1.2.2 数轴 暑假预习 2024-2025学年人教版数学七年级上册

1.2.2 数轴 一、数轴 1.数轴的定义： 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求： ①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； ②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示–1，–2，–3，… 2.数轴的三要素：原点、正方向、单位长度． 3.数轴的画法： ①画一条水平的直线． ②在直线上适当选取一点为原点． ③通常规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）． ④根据需要，选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次为1，2，3，…，从原点向左，用类似的方法依次标出–1，–2，–3，…，如图所示： 考点1：点的移动 【典型例题1】一只蚂蚁沿数轴从原点向右移动了3个单位长度到达点A，则点A表示的数是（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．±3 【典型例题2】如图，数轴上点P向右平移3个单位后表示的数是（　　） A．-1 B． 0 C．1 D．2 【练习1】如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（ ） A．7 B．3 C．-2 D．2 【练习2】数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（ ） A．6 B．1或6 C．-4或6 D．4或6 考点2：点之间的距离 【典型例题3】下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是（　　） A．2 B．1 C．﹣1.5 D．﹣3 【练习3】在数轴上点A表示的数是2，到A点的距离是4个单位长度的点表示的数是（　　） A．6 B．﹣2 C．6或﹣2 D．4或﹣4 【练习4】下列结论正确的是（　　） A．数轴上表示6的点与表示4的点相距10 B．数轴上表示+6的点与表示﹣4的点相距10 C．数轴上表示﹣4的点与表示4的点相距10 D．数轴上表示﹣6的点与表示﹣4的点相距10 【练习5】下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（　　） A．﹣2 B．1.3 C．﹣0.4 D．0.6 【练习6】如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是3，且点B在原点左侧，那么点B表示的数是（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 考点3：数轴的画法 【典型例题4】下列所画的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【练习7】如图所示，所画数轴完全正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【练习8】图中所画数轴，正确的是（ ） 考点4：点的位置 【典型例题5】在数轴上表示数﹣3，0，5，2，﹣1的点中，在原点右边的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【练习9】在数轴上，原点左边的点表示的数是（ ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【练习10】数轴上位于原点右边3个单位长度的点记为+3，则位于原点左边2个单位长度的点记为（ ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 考点4：实际应用 【典型例题6】一条东西走向的跑道上，小虎先向东走了8米，记作“+8米”，又向西走了10米，此时他的位置可记作（　　） A．+2米 B．﹣2米 C．10米 D．﹣10米 【练习11】如图，一辆货车从超市出发，向东走了2km到达小彬家，继续走了2.5km到达小颖家，最后回到超市． （1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1km,则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为多少？ （2）货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？ 【练习12】出租车司机小王某天下午运营是在东西方向的大街上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天行驶的里程数（单位：千米）+3、-8、+5、-4、+7、-3、-5、+4、-7、+6． （1）将最后一名乘客送达目的地时，小王距下午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ （2）若汽车耗油量为每千米0.1升，这天下午小王的汽车耗油多少升？ 