第28讲不等式(组)与方程(组)的综合应用 培优讲义 2024-2025学年人教版七年级数学下册

不等式(组)与方程(组)的综合应用 方法技巧 1.方程组或不等式出现字母系数时可将字母当数字，解方程组或不等式的参数解. 2.解决不等式(组)或方程(组)的问题可运用整体思想、转化思想、消元思想. 题型一 运用整体思想解决问题 【例1】 若方程组 的解为x,y,且2<k<4,则x-y的取值范围是( ) B.0<x-y<1 C.-3<x-y<-1 D.-1<x-y<1 【练1】 已知关于x、y的方程组 的解满足不等式2x-y>1，求a的取值范围. 题型二 运用转化思想解决问题 【例2】 若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x>y，求m的取值范围. 【练2】 已知x、y同时满足三个条件:①3x-2y=4-p,②4x-3y=2+p,③x>y,则( ) A. p>-1 B. p<1 C. p<-1 D. p>1 题型三 运用消元思想解决问题 【例3】 若2a+b=12,其中a≥0,b≥0,又 P=3a+2b.试确定 P 的最小值和最大值. 【练3】 若x+y+z=30,3x+y-z=50,x、y、z皆为非负数,求M=5x+4y+2z的取值范围. 题型四 求方程组的参数解来解决问题 【例4】若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x>1,y≤1,其中a是满足条件的最小整数，求. 的值. 【练4】在关于x,y的方程组 中，未知数满足x≥0，y>0，那么m的取值范围在数轴上应表示为( ) 题型五 方程组与不等式组的综合运用 【例5】 已知关于x，y的方程组的解满足不等式组 求满足条件的m的整数值. 【练5】已知关于x，y的方程组 的解满足 求整数k的值. 针对练习3 1.已知关于x，y的方程组 其中 ，给出下列说法：①当a=1时，方程组的解也是方程. 的解；②当 时，x，y的值互为相反数；③若. 则 y≤4;④ 是方程组的解.其中说法错误的是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若点 P(x，y)是平面直角坐标系xOy中第四象限内的一点，且满足 ，则m的取值范围是 . 3.已知x、y满足| 且 ，求a的取值范围. 4.若关于x，y的二元一次方程组 (1)若x+y=1,求a的值为 . (2)若-3≤x--y≤3,求a的取值范围. (3)在(2)的条件下化简|a|+|a--2|. 5.若关于x的方程 的解也是不等式组 的一个解，求m的取值范围. 6.若关于x，y的二元一次方程组 的解满足不等式组 求出整数a的所有值. 不等式(组)与方程(组)的综合应用 方法技巧 1.方程组或不等式出现字母系数时可将字母当数字，解方程组或不等式的参数解. 2.解决不等式(组)或方程(组)的问题可运用整体思想、转化思想、消元思想. 题型一 运用整体思想解决问题 【例1】 若方程组 的解为x,y,且2<k<4,则x-y的取值范围是( ) B.0<x-y<1 C.-3<x-y<-1 D.-1<x-y<1 【分析】 根据方程组中两方程的系数特点,可将两方程相减得:2x-2y=k-2,由此得k=2(x-y+1),∵2<k<4,∴2<2(x-y+1)<4,即1<x-y+1<2,故0<x-y<1. 【解答】 选B. 【练1】 已知关于x、y的方程组 的解满足不等式2x-y>1，求a的取值范围. 【解答】 题型二 运用转化思想解决问题 【例2】 若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x>y，求m的取值范围. 【分析】 由x>y可转化为x-y>0，再依据二元一次方程组可将x-y表示出来，即可得到m的取值范围. 【解答】 由二元一次方程组 可得①-②:x-y=2m+7. ∵x>y,∴x-y>0,∴2m+7>0,∴m>- 【练2】 已知x、y同时满足三个条件：(:①3x-2y=4-p,②4x-3y=2+p,③x>y,则( D ) A. p>-1 B. p<1 C. p<-1 D. p>1 题型三 运用消元思想解决问题 【例3】 若2a+b=12,其中a≥0,b≥0,又P=3a+2b.试确定 P 的最小值和最大值. 【分析】 由二元一次方程表示出b，从而消去b，确定出a的范围以及得出p=24-a是解题的关键. 【解答】 ∵2a+b=12,∴b=12-2a, ∵b≥0,∴b=12-2a≥0,∴a≤6. ∵a≥0,∴0≤a≤6. 将b=12-2a代入P=3a+2b得:P=3a+2(12-2a)=24-a. 当a=0时,P有最大值,最大值为 P=24. 当a=6时,P有最小值,最小值为 P=18. 【练3】 若:x+y+z=30,3x+y-z=50,x、y、z皆为非负数,求M=5x+4y+2z的取值范围. 【解答】 120≤M≤130 题型四 求方程组的参数解来解决问题 【例4】 若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x>1,y≤1,其中a是满足条件的最小整数，求 的值. 【分析】 先求出方程组 的解，再根据x>1，y≤1列出关于a的不等式组，解不等式组求出-1<a≤8，则满足条件的最小整数a=0，然后代入计算即可. 【解答】 解方程组 ∵x>1,y≤1, 解得-1<a≤8, ∴满足条件的最小整数 【练4】在关于x,y的方程组 中，未知数满足x≥0，y>0，那么m的取值范围在数轴上应表示为( C ) 题型五 方程组与不等式组的综合运用 【例5】 已知关于x，y的方程组的解满足不等式组 求满足条件的m的整数值. 【分析】 此题关键是用含m的式子表示x，y，可以直接求x，y的参数解，也可以运用整体思想表示3x+y与x+5y.根据方程组可得 再解不等式组，确定出整数解即可. 【解答】 ①+②得:3x+y=3m+4, ②-①得:x+5y=m+4, ∵不等式组 解不等式组得： 则m的整数值为-3,-2. 【练5】已知关于x，y的方程组 的解满足 求整数k的值. 【解答】 整数k的值为1，2. 针对练习3 1.已知关于x，y的方程组 其中-3≤a≤1，给出下列说法：①当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a的解;②当a=-2时,x,y的值互为相反数;③若x≤1,则1≤y≤4;( 是方程组的解.其中说法错误的是( A ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若点 P(x,y)是平面直角坐标系xOy中第四象限内的一点,且满足2x-y=4,x+y=m,则m的取值范围是 -4<m<2 · 3.已知x、y满足 且x<3y-1,求a的取值范围. 【解答】 4.若关于x，y的二元一次方程组 (1)若x+y=1,求a的值为 . (2)若-3≤x-y≤3,求a的取值范围. (3)在(2)的条件下化简|a|+|a-2|. 【解答】 (1) ;(2)0≤a≤2;(3)2. 5若关于x的方程 的解也是不等式组 的一个解，求m的取值范围. 【解答-26<m≤6. 6.若关于x，y的二元一次方程组 的解满足不等式组 求出整数a的所有值.【解答】 。整数a的所有值为-1、0、1、2、3. 学科网（北京）股份有限公司 $$