4.4 数学归纳法同步练习-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册
4．4 数学归纳法
4．4.1 数学归纳法(1)
一、 单项选择题
1 利用数学归纳法证明f(n)＝1＋2＋3＋4＋…＋(4n－1)时，第一步应证明( )
A. f(1)＝1 B. f(1)＝1＋2＋3
C. f(2)＝1＋2 D. f(1)＝1＋2＋3＋4
2 用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an+1＝
(a≠1，n∈N*)”，在验证n＝1是否成立时，左边应该是( )
A. 1 B. 1＋a
C. 1＋a＋a2 D. 1＋a＋a2＋a3
3 (2023北京房山区期末)用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n-1(n2＋n)(n∈N*)，从n＝k到n＝k＋1，左边需要增加的因式是( )
A. 2k＋1 B. 2(k＋1)
C. k(k＋1) D. (k＋1)(k＋1)
4 (2024上海宝山区月考)已知an＝1＋
＋
＋…＋
，则ak＋1－ak共有( )
A. 1项 B. k项
C. 2k项 D. 2k＋1项
二、 多项选择题
5 对于数学归纳法，下列说法中正确的是( )
A. 用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立
B. 数学归纳法主要用于研究与正整数有关的数学问题，但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法证明
C. 证明当n＝k＋1时命题成立用到归纳假设，即n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立
D. 不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项
6 已知f(n)＝
＋
＋
＋…＋，则下列说法中正确的是( )
A. f(n)中共有n2－n项
B. f(n)中共有n2－n＋1项
C. 当n＝2时，f(2)＝＋ 
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D. 当n＝2时，f(2)＝＋＋
三、 填空题
7 (2023全国课时练习)存在常数a，b，c使得等式1×22＋2×32＋…＋n(n＋1)2＝
(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立，则a＋b＋c＝________．
8 (2023河南专题练习)已知13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2.若13＋23＋33＋…＋n3＝3 025(n∈N*)，则n＝________．
四、 解答题
9 用数学归纳法证明：(12＋1)＋(22＋2)＋…＋(n2＋n)＝n(n＋1)(n＋2)(n为正整数).
10 是否存在常数a，b，c使等式12＋22＋32＋…＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立，若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．
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4．4.2 数学归纳法(2)
一、 单项选择题
1 (2023全国课时练习)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步归纳假设应写成( )
A. 假设n＝2k＋1(k∈N*)时正确，再推证n＝2k＋3正确
B. 假设n＝2k－1(k∈N*)时正确，再推证n＝2k＋1正确
C. 假设n＝k(k∈N*)时正确，再推证n＝k＋2正确
D. 假设n≤k时正确，再推证n＝k＋2正确
2 用数学归纳法证明“(3n＋1)·7n－1(n∈N*)能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k＋1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明能被9整除的余项是( )
A. 3·7k+1＋6 B. 3·7k＋6 C. 3·7k－3 D. 3·7k+1－3
3 对于不等式
<n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：
①当n＝1时，
<1＋1，不等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即
<k＋1，那么当n＝k＋1时，
＝
<
＝
＝(k＋1)＋1，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据①和②，可知对于任何n∈N*，不等式均成立．
则下列结论中正确的是( )
A. 过程全部正确 B. n＝1验得不正确
C. 归纳假设不正确 D. 从n＝k到n＝k＋1的证明过程不正确
4 用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋
<n(n∈N*，n>1)时，第二步证明中从“k到k＋1”左边增加的项数是( )
A. 2k＋1 B. 2k－1 C. 2k-1 D. 2k
二、 多项选择题
5 (2023全国课时练习)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么下列命题中不成立的是( )
A. 若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
B. 若f(5)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
C. 若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立
D. 若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
6 已知正项数列{an}满足an＋1＜an－a
(n∈N*)，则下列可用数学归纳法证明的正确的猜想是( )
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