考点5：点的覆盖 【典型例题6】如图，下面的4个数中哪一个数所表示的点被数轴上的杭州亚运会吉祥物之一宸宸卡通贴纸所覆盖（ ） A．2 B．1 C．-2 D．-4 【练习13】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A．0.5 B．-0.5 C．-1.5 D．-2.5 【练习14】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长2023厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（ ） A．2020或2021 B．2021或2022 C．2022或2023 D．2023或2024 考点6：直尺与数轴 【典型例题7】如图，将刻度尺放在数轴上，让3cm和5cm刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与0cm刻度线对齐的点表示的数为（ ） A．-2 B．0 C．-1 D．1 【练习15】如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为-4.9，b,4.1，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm,点C对齐刻度5.4cm,则数轴上点B所对应的数b为 【练习16】刻度尺在数轴上的位置摆放如图所示，刻度尺右端点B的刻度为“0”，刻度“10cm”和25cm”分别与数轴上表示数0和-2的点重合，现将刻度尺沿数轴向右移动5个单位，如图2，使刻度尺的左端点A与数轴上表示的数1重合，则刻度尺的长度为 cm. 参考答案 考点1：点的移动 【典型例题1】一只蚂蚁沿数轴从原点向右移动了3个单位长度到达点A，则点A表示的数是（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．±3 【分析】本题考查数轴和数形结合思想，解题关键是熟练掌握数轴上原点左侧的点表示负数，右侧的点表示正数．数轴上，在原点左边的点表示的数为负数，原点表示的数为0，在原点右边的点表示的数为正数，由原点右边的点表示的数等于这点到原点的距离，即可求解． 【答案】A 【解析】∵由题意知蚂蚁沿数轴从原点向右移动了3个单位长度到达点A，首先点A表示的数是正数，又与原点相距三个单位长度， ∴点A表示的数是3，故选A． 【典型例题2】如图，数轴上点P向右平移3个单位后表示的数是（　　） A．-1 B． 0 C．1 D．2 【分析】根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为-1，再根据向右平移3个单位从而求解． 【解答】解：由题意得，-1向右平移3个单位后表示的数是-1+3=2， 故选：D． 【点评】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键． 【练习1】如图，数轴上一动点A向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为（ ） A．7 B．3 C．-2 D．2 【分析】根据数轴上点的移动和数的大小变化规律：左减右加．可设这个数是x,则列出方程x-2+5=1，求解即可． 【解答】解：设A点对应的数为x.则：x-2+5=1，解得：x=-2．所以A点表示的数为-2． 故选：C． 【点评】本题考查数轴上点的坐标变化和平移规律：左减右加． 【练习2】数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（ ） A．6 B．1或6 C．-4或6 D．4或6 【分析】根据数轴的知识点是解题的关键． 【解答】解：由题可知，点B到原点的距离为1，则点B表示的数是-1或1，如果点B表示的数是0，则点A表示的数是-1+5=4，如果点B表示的数是1，则点A表示的数是1+5=6， 故选：D． 【点评】本题考查数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 考点2：点之间的距离 【典型例题3】下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是（　　） A．2 B．1 C．﹣1.5 D．﹣3 【分析】此题考查数轴，掌握到原点距离最近的点就是绝对值最小的点，到原点距离最远的点就是绝对值最大的点是解题的关键．根据到原点距离最远的点就是绝对值最大的数，对每个数作出判断，即可求出答案． 【答案】D 【解析】A，2到原点的距离是2个长度单位，不符合题意； B，1到原点的距离是1个长度单位，不符合题意； C，﹣1.5到原点的距离是1.5个长度单位，不符合题意； D，﹣3到原点的距离是3个长度单位，符合题意； ∴在数轴上所对应的点与原点的距离最远的点表示的数是﹣3．故选D． 【练习3】在数轴上点A表示的数是2，到A点的距离是4个单位长度的点表示的数是（　　） A．6 B．﹣2 C．6或﹣2 D．4或﹣4 【答案】C 【解析】设该数是x，则|x﹣2|＝4，解得x＝6或x＝﹣2．故选C． 【练习4】下列结论正确的是（　　） A．数轴上表示6的点与表示4的点相距10 B．数轴上表示+6的点与表示﹣4的点相距10 C．数轴上表示﹣4的点与表示4的点相距10 D．