19 全等三角形 2025年河南省中考数学专题复习课件

第四章 三角形 全等三角形 1 考点1 全等三角形的定义及性质 1.定义:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2.性质 （1）全等三角形的对应边①______、对应角②______. （2）全等三角形的周长③______、面积④______. （3）全等三角形对应的高、中线、角平分线分别⑤______. 相等 相等 相等 相等 相等 2 考点2 全等三角形的判定重点 1.全等三角形的判定方法 类型 判定方法 图示 一般三角 形的全等 ⑥________分别相等 _______________________________________________ 两角及⑦____________分别相等 ______________________________________________ 两角分别相等且其中一组等角的对边相 等 _______________________________________________ 三条边 它们的夹边 3 类型 判定方法 图示 一般三角 形的全等 两边及它们的夹角分别相等（⑧_____） ___________________________________________________________ 直角三角 形的全等 一条直角边和⑨______分别相等 注:一般三角形全等的判定方法也适用于 直角三角形. _________________________________________________________ 斜边 续表 4 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等,也就是说 “”不是判定三角形全等的方法.例如:如图,在和中, , ,,但与 不全等. . . 5 2.全等三角形的常见模型 模型 图示总结 平移模 型 ___________________________________________________________________ 可看成由一个三角形沿其一条边所在直线平移得到. 轴对称 模型 _______________________________________________________________ 两个三角形关于某一直线对称,关于这条直线对称的顶点就是全等 三角形的对应顶点,解题时要注意隐含条件（公共边或公共角）. 6 模型 图示总结 旋转模 型 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 可看成由三角形绕某一个点旋转而成,故一般有一对相等的角隐含 在平行线、对顶角、某些角的和或差中. 一线三 等角模 型 ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 续表 7 3.证明三角形全等的思路 <m></m> 8 基础题过考点 如图，点，分别在的边，上，连接，交于点 ，连接 . （1）已知,若要证明 ,则需再添加一个条件，这个条 件可以是________________________. （答案不唯一） 9 （2）请从“角平分线”“中线”“高线”中选择一个合适的条件，补充在下面的横 线上，并写出完整的证明过程． 已知：，是的两条______，且 . 求证： ． 高线 10 证明过程如下： 方法一：，是的两条高，， ， . 在和中， ， . 方法二：，是的两条高，， ， . 在和中， ，， . 11 方法三：，是的两条高， . 又， . 12 命题角度 全等三角形的判定与性质 例 一题多问 在等腰直角三角形中， ，.点 在射 线上，点在直线上，点在直线上，且直线垂直平分线段 ， 连接, . （1）如图（1），当点在的延长线上，点在线段 上时. 图（1） 13 ①求证： ； 证明：垂直平分， . 在和 中， . ②求证： . 证明：， . 垂直平分， ， . 14 （2）如图（2），当点在线段上，点在 的延长线上时，请直接写出 ，， 之间的数量关系. 图（2） [答案] . 15 （3）如图（3），当点在的延长线上，点在 的延长线上时. 图（3） ①，， 之间的数量关系为_______________. 16 ②若， . .求 的长； .求证: ; .求 的长. 17 [答案] .垂直平分，， . 又， , ， ， . 由中思路易证 ， , . .证明： ， , . 18 设直线与的交点为 . ， ， ， ， . 在和中， . .，， , . 19 又， ， ， ， ， . 20 利用全等三角形证明线段间的数量关系的方法 两条线段之间的数量关系一般为相等,有时也会出现倍数关系；三条线段之间 的关系一般是和、差关系.解题时,一般先观察图形,猜测线段之间的关系,然后 进行证明. （1）证明两条线段相等时,若两条线段在一个三角形中,一般考虑通过“等角 对等边”证明；若两条线段不在同一个三角形中,则一般利用全等三角形的判 定与性质证明. （2）证明两条线段之和等于较长线段时,通常可借助截长补短法,构造全等三 角形,将两条较短线段转化到一条线段上证明. . . . . . . . . . . . . . . 21 考法 全等三角形的判定与性质（必考） 1.[2024河南,23] 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中,我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验,对 “邻等对补四边形”进行研究. 定义:至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形. 22 （1）操作判断 用分别含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图（1）所示的4个四边形, 其中是邻等对补四边形的有______（填序号）. ②④ （2）性质探究 根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质. 如图（2）,四边形是邻等对补四边形,, 是它的一条对角线. 23 ①写出图（2）中相等的角,并说明理由; [答案] . 理由如下: 图（1） 如图（1），延长至点 ,使 .连接 四边形 是 邻等对补四边形, .又 , .又, ,, , , , . 24 ②若,, ,求的长（用含,, 的式子表示）. [答案] 如图（1），过点作,垂足为点 . 图（1） , . ， . 在中，, . 25 （3）拓展应用 如图（3）,在中, ,,,分别在边, 上取点 ,,使四边形 是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边 相等时,请直接写出 的长. [答案] 或 . 26 图（2） [解析] 解法提示： 四边形 是邻等对补四 边形，且 ， .在 中， . 当时，如图（2），连接.在 和中，, , ， .故在 此种情况下，有两组邻边相等，不符合题意，舍去. 27 分以下两种情况讨论. 图（3） ①当 时，如图（3），则 ， , , .由 （2）可得 . 28 图（4） ②当时，如图（4），， 设 ， ， ,,,， . 由（2）可得 . 综上可知，的长为或 . 29 “新定义类几何探究题”更多练习见《题型帮》P53题型十四类型1 30 2.[2021河南,23] 下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线 的讨论片段,请仔细阅读,并完成相应的任务. 小明:如图（1）,①分别在射线,上截取, （点,不重合）;②分别作线段,的垂直平分线,,交点为 ,垂足分别 为点,;③作射线.射线即为 的平分线. 简述理由如下: 由作图知, ,, ,所以 ,则,即射线是 的平分线. 31 小军:我认为小明的作图方法很有创意,但是太麻烦了,可以改进如下,如 图（2）,①分别在射线,上截取,（点, 不重合）;② 连接,,交点为;③作射线.射线即为 的平分线. …… ________________________________________________________________ 图（1） 图（2） 任务: 续表 32 （1）小明得出 的依据是____（填序号）. ⑤ 33 （2）小军作图得到的射线是 的平分线吗?请判断并说明理由. [答案] 是. 理由如下: 由作图可知,,.又, , .连接, , , . 又,,,,即射线 是 的平分线. 34 图（3） （3）如图（3）,已知 ,点,分别在射线, 上,且.点,分别为射线, 上的动点,且 ,连接,,交点为,当 时,直接写出线 段 的长. [答案] 2或 . [解析] 解法提示：连接，， ， 是等边三 角形， .作射线，由（2）可知，射线是 的平分 线，， . 分两种情况讨论. 35 ①当点在点下方时，如图（1），过点作于点 . ，， ， ， . 在中， ， . 36 又，,， . ， ， . ②当点在点上方时，如图（2），过点作于点 . 37 ，， ， ， . ， ， ， ， ， . 综上可知，线段的长为2或 . 38 $$