23 矩形、菱形和正方形课件 2025年中考数学专题复习精讲（河南）

第五章 四边形 矩形、菱形和正方形 1 考点1 矩形、菱形和正方形的性质 重点 名 称 图形 边 角 对角线 对称性 面积和周长 矩 形 _____________________________ 对边 平行 且相 等. 四个 角都 是① ____ __. 两条对角线 互相平分且 ②______. 既是中心对 称图形，又 是轴对称图 形,有③___ 条对称轴. 面积 ④____,周 长 ⑤________ ___（， 分别表 示矩形的长和 宽）. 直角 相等 2 2 名 称 图形 边 角 对角线 对称性 面积和周长 菱 形 ______________________________________ 对边 平 行、 四条 边都 ⑥___ ___. 对角 相 等. 两条对角线 互相垂直⑦ ______，且 每一条对角 线平分一组 对角. 既是中心对 称图形，又 是轴对称图 形,有⑧___ 条对称轴. 面积底×高 ⑨_ _____ （， 分别表示 两条对角线的 长）,周长 边 长 . 相等 平分 2 续表 3 名 称 图形 边 角 对角线 对称性 面积和周长 正 方 形 __________________________ 对边 平 行、 四条 边都 ⑩___ ___. 四个 角都 是 ⑪ ____ __. 两条对角线 互相垂直平 分且⑫ ______，每 条对角线平 分一组对 角. 既是中心对 称图形，又 是轴对称图 形,有⑬___ 条对称轴. 面积⑭____ ⑮_ ___，周长 ⑯____ （表示边长, 表 示对角线的长）. 相等 直角 相等 4 续表 4 考点2 矩形、菱形和正方形的判定 重点 1.矩形的判定 5 2.菱形的判定 6 3.正方形的判定 7 8 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系 9 考点3 中点四边形 1.定义：依次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形. 2.常见结论 原图形 中点四边形 任意四边形 平行四边形 矩形 菱形 菱形 矩形 正方形 正方形 对角线相等的四边形 菱形 对角线垂直的四边形 矩形 对角线垂直且相等的四边形 正方形 10 基础题过考点 考点1→ 1.一题多问 已知四边形的对角线交于点 . （1）若四边形 是矩形， ， ，如图（1）， 则： _____ ； 120 2 的长为___； 的长为_____； 的面积为____. 11 （2）若四边形 是菱形,如图（2）. ①若 ，则_____ . ②若, ，则 的长为___. ③易错点（根据对角线长度求菱形面积出错）若, ,则菱形 的面积为____，周长为______. 100 6 36 （3）若四边形是正方形， ，如图（3），则: ____ ; 的长为_ ____; 的长为_____; 正方形 的面积为____. 45 12 考点2→ 2.一题多问如图,四边形的对角线交于点，点在四边形 外部， 且, . （1）四边形 的形状为____________； （2）若四边形是矩形，则四边形 的形状为______； （3）若四边形是菱形，则四边形 的形状为______； （4）若四边形是正方形，则四边形 的形状为________. 平行四边形 菱形 矩形 正方形 13 课时一 矩形 命题角度1 与矩形有关的证明与计算 例1 人教八下复习题改编 在四边形中，对角线，相交于点 . （1）若增加下列条件中的一个，可使四边形 是矩形，则这个条件可以 是________（填写序号）. ；②四边形 是平行四边形， ;;,, ; , . ①③④ 14 （2）若四边形为矩形，如图，过点 作的平行线，交的延长线于点 ． ①求证： ； 证明：在矩形中，， ， ． 又 ， 四边形 是平行四边形, ， ． 15 ②连接，若，，求 的长． [答案] 如图，过点作于点 . 四边形 是矩形， ， ， 由①知四边形是平行四边形， . 又 , , , ． 16 【思路点拨】 （2）①根据矩形的性质可得，，再结合 ,可证得四 边形是平行四边形，进而得到 ，从而得证； ②过点作于点，欲求，只需求出， 的值，再结合勾股 定理，求解即可． 【自主解答】 17 提分特训 1.