数轴上表示﹣6的点与表示﹣4的点相距10 【答案】B 【解析】A，数轴上表示6的点与表示4的点相距|6﹣4|＝2，故本选项错误； B，数轴上表示+6的点与表示﹣4的点相距|6﹣（﹣4）|＝10，故本选项正确； C，数轴上表示﹣4的点与表示4的点相距|﹣4﹣4|＝8，故本选项错误； D，数轴上表示﹣6的点与表示﹣4的点相距|﹣6﹣（﹣4）|＝2，故本选项错误．故选B． 【练习5】下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（　　） A．﹣2 B．1.3 C．﹣0.4 D．0.6 【答案】C 【解析】∵|﹣2|＝2，|1.3|＝1.3，|﹣0.4|＝0.4，|0.6|＝0.6，∴0.4＜0.6＜1.3＜2，又∵离原点最近的即是绝对值最小的数，∴离原点最近的是﹣0.4，故选C． 【练习6】如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是3，且点B在原点左侧，那么点B表示的数是（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【答案】D 【解析】因为点A到原点的距离大于点B到原点的距离，且B在原点左边，故A、C错误；B选项为﹣3，大于A的绝对值，故B错误；故选D． 考点3：数轴的画法 【典型例题4】下列所画的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故本选项错误； B、有原点、正方向、单位长度，故本选项正确； C、没有原点，故本小题错误； D、单位长度不统一，故本小题错误．故选B． 【练习7】如图所示，所画数轴完全正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据数轴的特点进行解答即可． 【解答】解：（1）（3）单位长度不统一，错误；（2）不符合数轴上右边的数总比左边的数大的特点，错误；（4）符合数轴的特点，正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了数轴的三要素和画法，熟知规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解答本题的关键． 【练习8】图中所画数轴，正确的是（ ） 【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，即可解答． 【解答】解：图中所画数轴，正确的是C，故选：C． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键． 考点4：点的位置 【典型例题5】在数轴上表示数﹣3，0，5，2，﹣1的点中，在原点右边的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】∵﹣3＜0，0＝0，5＞0，2＞0，﹣1＜0， ∴在原点右边的数有5，2，共2个． 故选C． 【练习9】在数轴上，原点左边的点表示的数是（ ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【分析】根据数轴的特点进行解答即可． 【解答】解：∵数轴上右边的数总比左边的大，∴原点左边的点表示的数都小于0，∴原点左边的点表示的数是负数． 故选：B． 【点评】本题考查的是数轴的特点，即数轴上右边点表示的数的数总比左边的大． 【练习10】数轴上位于原点右边3个单位长度的点记为+3，则位于原点左边2个单位长度的点记为（ ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【分析】根据数轴上原点左边表示的数为负数进行解答即可． 【解答】解：数轴上位于原点右边3个单位长度的点记为+3，则位于原点左边2个单位长度的点记为-2， 故选：C． 【点评】本题考查了数轴，正负数，熟知：原点右边的数是正数，原点左边的数是负数． 考点4：实际应用 【典型例题6】一条东西走向的跑道上，小虎先向东走了8米，记作“+8米”，又向西走了10米，此时他的位置可记作（　　） A．+2米 B．﹣2米 C．10米 D．﹣10米 【答案】B 【解析】向东走了8米，记作“+8”米，向西走了10米的位置可记作﹣2米．故选B． 【练习11】如图，一辆货车从超市出发，向东走了2km到达小彬家，继续走了2.5km到达小颖家，最后回到超市． （1）以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1km,则小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为多少？ （2）货车从超市出发到最后回到超市一共行驶了多少千米？ 【分析】（1）根据题意画出数轴，标出小彬、小颖家的位置即可；（2）把货车行驶的路程相加即可． 【解答】解：（1）如图所示： 小彬家和小颖家在数轴上的位置表示的有理数分别为2、4.5； （2）（2+2.5）×2=9（km）， 答：货车一共行驶了9千米． 【练习12】出租车司机小王某天下午运营是在东西方向的大街上进行，如果规定向东为正，向西为负，他这天行驶的里程数（单位：千米）+3、-8、+5、-4、+7、-3、-5、+4、-7、+6． （1）将最后一名乘客送达目的地时，小王距下午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ （2）若汽车耗油量为每千米0.1升，这天下午小王的汽车耗油多少升？ 