14.3 角的平分线 第2课时 角的平分线的判定-课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

【R·数学八年级上册】 第2课时 角的平分线的判定 学习目标 探索并证明角的平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，感受互逆的数学思想，发展学生的推理能力和解题能力. 情境导入 如图，要在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处 500 m. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置)？ 即求：∠AOB 内是否存在一点到 OA、OB 的距离相等，且距离 O 点 500 m. 转化 A O B 0 200m 探究新知 交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等” 这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？ 知识点1 角的平分线的判定 C A B O D E P 猜想：到角两边距离相等的点一定在角的平分线上 已知： 角的内部的一个点到这个角两边的距离相等. 求证： 验证 这个点在这个角的平分线上. 知识点1 角的平分线的判定 如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 可以通过添加辅助线，构造三角形来证明. A B O D E P C 知识点1 角的平分线的判定 证明：如图，经过点 P 作射线 OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中， OP = OP， PD = PE， ∴ △OPD ≌ △OPE（HL） ∴∠AOC =∠BOC A B O D E P C ∴点 P 在∠AOB 的平分线上. 如图，∵P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 角的平分线的判定定理 知识点2 角的平分线的性质 几何语言： A B O D E P C 位置关系 数量关系 归纳总结 所有到角两边距离相等的点组成这个角的平分线 1 角的平分线的性质及判定的关系 点在角的平分线上 角的内部，点到角两边距离相等 性质 判定 2 角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 针对训练 1. 导入问题：在 S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路交叉处 500 m. 这个集贸市场应建于何处？ 0 200m 答：集贸市场应建在 S 区内，公路和铁路夹角的平分线上，具体位置如图中点 P 所示. P 针对训练 2. 如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为 B，E，AB = CE，AB，CE 相交于点 F，连接 DF. 求证：FD 平分∠BFE. 教材P51练习 第1题 C A B D E F 针对训练 教材P51练习 第1题 C A B D E F 证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD =∠CED = 90°. 在△ABD 和△CED 中， ∠ADB =∠CDE， ∠ABD =∠CED， AB = CE， ∴△ABD ≌△CED（AAS） ∴BD = ED. 又 AB⊥CD，CE⊥AD， ∴FD 平分∠BFE. 知识点2 三角形三条角平分线的关系 例 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证： 点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等； △ABC 的三条角平分线交于一点. C A B M N P 点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等 要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上． C A B M N P 教材P51 例题 证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F. ∵BM 是△ABC 的角平分线， 点 P 在 BM 上， ∴PD = PE. 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 . E F D C A B M N P 教材P51 例题 (2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 . E F D 知识点2 三角形三条角平分线的关系 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边的距离相等. 三角形内部到三边距离相等的点是 三条角平分线的交点. 拓展探究 到三角形三边所在直线距离相等的点一共有几个？ 4个 P1 P4 P2 P3 三角形三个内角的平分线的交点 P1； 三角形一个内角与另外两个角的外角的平分线的交点 P2，P3，P4. 针对训练 教材P51练习 第2题 如图，已知△ABC ，BF 是△ABC的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P. 求证： 点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等； 点 P 在∠A 的平分线上. C A B D E F G P 针对训练 教材P51练习 第2题 C A B D E F G P J I H 证明：(1) 如图，过点 P 分别作 PJ，PI，PH 垂直于三边 AB，BC，AC 所在的直线，垂足分别为 J，I，H. ∵BF 是∠CBD 的平分线，点 P 在 BF 上，∴PI = PJ. 同理，PH = PI， ∴PJ = PI = PH， 即点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等. 针对训练 教材P51练习 第2题 C A B D E F G P J I H (2) 由(1)知 PH⊥AE，PJ⊥AD，且 PH = PJ， ∴点 P 在∠A 的平分线上. 提炼归纳 角平分线的性质 角平分线的判定 图示 已知条件 结论 OP 平分∠AOB PD⊥OA于点 D PE⊥OB于点 E PD = PE PD⊥OA 于点D PE⊥OB 于点E PD = PE OP 平分∠AOB 随堂演练 1. 两块完全一样的直角三角板按如图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边分别在△ABC 的边 AB，AC 上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，则点 M 一定（ ） 在∠A 的平分线上 在 AC 边的高上 在 AB 边的中线上 以上都正确 A 随堂演练 2. 如图，O 是△ABC 内一点，且点 O 到三边 AB，AC，BC 的距离相等，即 OF = OE = OD，若∠BAC = 100°，则∠BOC 的度数是（ ） A A. 140° B. 130° C. 120° D. 110° B A C O D F E 随堂演练 3. 如图，△ABC 的三边 AB，AC，BC 的长分别是 5，7，9，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则 S△OAB : S△OAC : S△OBC =________. 5：7：9 B A C O 随堂演练 4. 如图，点 D 在边 BC 的延长线上，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，过点 E 作 EH⊥BD 于点 H，∠CEH = 62°，∠ACE = 28°. 求证：AE 平分∠CAF. B A C D F E H ∵ BE 平分∠ABC，∴EM = EH. ∵∠ACE = 28°，∠CEH = 62°， ∴∠HCE = 90° –∠CEH = 90° – 62° = 28° =∠ACE. ∴ EN = EH. ∴ EM = EN， ∴ AE 平分∠CAF． 证明：如图，过点 E 作 EM⊥BF 于点 M， EN⊥AC 于点 N. 随堂演练 B A C D F E H N M 课堂小结 角平分线的判定 内容 作用 结论 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 三角形的三条内角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等 判断一个点是否在角的平分线上 $$