9.1.2 分层随机抽样 教案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册
“分层随机抽样”是统计学中重要的抽样方法，在数据收集环节占据关键地位。它是在简单随机抽样基础上的拓展，适用于总体由差异明显的几部分组成的情况。通过学习分层随机抽样，学生能进一步理解抽样的科学性与合理性，完善抽样方法的知识体系，提升数据分析和处理能力，为后续学习统计推断、数据分析等内容奠定坚实基础，同时也有助于学生更好地理解和解决实际生活中的各类抽样问题，如市场调研、民意调查等。
学生在学习本节课之前，已掌握简单随机抽样的概念、特点和方法，对抽样调查有了初步认识，具备一定的数据收集和处理能力。但分层随机抽样涉及到对总体的分层和样本量的分配，概念和操作相对复杂，学生可能在理解分层的依据、样本量比例分配的原理以及与简单随机抽样的区别联系等方面存在困难。此外，在计算分层抽样中各层样本量以及总体平均数的估计时，也可能出现计算错误或原理理解不清的情况。不过，学生已有的知识基础为学习本节课提供了支撑，教师可引导学生通过实例分析、对比探究等方法，逐步掌握本节课的内容。
- 数学抽象素养：从实际问题中抽象出分层随机抽样的概念，理解其本质特征，提升从具体到抽象的思维能力。
- 逻辑推理素养：掌握分层随机抽样的实施步骤和样本量分配原理，能够根据实际情况进行合理的抽样设计和逻辑推理，培养逻辑思维能力。
- 数学运算素养：准确计算分层抽样中各层的样本量，以及运用分层随机抽样的方法估计总体平均数，提高运算能力和对数学公式的运用能力。
- 数据分析素养：理解分层随机抽样在提高样本代表性方面的作用，能够运用分层随机抽样方法收集和分析数据，培养数据分析意识和能力。
- 数学应用意识：体会分层随机抽样在实际生活中的广泛应用，增强数学应用意识，学会用数学方法解决实际问题，提高实践能力。
- 重点：分层随机抽样的概念、特点、实施步骤，样本量的比例分配方法，以及分层随机抽样中总体平均数的估计。
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- 难点：理解分层随机抽样的适用条件和样本量比例分配的合理性，掌握分层随机抽样与简单随机抽样的区别和联系，并能在实际问题中正确选择抽样方法。
讲授法、讨论法、练习法相结合
- 引导学生回顾简单随机抽样的概念、特点和常用方法，提问学生简单随机抽样的定义、特点（总体个数有限、逐个进行抽取、机会均等抽样）以及常用方法（抽签法、随机数表法），随机抽取学生回答，强化学生对已学知识的记忆。
- 提出问题：简单随机抽样在抽样过程中可能会出现什么问题？引导学生思考在对树人中学高一年级学生身高调查中，简单随机抽样可能出现样本中大部分个体来自高个子或矮个子的“极端”样本，导致估计出现较大误差的情况，从而引出本节课要学习的分层随机抽样方法。
学生活动：学生独立思考后，举手回答问题，其他同学可进行补充和纠正。
设计意图：通过回顾旧知，巩固学生对简单随机抽样的理解，同时通过问题引导，引发学生对简单随机抽样局限性的思考，为引出分层随机抽样做好铺垫，激发学生的学习兴趣。
- 展示在树人中学高一年级学生身高调查中，采取简单随机抽样抽取50名学生的案例，提出一系列问题：
(1) 抽样调查最核心的问题是什么？（参考答案：样本代表性）
(2) 会不会出现样本中50个个体大部分来自高个子或矮个子的情形？（参考答案：会）
(3) 为什么会出现这种“极端样本”？（参考答案：抽样结果的随机性以及个体差异较大）
(4) 如何避免这种“极端样本”？（参考答案：分组抽样，减少组内差距）引导学生讨论并回答，让学生认识到简单随机抽样的局限性，以及改进抽样方法的必要性。
学生活动：学生以小组为单位进行讨论，每个小组推选一名代表进行发言，分享小组讨论的结果。
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设计意图：通过小组讨论，培养学生的合作交流能力和自主探究能力，让学生在讨论中深入思考简单随机抽样的问题，为理解分层随机抽样的原理奠定基础。
- 给出树人中学高一年级学生中男生和女生的人数，以及假设某地区不同学段学生人数和调查任务，让学生思考样本量在不同群体中应如何分配，引发学生对分层随机抽样的思考和探究欲望。
学生活动：学生在练习本上尝试计算不同群体的样本量分配，然后同桌之间交流计算方法和结果。
设计意图：让学生通过实际计算，初步感受分层随机抽样中样本量分配的过程，激发学生对分层随机抽样方法的探索兴趣。
- 分层随机抽样的概念：
讲解分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层。强调分层随机抽样的关键要素，如分层的依据、各层独立抽样、合并样本等。
通过实例，如调查某学校不同年级学生的学习情况，解释如何将总体按年级分层，然后在各层中进行抽样，让学生理解分层随机抽样的操作过程。
学生活动：让学生举例说明生活中可以用分层随机抽样的场景，如调查不同收入群体的消费习惯等，然后在小组内交流分享。
设计意图：通过让学生举例，加深学生对分层随机抽样概念的理解，提高学生将实际问题转化为数学模型的能力，同时培养学生的合作交流能力。
- 样本量的比例分配：
介绍在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配。讲解每一层抽取的样本数的计算公式：每一层抽取的样本数 = 该层个体数/总体个体数×总样本量（即抽样比例×该层个体数） 。通过具体数据，如某地区高中生2400人，初中生10900人，小学生11000人，要抽取1%的学生进行调查，计算各学段应抽取的样本量，让学生掌握比例分配的计算方法。
学生活动：学生根据给定的数据，独立计算各层应抽取的样本量，然后请几位学生上台展示计算过程，其他同学进行评价和讨论。
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