20 相似三角形 课件 2025年中考数学专题复习精讲（河南）

第四章 三角形 相似三角形 1 考点1 黄金分割 如图,点为线段上一点,若,则就说线段被点黄金分割,点 叫做 线段的黄金分割点,与的比叫黄金比,且 .一条线段 有两个黄金分割点.简记为 . 2 考点2 比例的性质 1.基本性质:①_________ . 2.合比性质: ②____. 3.等比性质: . 3 考点3 平行线分线段成比例重点 1.定理:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段④________. 2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得到的 对应线段⑤________. 成比例 成比例 4 解决平行线分线段成比例问题,找准“对应线段”是关键 利用平行线分线段成比例求线段的长,关键在于正确理解“对应线段”,知道成 比例的线段均在被截的直线上,并正确使用“,, （如图）”,构建含待求线段的比例式,从而运用方程思想求解. . . 5 考点4 相似三角形重点 1.性质 （1）相似三角形的对应角⑥______,对应边⑦________； （2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ⑧________； （3）相似三角形的周长的比等于⑨________,面积比等于⑩______________. 相等 成比例 相似比 相似比 相似比的平方 6 2.判定 语言叙述 图示 ⑪______分别相等的两个三角形相似. ____________________________________________________________ 两边成比例且⑫______相等的两个三角形相似. __________________________________________________________________ 两角 夹角 7 语言叙述 图示 三边⑬________的两个三角形相似. _____________________________________________________________ 成比例 续表 8 判定三角形相似的思路 9 3.常见的相似模型 模型 图示 A字型 _____________________________________ 若，则 ⑭ ________. ______________________________________________________________________________________ 若，则 ⑮ ________. 10 模型 图示 8字型 _________________________________________ 若，则 ⑯ ________. __________________________________________________ 若，则 ⑰ ________. 续表 11 模型 图示 双垂直型 ____________________________________________________________ ⑱________. 一线三等 角型 __________________________________________________________________________________________________________ 若,则 ⑲________. 续表 12 考点5 相似多边形的性质 1.相似多边形的对应角相等,对应边成比例. 2.相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方. 13 考点6 相似三角形的实际应用 1.利用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题,如同一时刻同一地 点,物高与影长成正比,如 . （1）将实际问题转化为相似三角形问题； （2）找出一对相似三角形； （3）根据相似三角形的性质,表示出相应的量,并求解. 2.运用相似三角形的判定与性质解决实际问题的方法 14 考点7 位似图形 1.定义:一般地,如果两个相似图形任意一组对应顶点, 所在的直线都经过同 一点,且,那么这样的两个图形叫做位似图形,点 叫做位似 中心, 就是这两个相似图形的相似比. 2.性质 （1）任意一组对应点到位似中心的距离之比等于⑳________； （2）任意一组对应点所在直线都相交于一点； （3）对应边互相平行或在同一直线上； （4）位似图形是特殊的相似图形,具有相似图形的所有性质. 相似比 15 基础题过考点 考点1→ 1.[2024山西中考] 已知一条分割线的端点,分别在习字格的边, 上,且 ,“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处,且 .若 ,则的长为_________ （结果保留根号）. 16 考点3，4→ 2.如图，在中，，分别是，边上一点，, . （1）添加一个条件（不添加辅助线） ___________________________，使 . （答案不唯一） （2）若，则_____, _____. （3）易错点（弄错相似三角形的面积比与相似比 的关系）若,则 _____,∶ _____. 