22 平行四边形与多边形课件 2025年中考数学专题复习精讲（河南）

第五章 四边形 平行四边形与多边形 1 考点1 平行四边形重点 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.性质与判定 性质 字母表示 （如图） 判定方法 _____________________________________________________________________ 边 两组对 边分别 平行 ①___ , ②___ 两组对边分别 ③_______的四边形 是平行四边形 （定义法）. // // 平行 2 性质 字母表示 （如图） 判定方法 _____________________________________________________________________ 边 两组对 边分别 ④_____ ， 两组对边分别 ⑤_______的四边形 是平行四边形. 一组对边⑥________ _____的四边形是平 行四边形. 相等 相等 平行且相等 续表 3 性质 字母表示 （如图） 判定方法 _____________________________________________________________________ 角 两组对 角分别 ⑦_____ ⑧___ , ⑨___ 对 角 线 对角线 互相 ⑩_____ ， 对角线互相⑪ ______的四边形是平 行四边形. 相等 平分 平分 续表 4 3.平行四边形的对称性 平行四边形是⑫______对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 4.平行四边形的面积 如上图，⑬________ . 中心 5 证明一个四边形是平行四边形的思路 （1）<m></m> （2）<m></m> （3）若图中有对角线——证对角线互相平分. 6 考点2 多边形 边形 ，且 为整数 内角和定 理 边形的内角和为⑭______________. 外角和定 理 边形的外角和为⑮______. 对角线 过 边形的一个顶点可以引⑯________条对 角线，这些对角线把边形分成 个三角形， 边形共有 条对角线. 7 考点3 正多边形 正 边形 ， 且 为整数 边、角 正多边形的各边相等，各角相等. 内角、外 角 正边形的每一个内角为 ，每一个外角为 ⑰_____. 外接圆、 内切圆 正 边形有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心 圆. 对称性 （1）正 边形有⑱___条对称轴； （2）当为奇数时，正 边形是轴对称图形，但不 是中心对称图形；当为偶数时，正 边形既是轴对 称图形，又是中心对称图形. 8 基础题过考点 考点1→ 1.一题多问 如图，在中，对角线与交于点，点为 的中 点，平分 . （1）若 ，则 ____ ． 126 （2）若， . ① ___. 3 ②比 的周长小___. ③若 ，则______, _ ___. 2 9 （3）若，，则 的长可能是____________________________ _____.（写出一个即可） （4）若 ，则____ . （5）若，，则 的周长为____. 5（答案不唯一，大于1小于7即可） 65 22 10 考点1→ 2.已知四边形 . 图（1） （1）如图（1），若,添加下列条件中的一个:; ; ;; .能使四边形 成为平行四边 形的是__________（填上所有符合要求的条件的序号）. ①③④⑤ 11 （2）如图（2），在四边形中，,交于点,点,分别在, 上， 连接, . ①若,，，且,求证：四边形 是平行 四边形． 证明：， ， . 又, , , ， , 四边形 是平行四边形． 图（2） 12 ②连接, . A.若,,求证：四边形 是平行四边形. B.若四边形是平行四边形，且,分别平分, ,求证：四边 形 是平行四边形. [答案] A.证明： ， , . 又 , , . 又 , 四边形 是平行四边形. 13 B.证明： 四边形 是平行四边形， ,, . ,分别平分, , , , . 又 ， , , 四边形 是平行四边形. 14 考点2，3→ 3.一题多问 图（1）为正五边形，图（2） 为正六边形. （1）图（1）的内角和为_____ ，图（2） 的外角和为_____ . 540 360 （2）图（1）的中心角的度数为____ ,将图（1）绕着其中心至少旋转____ 可与原图形重合. （3）图（2）有___条对称轴. （4）若图（2）的边长为2，则其对角线的长度为________. 72 72 6 4或 15 命题角度1 平行四边形的判定与性质 例1 人教八下练习改编 如图，在中，对角线与相交于点 ， 点，分别为，的中点，连接， ． 16 （1）线段与 的数量与位置关系是__________________，并说明理由. ， [答案] 理由：连接, , 四边形是平行四边形，对角线与相交于点 ， ， . 点，分别为， 的中点， ， ， , 四边形 是平行四边形, , ． 17 （2）若 ，，，求 周长的一半． [答案] ，点是 的中点， , , , , ,即 周长的一半为8． 18 【思路点拨】 （1）猜测线段， 的数量关系是相等，位置关系是平行，再据此倒推. （2）根据直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形对角线的性质等，求 得 的长，即可得解. 【自主解答】 19 提分特训 1.[2024辽宁中考] 如图， 的对角线 ，相交于点，， ， 若，，则四边形 的周长 为( ) C A.4 B.6 C.8 D.16 20 2.[2024湖南中考] 如图，在四边形中， ,点 在边 上，_______. 请从“;, ”这两组条件中 任选一组 作为已知条件，填在横线上（填序号）,再解 决下列问题. （1）求证：四边形 为平行四边形； 21 [答案] 选择①. 证明： ， . 又 ， 四边形 为平行四边形. 选择②. 证明：， ， . 又 ， 四边形 为平行四边形. 22 （2）若,,,求线段 的长. [答案] 由（1）,得四边形 为平行四边形, . ， ， ． 23 命题角度2 与平行四边形的性质有关的计算 例2 一题多问 如图，在中,,交于点，, , . （1）的面积为_____， 的面积为_ ___. （2）的长为___，的长为_____,点到 的距离是_ ____. 24 （3）若点是的中点，连接交于点 . ① 的长为_ ___. [解析] ,,, .又 , . 25 ②若以点为原点建立平面直角坐标系，点的坐标为，则点 的坐标 为_ _________. [解析] 易知,，据此可求得直线的表达式为 . 易知,.由，可求得直线 的表达式为 .由解得故， . 26 例3 [2024山西中考改编] 如图,在中, 为对角线,于点,点是 延长线上一点, 且,线段,的延长线交于点 .若 ,,,则的长为__, 的长为_ ____. 27 [解析] 在中，，，可得 ， 四边形是平行四边形， ， ，.设 ，则 .在中，由勾股定理，得 ，即 ，解得，即 . 28 方法一：如图（1），过点作，交的延长线于点 ，则 ，，. ， .设，则， ， ，， . 图（1） 图（2） 29 方法二：如图（2），过点作交于点，则 ， ，， ， .，， ，即 , . 30 提分特训 3.[2024临沂中考] 如图,点为 的 对角线上一点,,,连接 并延长至点,使得,连接 ，则 为( ) B A. B.3 C. D.4 31 [解析] 如图，延长，相交于点 四边形 是平行四边形， ，即，，． ， ，，．又， ． ，，，， . ，，．又 ， ．故选B． 32 （第4题） 4.如图，在平面直角坐标系中，的顶点在 轴上，顶点，在轴上，顶点的坐标为 ， .以点为圆心，的长为半径作弧，交 于 点，再分别以点，为圆心，大于 的长为半 径作弧，两弧交于点，作射线交 的延长线于 点，则点 的纵坐标为_____. 33 [解析] 易得.由尺规作图可知，平分 ， ，， ， ，.分别过点,作 轴的垂线，垂足分别为 ,，则.易证，， ， 故点的纵坐标为 . 34 5.[2023新疆中考] 如图，在中，， ， ，是上一动点，将沿折叠得到，当点 恰好落在上时， 的长为_________． （第5题） 35 [解析] 方法一：在 中， .由折叠可知 ， ， ， ， ， .过点作交的延长线于点 ，如图. ， ， ， .在 中，由勾股定理，得 ， . 36 方法二：在中，， ， ，.由折叠可知 ， ，.过点作交的延长线于点 ， 如图. ， ， ，.在 中，由勾股定 理，得， . 37 （第6题） 6.如图，中， ， ， ，点在线段上，点在线段 上， 将沿折叠，点恰好与点 重合， 点的对应点为.当是以 为腰的等腰 三角形时， 的长为______________． 或 38 [解析] 分两种情况，①当 时， 如图（1），则 ， ， ， 当时，如图（2），则 ， ， ， ， . 39 7.如图，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在 上，与交于点．若，，，则 的长为__， 的长为__． （第7题） 40 [解析] 由旋转的性质，得, , ，, ， ,. ， ， 四边形 是平行 四边形，，, ， .又 ,,,三点共线，.如图，过点作 , 则 .又 , ,,. 易得 ,则 ,, . 41 一图串考法 42 考法 平行四边形的性质（8年6考） 1.[2024河南，6] 如图,在中,对角线, 相交于点,为的中点,交于点 .若 ,则 的长为( ) B A. B.1 C. D.2 [解析] 四边形是平行四边形， . 又为的中点，, ， ，，即， . 43 考法变式 2.如图，的对角线交于点，， 分别平分和，， ， 则 的长为( ) B A. B.1 C. D.2 44 [解析] 四边形 是平行四边形， ,， 分 别平分和 ， , , ， .如图， 延长交于点， ， , 点为的中点，.又点为 的中 点， . 45 3.[2023河南,23] 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用 整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师 在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． 46 （1）观察发现 如图（1），在平面直角坐标系中，过点的直线轴，作 关 于轴对称的图形，再分别作关于轴和直线 对称的图形 和，则可以看作是绕点 顺时针旋转得到 的，旋转角的度数为______；可以看作是 向右平移得到的， 平移距离为___个单位长度． 8 47 （2）探究迁移 如图（2），中，，为直线 下方一点， 作点关于直线的对称点，再分别作点关于直线和直线 的对称 点和，连接， ，请仅就图（2）的情形解决以下问题： ①若 ，请判断 与 的数量关系，并说明理由； 48 [答案] . 理由:如图（1）,连接,, . 图（1） 点与点关于直线 对称, 49 垂直平分,, . 同理可得 . ,, . 50 ②若，求， 两点间的距离． [答案] 如图（1）,过点作,垂足为 . 图（1） 在中, . 51 设与的交点为,连接交于点 . 点与点关于直线 对称, 垂直平分 . 由①知,垂直平分 . 在中, , 点在直线 上, ,， , . 52 （3）拓展应用 在（2）的条件下，若 ，， ，连接 ．当 与的边平行时，请直接写出 的长． [答案] 或 . 53 [解析] 解法提示：连接交于点，连接交于点，则点 为 的中点，点为 的中点. 连接,易知, ， . 当时，如图（2），易知直线过的中点， 点， 重合. 易知 ， ， ， ， . 54 图（2） 图（3） 当时，如图（3）， 同理可知点， 重合, . 综上可知，的长为或 . 55 $$