精品解析：陕西省咸阳市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

试卷类型：A（北师大版） 2024～2025学年度第二学期期中调研试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2.答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（ ） A. 5.5 B. 2.5 C. 3 D. 2 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，将沿着BC的方向平移得到，连接，若，则的周长为（ ） A. 24 B. 20 C. 36 D. 16 8. 如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点．下列结论：①为等腰三角形；②；③，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为点，则点的坐标为______． 10. 在中，，，则的长度为__________． 11. 如图，将沿射线方向平移得到，点，，的对应点分别为，，，若，，则的长为______． 12. 一次函数（、均为常数，且）的图象如图所示，那么关于的不等式的解集是______． 13. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解一元一次不等式组 15. 如图所示，是由沿箭头方向平移得到的． （1），求的度数； （2）若，求，的长． 16. 对于任意实数，，定义一种新运算：⊕，等式右边通常是加减运算，例如：3⊕．若⊕，求的取值范围． 17. 如图，与关于点C成中心对称，，求的长． 18. 如图，，是边上一点，连接．若，求证：是等腰三角形． 19. 如图，一次函数（为常数）的图象经过点．结合函数图象，求出关于的不等式的解集． 20. 如图，，两村坐落在两条相交公路，旁，现计划在锐角内新建一所学校，学校的位置必须满足下列条件：①到两公路，的距离相等；②到，两村的距离也相等. 请确定该学校的位置（要求尺规作图并保留作图痕迹，不要求写出画法）． 21. 如图，在和中，点、、、在一条直线上，，于点，于点，．求证：． 22. “稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．稻花香大米的米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种类型的稻花香大米，已知甲种类型稻花香大米每千克20元，乙种类型稻花香大米每千克16元．若该超市准备采购甲、乙两种类型稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种类型稻花香大米多少千克？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出向左平移个单位长度后得到的（点的对应点分别是点） （2）请画出关于原点对称的（点的对应点分别是点） 24. 如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 25. 某企业急需一辆汽车，但无资金购买，公司经理决定租一辆汽车并要配备一名司机，使用期限为一个月．甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为元，不需要给司机支付费用；乙汽车出租公司的条件是每月需给司机支付800元的工资，另外每千米的租车费为1元．设在这一个月中汽车行驶的路程为，租用甲公司汽车的费用为（元），租用乙公司汽车的费用为（元）． （1）分别写出，与之间的函数关系式； （2）当汽车行驶路程为多少千米时，租用乙公司的汽车合算？ 26. 【问题背景】 同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （）如图，为等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接，是的中点，连接，求证：； 【迁移探究】 （）如图，将（）中的等边绕点逆时针旋转，得到，连接，是的中点，连接，求出此时的度数及与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A（北师大版） 2024～2025学年度第二学期期中调研试题（卷） 八年级数学 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2.答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，关键掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A错误，不符合题意； B．不是中心对称图形，故B错误，不符合题意； C．不是中心对称图形，故C错误，不符合题意； D．是中心对称图形，故D正确，符合题意． 故选：D． 2. 在中，，，，则（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 3. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．利用旋转的性质即可求出角的度数． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴旋转角为，与是对应边， ∴， 故选：B． 4. 若，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：因为，根据不等式的基本性质3，得，再根据不等式的基本性质1，得，所以A符合题意； 因为，根据不等式的基本性质1，得，所以B不符合题意； 因为，当时，得不成立，所以C不符合题意； 因为，根据不等式的基本性质3，得，所以D不符合题意． 故选：A． 5. 如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（ ） A. 5.5 B. 2.5 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，，即可求解． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 故选：A． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，判断即可． 【详解】解：解，得：， 在数轴上表示解集如图： 故选D． 7. 如图，在中，，，，将沿着BC的方向平移得到，连接，若，则的周长为（ ） A. 24 B. 20 C. 36 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质和判定，熟知以上知识点是解题的关键． 由的长度结合，判断的形状，得的长度，可得的周长． 【详解】解：由平移可知：， ， ， ， ∴是等边三角形 ， ∴的周长为：， 故选：A． 8. 如图，中，，，将绕点顺时针旋转得到，当点、、三点共线时，旋转角为，连接，交于点．下列结论：①为等腰三角形；②；③，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，根据旋转的性质得到，可判断①，求得，可判断②，求得，可判断③，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴为等腰三角形，故①符合题意； ∵， ∴，即 ∴， ∴，故②不符合题意； ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③符合题意， ∴符合题意的有， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答即可，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为点， ∴点的坐标为， 故答案为：． 10. 在中，，，则的长度为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等角对等边，根据在中，，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：2． 11. 如图，将沿射线方向平移得到，点，，的对应点分别为，，，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据题意得出，再根据平移的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿射线方向平移得到， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 一次函数（、均为常数，且）的图象如图所示，那么关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是通过图象能够判定出不等式的解集． 