[2024长沙中考] 如图,在中,对角线, 相交于点 ， . （1）求证: ; 证明:因为四边形是平行四边形,且 , 所以四边形 是矩形, 所以 . 18 （2）点在边上,满足.若,,求 的长及 的值. [答案] 在中, . 所以 . 因为 , 所以 . 19 如图，过点作于点 . 因为四边形是矩形,所以 , 所以 , 所以 . 在中, , 所以 . 20 例2 如图，在矩形中，为 的中点，连接 ，为的中点，连接, . （1）分别记的面积为，矩形的面积为 ，则 __； [解析] 为的中点，为的中点， ， ， .又 ， . 21 （2）经过点的直线分别交,,于点，,.若，则 的值为__. [解析] 如图，延长交的延长线于点 ，易 证，， ， ， ，， , ,,, . 22 提分特训 （第2题） 2.[2024包头中考] 如图，在矩形中，，是边 上的两点，且，连接，，与 相交于点，连接．若，，则 的值为( ) A A. B. C. D. 23 [解析] 四边形是矩形，， , ，， ， ，，和 均是等腰直 角三角形， ， , 是等腰直角 三角形.如图，过点作于点,则， ， ， . 24 （第3题） 3.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点 在 第一象限，点，在轴上，原点 为对角线的交 点，交轴于点，轴，垂足为 ．若 ，，则点 的坐标是( ) C A. B. C. D. [解析] 易证， .设 ，则 ，根据矩形的性质可得 .在中，，即 ， 解得（负值已舍去），， 点D的坐标是 . 25 4.如图，在矩形中，， ，将线段 绕点顺时针旋转，得到线段 ，连 接,，当 时，线段 的长为________. 3或 26 [解析] 如图（1），连接， ， ， ， ， ， .作 关 于直线的对称图形，得到 ,则 ， ， , .分两种情况讨论.①当点在 上方， 且 时，点落在 上，如图 （2）.∵BP=BA，， 是等边三角形， .②当 点在下方，且 时，点落在 上，如图（3）. 27 ， ，是等边三角形， ， ，.又 ， ，，.综上可知，的长为3或 . 课时二 菱形 命题角度2 与菱形有关的证明与计算 例3 [2024南充中考改编] 如图,在等腰三角形中,,点为 边的 中点,过点作交的延长线于点,连接 . 29 （1）求证:四边形 是菱形. 证明：， . 为的中点， . 又, ， , 四边形 是平行四边形. 又 ， 平行四边形 是菱形. 【自主解答】 30 （2）延长至点，使．连接 ． ①求证： ； 证明： 四边形 是菱形， , , . 又 ， ， . 31 ②连接,若，，求 的长． [答案] 由①知 . 又 , 四边形 是平行四边形， . 四边形 是菱形， , . 由①知 , , 32 可设, , , , ，,, , . 提分特训 （第5题） 5.[2024河南省实验三模] 如图，在矩形 中， ，作的垂直平分线，分别与， 交于 点，，连接，.若，则边 的 长为( ) B A. B. C. D. 34 [解析] 如图，记交于点 ， ，.又 ， ，， ， .又， .又 ，， ， ， ， ， . 35 6.[2024包头中考] 如图，在菱形中， ，， 是一 条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接 .若 ，则 的长为_____. （第6题） 36 7.人教八下例3改编 如图，平行四边形的对角线与相交于点 ， ，是线段上的两点，连接，，，， ． 37 （1）求证：四边形 是平行四边形． 证明： 四边形 是平行四边形， ，，， , ． 又 ， ， ， ，即 ， 四边形 是平行四边形． 38 （2）从下列条件：平分， ， 中选择一 个合适的条件添加到题干中，使得四边形 为菱形．这个条件是____ （请填写序号），并证明． 39 [答案] 答案一：① 证明：平分 ， . 由（1）知四边形 是平行四边形， , ， ， , 平行四边形 是菱形. 答案二：③ 证明： 四边形是平行四边形， ， 平行四边形 是菱形， 40 ． 由（1）知四边形 是平行四边形， 平行四边形 是菱形． （写出其中一种答案即可） 课时三 正方形 命题角度3 与正方形有关的证明与计算 例4 综合与实践 问题情境：如图，在正方形 中， 点为对角线上一动点，连接 ，过 点作，交直线于点 ，以 ，为邻边作矩形，连接． 42 猜想证明： （1）求证：四边形 是正方形． 