2 17 （4）易错点（未分类讨论）若与相似，，则 _____. 或 18 考点5，7→ 3.[2024连云港中考改编] 如图，在平面直角坐标系中，阴影图形分别记作甲、 乙、丙、丁，这四个图形中，有两个图形既是相似形，又关于某点位似. 19 （1）这两个图形是________，它们的面积比为_____. （2）这组位似图形的位似中心的坐标为________. 甲、丁 20 命题角度 相似三角形的判定与性质 例 一题多问 如图（1），于点，且 . 图（1） （1）求证： . 证明：， . 又， ， ， . 【自主解答】 21 （2）将绕点旋转至如图（2）所示的位置，连接， .求证： . 证明：， . ， ， . （3）在（2）的条件下，当，，三点共线时，如图（3）所示，设 ， 交于点 . 图（2） 图（3） 22 ①求证： . 证明：由（2）可得 ， ，即 . 又， ， ， . ② 的度数为_____. 23 （4）在（2）的条件下，若，如图（4），取线段的中点 、线 段的中点，连接，求 的值. [答案] ，， . 如图，连接， . ，点，分别是， 的中点， 图（4） 24 , . ， ， ， ， , ， . 25 提分特训 1.[2024河师大附中三模] 如图，在平行四边形 中， 点在上，且平分，交于点,若 , ,则 的值为( ) D A. B. C. D. （第1题） [解析] 如图，平分， ， ，， .易证 ， . 26 2.[2024焦作二模] 如图,把沿着直线 向右平 移至处，，连接 .若 ,,则点到 的距离是___. 1 （第2题） [解析] 如图，过点作于点，交 于点.由平移的性质，得 ， ， . ， ， ，，故点到 的距离为1. 27 3.[2024广元中考改编] 数学实验，能 增加学习数学的乐趣，还能经历知识 “再创造”的过程，更是培养动手能力、 创新能力的一种手段．小强在学习 《相似》一章中对“直角三角形斜边上 作高”这一基本图形（如图（1））产 生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边 上一点，连 接 ． 28 （1）初步探究 如图（2），若，求证： . 证明：， ， ， ， . 29 （2）尝试应用 如图（3），在（1）的条件下，若点为的中点，，求 的长. [答案] 点为的中点， . 设 ， 由（1）知 ， ， ， ， . ， . 30 （3）创新提升 如图（4），在中，，点为上一点，且，点 为 的中点，且，求 的长. [答案] 如图，过点作，交的延长线于点 . ， . , 31 , 又, , 又, , . 设，则 ， ，解得 ， . 考法 与相似三角形有关的计算与证明（ 必考 ） 1.[2020河南,23] 将正方形的边绕点逆时针旋转至 ,记旋转角为 ,连接,过点作垂直于直线,垂足为点,连接, . 33 （1）如图（1）,当 时,的形状为________________,连接 , 可求出 的值为____. 等腰直角三角形 [解析] 解法提示:由旋转和正方形的性质,得 . 又 , 是等边三角形, . , , , . 又, 是等腰直角三角形. 34 连接 . 易知, , , . （2）当 且 时, 36 ①（1）中的两个结论是否仍然成立?如果成立,请仅就图（2）的情形进行证 明;如果不成立,请说明理由. [答案] 两个结论仍然成立. 证明:连接 . , , . ,, , . 又, 是等腰直角三角形, . 四边形 为正方形, , , . , , 即 , , . ②当以点,,,为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出 的值. [答案] 3或1. [解析] 解法提示:如图（1）,当点在正方形 内部时, 四边形为平行四边形, . 是等腰直角三角形,可设 , . , , , . 39 图（1） 图（2） 如图（2）,当点在正方形外部时,点与点 重合, 此时, . 综上所述, 的值为3或1. 40 2.[2019河南，22] 在中,, .点是平面内不与点, 重合的任意一点，连接,将线段绕点逆时针旋转 得到线段 ，连接 ,, . 41 （1）观察猜想 如图（1）,当 时,的值是___,直线与直线 相交所成的较小角 的度数是_____. 1 42 [解析] 解法提示：， ， 是等边三角形， ， . 由旋转可得 ， ， 是等边三角形， , , ， ， ， , . 43 如图（1），延长，交于点，与交于点 , 图（1） 在和 中， ， ， . 44 （2）类比探究 当 时，请写出的值及直线与直线 相交所成的较小角的度数, 并就图（2）的情形说明理由. [答案] ,直线与直线相交所成的角的度数为 . 理由如下： , , , . 同理可得 , , 45 , , , 即 , , , . 设交于点,交于点 . , . （3）解决问题 当 时,若点,分别是,的中点,点在直线上,请直接写出点 , ,在同一直线上时 的值. [答案] 的值为或 . 47 [解析] 解法提示：分两种情况. ①如图（2），当点在线段 上时， .可设,则 . 设与交于点 , 则 . 可证 ，则 , 易得 , . 48 ②如图（3），当点在延长线上时，可设,则 . 易得, ， 可证 , , , . 综上所述，的值为或 . 49 $$