从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：根据直线图象可得当时，， ∴当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，由题意可得，即得，，进而由旋转得为等边三角形，得到，即得，得到为等边三角形，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解一元一次不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组， 先分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． 所以不等式组的解集是． 15. 如图所示，是由沿箭头方向平移得到的． （1），求的度数； （2）若，求，的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）根据平移的性质即可得到结论； （2）根据平移的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：是由沿箭头方向平移得到的，， ． 【小问2详解】 解：是由沿箭头方向平移得到的， ． 16. 对于任意实数，，定义一种新运算：⊕，等式右边通常是加减运算，例如：3⊕．若⊕，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，理解题意并列得正确的不等式是解题的关键．根据定义的新运算列得关于的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：⊕， ⊕， ⊕， ， 解得：． 17. 如图，与关于点C成中心对称，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称、勾股定理，熟记中心对称图形的性质是解题关键．根据中心对称图形的性质可得三点共线，再利用勾股定理即可得． 【详解】解：与关于点C成中心对称， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18. 如图，，是边上一点，连接．若，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和等腰三角形的判定，以及平行线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用全等三角形的性质得出，利用平行线的性质得出，进而利用等量代换得出即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，一次函数（为常数）的图象经过点．结合函数图象，求出关于的不等式的解集． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系．将点的坐标代入中，求出解析式，再令，得，求出一次函数的图象与直线交于点，观察图象即可求解． 【详解】解：由题意将点的坐标代入中， 得：， 故一次函数的解析式为：， 令，得， 解得：， 即一次函数的图象与直线交于点， 观察图象可知：    关于的不等式的解集为． 20. 如图，，两村坐落在两条相交公路，旁，现计划在锐角内新建一所学校，学校的位置必须满足下列条件：①到两公路，的距离相等；②到，两村的距离也相等. 请确定该学校的位置（要求尺规作图并保留作图痕迹，不要求写出画法）． 【答案】 如图，作的平分线、的垂直平分线，两线的交点为P， 学校的位置即为所求． 【解析】 【分析】的平分线与的垂直平分线的交点，即是所求的P点． 【详解】 证明：∵点在的平分线上， ∴点到的两边，的距离相等，即到两公路，的距离相等， ∵点在的垂直平分线上， ∴点到点，的距离相等，即到，两村的距离也相等， ∴点满足要求． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，角平分线的尺规作图的作法，垂直平分线的性质以及其尺规作图的作法等知识，掌握角平分线的性质定理是解答本题的关键． 21. 如图，在和中，点、、、在一条直线上，，于点，于点，．求证：． 【答案】 证明：∵点、、、在一条直线上，， ∴，即， ∵于点，于点， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，根据已知得出，进而根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 22. “稻花香里说丰年，听取蛙声一片”．稻花香大米的米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种类型的稻花香大米，已知甲种类型稻花香大米每千克20元，乙种类型稻花香大米每千克16元．若该超市准备采购甲、乙两种类型稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种类型稻花香大米多少千克？ 【答案】超市最多采购甲种类型稻花香大米千克． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设超市采购甲种类型稻花香大米千克，则乙种类型稻花香大米大米采购千克，依题意列出不等式，求解即可，掌握一元一次不等式的应用是解题的关键． 【详解】解：设超市采购甲种类型稻花香大米千克，则乙种类型稻花香大米大米采购千克，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：超市最多采购甲种类型稻花香大米千克． 23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）请画出向左平移个单位长度后得到的（点的对应点分别是点） （2）请画出关于原点对称的（点的对应点分别是点） 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握平移的性质，中心对称的性质是关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据关于原点对称的性质作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，点在内部，连接、、，，，点在外部，连接、、，，． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：， ，即， ，且由（1）得， ， ， 在和中， ， ， ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定定理． （1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形判定出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解； （2）根据给出的条件判定出，得到，进而可得结论． 【小问1详解】 解：，， 是等边三角形， ； 【小问2详解】 略 25. 某企业急需一辆汽车，但无资金购买，公司经理决定租一辆汽车并要配备一名司机，使用期限为一个月．甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为元，不需要给司机支付费用；乙汽车出租公司的条件是每月需给司机支付800元的工资，另外每千米的租车费为1元．设在这一个月中汽车行驶的路程为，租用甲公司汽车的费用为（元），租用乙公司汽车的费用为（元）． （1）分别写出，与之间的函数关系式； （2）当汽车行驶路程为多少千米时，租用乙公司的汽车合算？ 【答案】（1），； （2）当汽车行驶路程大于千米时，租用乙公司的汽车合算． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意即可得出，与之间的函数关系式； （2）根据题意，当时，租用乙公司的汽车合算，列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：依题意得：，； 【小问2详解】 解：当时，租用乙公司的汽车合算， ∴， 解得：， 答：当汽车行驶路程大于千米时，租用乙公司的汽车合算． 26. 【问题背景】 同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （）如图，为等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接，是的中点，连接，求证：； 【迁移探究】 （）如图，将（）中的等边绕点逆时针旋转，得到，连接，是的中点，连接，求出此时的度数及与的数量关系． 【答案】（）证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， 即三点共线， ∵是的中点， ∴为的中位线， ∴； （）， 【解析】 【分析】（）由旋转的性质可得，三点共线，进而由是的中点得为的中位线，即可求证； （）由等边三角形和旋转的性质得，，，即得，得到是等腰直角三角形，得，进而得，再根据等腰直角三角的性质得，即得到，即可求解． 【详解】（）略 （）解：∵为等边三角形， ∴，， 由旋转可得，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $