重点题型针对训练11解三角形——2025届高三数学三轮冲刺（天津适用）

重点题型针对训练---解三角形 1、 正余弦定理的直接应用或变形应用 例1：在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 变式训练： 1.在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 2.在中，内角所对的边分别为.已知，. （I）求的值； （II）求的值. 3.在中，内角所对的边分别为，已知， （1）求的值； （2）求的值. 4.在三角形中，角所对的边分别为.已知，，. (1)求边c的大小； (2)求的值； (3)求边的值. 例2：已知的内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求； (2)若，，求的面积． 变式训练： 1.在中，角、、所对的边为、、，已知. (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的周长. 2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，内角A，B，C成等差数列. (1)求a的值及的面积； (2)求的值. 3.在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 4.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 2、 正余弦定理与向量综合 例3：在中，角的对边分别为.设向量，，记. (1)求函数的最大值； (2)若，求的面积. 变式训练： 1.记的内角的对边分别为，若，，． (1)求； (2)若，求边上的高的最大值． 2.在中，角所对的边分别为，且，. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 3、 正余弦定理与三角函数图像和性质综合 例4：已知，，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，，且的面积为，求． 变式训练： 1.已知函数的最小正周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，角的对边分别为，，从下列①，②中任选一个作为条件，求的取值范围． 条件①：若的面积为，； 条件②：． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 2.记的内角的对边分别为，的面积为.已知. (1)求； (2)求函数在上的单调递增区间. 3.已知函数，设锐角三个角，，的对边分别为，，． (1)若，，，求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，，，求的取值范围． 4.已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且是偶函数. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)在中，角所对的边分别为，已知且，若是的中点，求的最大值. 5.已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点题型针对训练---解三角形 1、 正余弦定理的直接应用或变形应用 例1：在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 变式训练： 1.在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出； （3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出． 【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：； （2）由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． （3）由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 2.在中，内角所对的边分别为.已知，. （I）求的值； （II）求的值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【详解】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出， 进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果. 试题解析：（Ⅰ）解：由，及，得. 由，及余弦定理，得. （Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入，得. 由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.于是， ，故 . 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形 【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 3.在中，内角所对的边分别为，已知， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、余弦定理解三角形 【详解】试题分析：(1)解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化，本题可利用正弦定理将条件 化边： ，从而得到三边之间关系： ， ，再利用余弦定理求的值： (2)由（1）已知角A，所以先求出2A的正弦及余弦值，再结合两角差的余弦公式求解.在三角形ABC中，由，可得，于是， 所以 解(1) 在三角形ABC中，由及，可得又，有，所以 (2)在三角形ABC中，由，可得，于是， 所以 考点：正余弦定理 4.在三角形中，角所对的边分别为.已知，，. (1)求边c的大小； (2)求的值； (3)求边的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理解方程可得； （2）由余弦定理结合同角的三角函数关系可得； （3）由同角的三角函数，二倍角的正余弦公式以及两角差的余弦展开式计算可得. 【详解】（1）由已知， ，， ，解为； （2），又， 所以； （3），，， . 例2：已知的内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简得解； （2）由余弦定理及三角形面积公式计算得解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以，， 即． 因为，所以． 由于，所以． （2）由余弦定理， 得，解得或（舍去）． 所以， 所以的面积． 变式训练： 1.在中，角、、所对的边为、、，已知. (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值，即可求得该三角形的周长. 【详解】（1）由余弦定理可得，且，故. （2）由三角形的面积公式可得，可得， 由余弦定理可得，故， 因此，的周长为. 2.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，内角A，B，C成等差数列. (1)求a的值及的面积； (2)求的值. 【答案】(1)；； (2) 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、等差中项的应用 【分析】（1）由等差数列的中项性质及三角形内角和定理可得，利用余弦定理即可出a的值，再由三角形面积公式即可求解； （2）利用正弦定理求出，根据同角三角函数的商关系求出，然后根据二倍角公式即可得出，最后根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）由角A，B，C成等差数列，可得， 结合三角形内角和定理，可得， 由余弦定理 ，代入已知条件得： ，化简得， 解得，或（舍去），所以， 又因为，所以， 由三角形面积公式 ，得：. （2）利用正弦定理，可得， ，则角A为锐角， 所以， 所以，， 故. 3.在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为. 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择①，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； 【详解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 4.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 2、 正余弦定理与向量综合 例3：在中，角的对边分别为.设向量，，记. (1)求函数的最大值； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、数量积的坐标表示 【分析】（1）由数量积的定义、二倍角的正弦公式化简和辅助角公式，再由三角函数的性质即可得出答案； （2）法一：先求出，由两角和的余弦公式求出，由正弦定理求出，再由三角形的面积公式即可得出答案；法二：先求出，由两角差的余弦公式，二倍角公式化简可求得，由此可求出，再由正弦定理和三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】（1）因为， 所以 又因为，所以， 所以， 所以. （2）法一：由（1）知若， 因为，所以， 因为， 所以，因为， 由正弦定理知， 所以，所以， 所以. 解法二：由（1）知. 因为，所以， 因为，所以， ， ， ， ，所以 又因为，所以或， 由正弦定理知， 所以， . 变式训练： 1.记的内角的对边分别为，若，，． (1)求； (2)若，求边上的高的最大值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、三角形面积公式及其应用、由坐标解决线段平行和长度问题 【分析】（1）由向量平行的坐标表示得出，再根据余弦定理即可求解； （2）由及基本不等式得出，再根据等面积法即可求解． 【详解】（1）因为，所以，即， 由余弦定理得，因为， 所以． （2）由（1）得，即，当且仅当时，等号成立， 设边上的高为，则， 所以， 所以边上的高的最大值为1． 2.在中，角所对的边分别为，且，. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、向量垂直的坐标表示、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用建立关系式，通过正弦定理将边转化为角的正弦，再利用两角和与差的正弦化简整理得，从而求出角. （2）通过面积公式和余弦定理可以建立的关系式，解出的值即可求出的周长. 【详解】（1），， ，， ，， ，，. （2），， 又，或， . ， 所以的周长为. 3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】（1）先由题和正弦定理边化角并结合两角和正弦公式化简得，接着由正弦定理得到； （2）结合（1）及求出，接着由结合同角三角函数关系得出，最后应用面积公式求解. 【详解】（1）因为， 由题和正弦定理得， 所以， 所以，由正弦定理得； （2）由余弦定理且可知，， 因为，所以，所以，， 可知，所以，所以，所以， 所以的面积.3． 3、 正余弦定理与三角函数图像和性质综合 例4：已知，，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，，且的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的坐标表示、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由向量数量积的坐标表示及辅助角公式得到，再通过整体代入即可求解； （2）由（1）求得，再通过余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为 ， 所以． 由，得，， 所以的增区间为． （2）由，得， 因为，所以，所以，即， 因为，所以，因此， 又，所以， 即， 所以， 即． 变式训练： 1.已知函数的最小正周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，角的对边分别为，，从下列①，②中任选一个作为条件，求的取值范围． 条件①：若的面积为，； 条件②：． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．） 【答案】(1)，； (2). 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用正弦型函数的周期性求出参数，再利用正弦型函数的单调性求单调递增区间； （2）选①，利用三角形面积公式结合余弦定理求出角，再利用余弦定理结合基本不等式求范围；选②，利用正弦定理将边转化成角，结合三角恒等变换求出角，再利用余弦定理结合基本不等式求范围. 【详解】（1）由题意可知，解得，所以， 令，，可得，， 所以函数的单调递增区间为，． （2）选①，由，可得， 由余弦定理可得，，所以， 化简可得，即，因为，所以. 因为， 由余弦定理可得，，则，所以， 又因为，所以，即，解得， 又因为，所以． 所以的取值范围是. 选②，由，可得， 根据正弦定理，有， 因为, 所以， 化简得，又因为，所以，即， 因为，所以. 因为， 由余弦定理可得，，则，所以， 又因为，所以，即，解得，又因为，所以． 所以的取值范围是. 2.记的内角的对边分别为，的面积为.已知. (1)求； (2)求函数在上的单调递增区间. 【答案】(1) (2)和 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由三角函数的面积公式和余弦定理可得； （2）由三角恒等变换结合正弦函数的单调性可得. 【详解】（1）由， 由余弦定理，， 代入即得：，化简得： 因为，所以. （2） ， 由，解得， 又，所以或， 所以单调递增区间为和. 3.已知函数，设锐角三个角，，的对边分别为，，． (1)若，，，求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若，，，求的取值范围． 【答案】(1)，． (2)． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由二倍角和辅助角公式求得，再结合正、余弦定理即可求解； （2）根据图像变换确定，求出，然后得到，进而利用三角函数的性质可求解. 【详解】（1）． ，． 又，故， ，故． ，由正弦定理得． 又，由余弦定理得． ，． （2）由题意可知，． 且，． ． 为锐角三角形，, ， ，即的取值范围是． 4.已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且是偶函数. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)在中，角所对的边分别为，已知且，若是的中点，求的最大值. 【答案】(1)，. (2). 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）先由二倍角的正弦，降幂公式，辅助角公式，以及图象平移的性质得到，再由偶函数的性质求出表达式，然后整体代入求解正弦函数的单调递减区间即可； （2）先由正弦函数的最值求出，然后由余弦定理得到，最后再由向量的数量积和模长的计算求出. 【详解】（1）因为， 所以. 因为是偶函数， 所以. 又，所以， 所以. 因为， 所以的单调递减区间是. （2）因为， 所以，即. 又，所以， 所以，解得. 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以，则的最大值是. 5.已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$