图（1） 证明：如图（1），过点分别作 于点 ，于点，则 . 四边形 是正方形， ， ， ， . 又 ， ， ， . 又四边形 是矩形， 四边形 为正方形． 43 解决问题： （2）求 的度数． [答案] 四边形 为正方形， ， ． 四边形 是正方形， ， , , , , ． 44 （3）已知，，请直接写出 的长． [答案] . 图（2） [解析] 解法提示：如图（2），过点作 ， 交于点，则， ， . ， .又 ， ， .由（2）知 ， , ， . 45 【思路点拨】 （1）证明 ，即可得证. （2）证明 ，即可得解. （3）利用全等三角形之间的等量关系进行转化，即可得解. 【自主解答】 46 正方形常见的基本图形归纳 47 提分特训 8.[2024北京中考] 如图，在正方形中，点在 上， 于点，于点.若， ，则 的面积为_ __. [解析] 如图， ， ， .又 ， ， ， ， ，， , ， . 48 9.[2023绍兴中考] 如图，在正方形中， 是对 角线上的一点（与点,不重合）， , ,垂足分别为,.连接,，延长交 于点 . （1）求证： . 证明:在正方形中,, , , . 49 （2）判断与 是否垂直，并说明理由. [答案] 与 垂直. 理由如下： 如图，连接交于点 . 为正方形 的对角线, ， 50 又, , , . 在正方形中, . 又,, 四边形 为矩形, ,, . 由（1）得, , , , . 一图串考法 52 考法1 矩形的性质与判定（8年5考） 1.[2023河南,15] 矩形中，为对角线的中点，点在边 上，且 ．当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时， 的长 为___________． 2或 53 [解析] 分析如下： 当 时 当 时 图 示 __________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ 54 当 时 当 时 分 析 ， ， ．又 ， ， ． 连接，在 中， ， ， . 点是 的中点， ， 直线 垂直平分线 段， ， . 综上可知，的长为2或 . 续表 55 2.[2019河南,15] 如图，在矩形中，, ， 点在边上，且.连接，将沿 折叠, 若点的对应点落在矩形的边上,则 的值为_ _____. 或 56 [解析] 分两种情况讨论：①当点落在边 上时，如图（1），则四边形 是正方 形，，即， ；② 当点落在边 上时，如图（2），易证 ，，即 ， , . 综上可知，的值为或 . 57 考法2 菱形的性质与判定（8年7考） 3.[2022河南，5] 如图,在菱形中,对角线, 相交于 点,点为的中点.若,则菱形 的周长为( ) C A.6 B.12 C.24 D.48 [解析] 四边形为菱形，， .又 ，是的中位线， ， ，故选C. 58 4.[2021河南，6] 关于菱形的性质,以下说法不正确的是( ) B A.四条边相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形 [解析] 菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形.菱形的四条边相等，对角 线互相垂直且平分，但菱形的对角线不一定相等.故选B. 59 5.[2017河南，7] 如图，在中，对角线， 相 交于点，添加下列条件不能判定 是菱形的只有 ( ) C A. B. C. D. [解析] 若添加A中的条件，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，可 得 是菱形；若添加B中的条件，根据“邻边相等的平行四边形是菱形”， 可得 是菱形；若添加C中的条件，根据“对角线相等的平行四边形是 矩形”，可得 是矩形，而不是菱形；若添加D中的条件，根据“一条对 角线平分一组对角的平行四边形是菱形”，可得 是菱形.故选C. 60 考法3 正方形的性质与判定（必考） 6.[2020河南，14] 如图,在边长为的正方形中,点,分别是边 , 的中点,连接,,点,分别是,的中点,连接,则 的长度为___. 1 61 [解析] 如图，连接并延长交于点，设点为 的 中点，易知是的中位线，直线 ， .连接，又为的中点，是 的中位线，则， ， ， ， ， . 62 $$