【分析】（1）将所有里程数相加得出正数则在东，负数则在西；（2）不考虑正负，累加里程数乘以耗油量即可得出下午的总耗油量． 【解答】解：（1）∵+3-8+5-4+7-3-5+4-7+6=-2， ∴小王在距出发点西面2千米的地方； （2）∵3+8+5+4+7+3+5+4+7+6=52（千米）， ∴52×0.1=5.2（升）， ∴这天下午小王的汽车耗油5.2升． 【点评】本题主要考查正数与负数的计算，熟练掌握正数和负数的意义及计算是解题的关键． 考点5：点的覆盖 【典型例题6】如图，下面的4个数中哪一个数所表示的点被数轴上的杭州亚运会吉祥物之一宸宸卡通贴纸所覆盖（ ） A．2 B．1 C．-2 D．-4 【分析】根据数轴上数的特征，即可解答． 【解答】解：如图，数轴上的杭州亚运会吉祥物之一宸宸卡通贴纸所覆盖的数可能是-2，故选：C． 【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上数的特征是解题的关键． 【练习13】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（ ） A．0.5 B．-0.5 C．-1.5 D．-2.5 【分析】设小手盖住的点表示的数为x,则-1＜x＜0，再根据每个选项中实数的范围进行判断即可． 【解答】解：设小手盖住的点表示的数为x,则-1＜x＜0，则表示的数可能是-0.5．故选：B． 【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 【练习14】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上随意画出一条长2023厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（ ） A．2020或2021 B．2021或2022 C．2022或2023 D．2023或2024 【分析】分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可． 【解答】解：当长2023厘米的线段AB的端点A与整数点重合时，两端与中间的整数点共有2024个，当长2023厘米的线段AB的端点A不与整数点重合时，中间的整数点只有2023个，故选：D． 【点评】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解线段及端点与数轴上点的对应关系是解决问题的前提． 考点6：直尺与数轴 【典型例题7】如图，将刻度尺放在数轴上，让3cm和5cm刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与0cm刻度线对齐的点表示的数为（ ） A．-2 B．0 C．-1 D．1 【分析】本题考查数轴的概念，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵3cm和5cm刻度分别与数轴上表示2和4的两点对齐， ∴数轴的单位长度是1cm, ∴原点对应1cm的刻度， ∴数轴上与0cm刻度线对齐的点表示的数是-1，故选：C． 【练习15】如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为-4.9，b,4.1，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度1.8cm,点C对齐刻度5.4cm,则数轴上点B所对应的数b为 【分析】先求出AC=9，从而可得每一个刻度对应数轴上的单位长度，再列出运算式子，计算有理数的乘除法可得AB的长，然后根据数轴的性质即可得． 【解答】解：由题意得：AC=9，由条件可知，AB=3 ∴b-（-4.9）=3， 解得b=-1.9， 故答案为：-1.9． 【点评】本题考查的是数轴的概念，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米． 【练习16】刻度尺在数轴上的位置摆放如图所示，刻度尺右端点B的刻度为“0”，刻度“10cm”和25cm”分别与数轴上表示数0和-2的点重合，现将刻度尺沿数轴向右移动5个单位，如图2，使刻度尺的左端点A与数轴上表示的数1重合，则刻度尺的长度为 cm. 【分析】根据刻度“10cm”和“25cm”分别与数轴上表示的数0和-2的点重合，可求出数轴上一个单位是7.5cm,再根据向右平移5个单位得出点A表示的数，就可求出刻度尺的长． 【解答】解：∵刻度尺“10cm“和“25cm”分别与数轴上表示的数0和-2的点重合， ∴数轴上一个单位长度为（25-10）÷2=7.5（cm），将该刻度尺沿数轴向右平移5个单位，如图2，使刻度尺的左端点A与数轴上表示的数1重合，原点A表示的数是1-5=-4，则点A到原点的距离为4×7.5=30（cm），刻度尺长为30+10=40（cm）， 故答案为：40． 【点评】本题考查了数轴与刻度尺的关系，解题的关键是求出一个单位长度代表多少厘米． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$