线，过点 作 ，垂足为点 ，连结 . （1）求抛物线的函数表达式，并写出其顶点 的坐标. [答案] 抛物线 经过点 ， . 抛物线的函数表达式为 ，顶点 . 54 （2）①当点 运动到点 处时，计算： ___， ___，由此发 现， ___（填“ ”“ ”或“ ”） . <m></m> <m></m> = ②当点 在抛物线上运动时，猜想 与 之间有什么数量关系，并 证明你的猜想. [答案] .证明如下：设点 的坐标为 . ， ， . 55 图2 （3）如图2，设有一点 ，问：是否存在点 ，使得 以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求 出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 56 [答案] ， ， ， . ，以 ， ， 为顶 点的三角形与 相似， .设点 ， ，解得 点 的坐标为 或 . 57 （第8题） 8.【青岛】如图，在矩形 中， ， ，对角线 ， 交于点 .点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时， 点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运 动.连结 并延长，交 于点 ，过点 作 交 于点 .设 运动时间为 ，解答下列问题： 58 （1）当 为何值时， 是等腰三角形？ [答案] 在矩形 中， ， ， .①当 ，过点 作 于点 . ， ， . 当 时， 当 为 或5时， 是等腰三角形. 59 （2）设五边形 的面积为 ，试确定 关于 的函数表达 式. 图1 [答案] 如答图1所示，作 于点 ， 于 点 ， 于点 ，交 于点 .在 和 中， 60 ， . .易 知 . ， ，即 . . . ， . . 关于 的函数表 达式为 . （3）在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说 明理由. [答案] ， ，解得 或 当 或 时， . 63 （4）在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 平分 ？若存在， 请求出 的值；若不存在，请说明理由. 图2 [答案] 如答图2所示，过点 作 于点 ， 于点 ， . . ， . ， 64 ，化简得 ,解得 或 （不合题意，舍去） 当 时， 平分 . C组 冲击金牌 （第1题） 1.如图，两个反比例函数 和 （其中 ）在第一象限内的图象依次是 和 ，设点 在 上， 轴于点 ，交 于点 ， 轴于点 ，交 于点 ，则四边形 的面积是( ) . B A. B. C. D. 66 （第2题） 2.如图，正方形 边长为2， 是线段 上的动点 （与点 ， 不重合）， ，过点 作 ，交 于点 ，则下列结论中，正确的是 ( ) . B A. B. C. D. 67 （第3题） 3.在平面直角坐标系中，点 ，以 为半径在第一象 限内作圆弧 ，连结 ， ，圆心角 ， 为弧 的中点， 为半径 上一动点，点 关于直线 的对称点为 ，若点 落在半径 上，则点 的坐标 <m></m> 或 <m></m> <m></m> 或 <m></m> 为_ ___________________；若点 落在半径 上，则点 的坐标为 _ ________________________. 68 图1 4.如图1，在平面直角坐标系中，边长为2的等边三角形 的顶点 位于第一象限，顶点 在 轴的正半轴上.另一等腰 三角形 的顶点 位于第四象限， ， . 现有两动点 , 分别从 , 两点同时出发，点 以每秒1个 单位的速度沿 向点 运动，点 以每秒3个单位的速度沿 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. 69 （1）求在运动过程中形成的 的面积 关于运动的时间 的函数 表达式，并写出自变量 的取值范围. [答案] 如答图1所示，当点 在 上时，过点 作 轴于点 . 在 中， ， ， . 在 中, , . 图1 70 如答图2所示,当点 在 上，点 运动到点 前时，在 中， ， ， , . 图2 （2）在等边三角形 的边上（点 除外）是否存在点 ，使得 为等腰三角形？请直接写出所有符合条件的点 的坐标. 图3 [答案] 如答图3所示，有四个点： ， ， ， . 72 图2 （3）如图2，现有 ，其两边分别与 , 交 于点 , ，连结 .将 绕着点 旋转 旋转角 ，使得 , 始终在边 和边 上.试判断在这一过 程中， 的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其 周长；若发生变化，请说明理由. 73 图4 [答案] 如答图4所示,将 绕着点 旋转 （ 与 重合），使得 落到 处，则 ， ， ， .在 和 中, 74 ，即 . 的周长为 . 的周长为定值，这个定值是4. $$