14.3 角的平分线 第1课时 角的平分线的性质-课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

这是一个针形，这两条边是相等的，另外的两条边也相等。中间的话是用了一个稍有弹性的绳子穿过来。那么在使用这个仪器之前，我会用粉笔将这个细绳进行一个涂抹。等一下我会说一下为什么这样去做。接下来我们去画角ABC的角平分线，先让我们这个仪器的这个端点和B点重合。因为我们这个仪器的话是贴有磁铁的，所以的话我们可以吸附在黑板上。接下来我们使得这条边和这条边与我们的ABBC重合。为了让我们的误差尽可能的小，所以的话我们尽量使得这个螺钉所在的位置在我们射线BC上，这颗螺钉所在的位置在射线BA上，我们再进行一个轻微的调整。好，接下来我们将这根绳子拉直。如果这个时候我们沿着这条红线画出一条射线的话，因为这根绳子是柔软的，所以不方便。那么就提到了我们之前所讲的当我在这根红线上抹上了白色粉笔以后，接下来我只要拉动这根红绳，在我们的黑板上留下了一条痕迹，那么这个痕迹所在的射线就是我们的角平分线。当然原理的话也非常简单，这两条边相等，这两条边也相等，中间有一条公共边，所以我们这两个三角形是全等的那自然我们得到这两个角就相等。这条射线的话就是我们要的角平分线。接下来我们把教具取下来连起来，那么这条射线BD就是我们要求的角ABC的角平分线。 【R·数学八年级上册】 第1课时 角的平分线的性质 14.3 角的平分线 学习目标 理解角的平分线的概念，探索并证明角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 并能运用这个定理解决相关问题，培养学生观察、归纳及动手能力，发展学生的推理能力. 能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析与作图能力. 回顾导入 我们学过的角的平分线的概念是什么？ 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 几何语言： 所以 OB 平分∠AOC. 如图，因为 回顾导入 在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 方法一：用量角器度量 方法二：用折纸的方法 在黑板上画一个角，还能用对折的方法得到这个角的平分线吗？ 方法三：用角平分仪 探究新知 角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的. 我们先来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系. 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，我们研究 PM 与 PN 的关系. C A B O M N P 知识点1 角的平分线的作法 研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 图中当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN？ 知识点1 角的平分线的作法 C A B O M N P OP = OP，∠POM =∠PON， 在△OPM 和△OPN 中， 如果 OM = ON，那么△OPM ≌△OPN(SAS)， 就有 PM = PN. 反过来，如图，M，N 分别是∠AOB 的边 OA，OB 上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN. 连接 OP. 知识点1 角的平分线的作法 A B O M N OP = OP，OM = ON，PM = PN， 在△OPM 和△OPN 中， ∴△OPM ≌△OPN(SSS)，就有 ∠POM =∠PON. P 即点 P 在∠AOB 的平分线上. 知识点1 角的平分线的作法 思 考 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？ 1 先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点. 2 在角的内部作出与这两点距离相等的点. 3 以角的顶点为端点，作过这个点的射线. 作法：如图，已知∠AOB. (1) 以点 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N. 知识点1 角的平分线的作法 A B O (2) 分别以点 M，N 为圆心，大于 MN的长为半径作弧（想一想为什么），两弧在∠AOB 的内部相交于点 C. M N C (3) 作射线 OC. 射线 OC 即为∠AOB 的平分线. A B O M N 为什么以大于 MN的长为半径作弧： 知识点1 角的平分线的作法 以小于 MN的长为半径，两弧无交点； 以等于 MN的长为半径，不易操作. 针对训练 已知：平角∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. A B O 【结论】作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 知识点2 角的平分线的性质 探究 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、 P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3 ······，你有什么发现？ C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，P3D3 = P3E3······ 猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等 已知： 一个点在一个角的平分线上. 求证： 验证 这个点到这个角两边的距离相等. 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D E P 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE. 可以通过证明△OPD≌△OPE得到 PD = PE. 知识点2 角的平分线的性质 C A B O D E P 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△OPD 和△OPE 中， ∠AOC = ∠BOC ， ∠PDO = ∠PEO ， OP = OP ， ∴ △OPD ≌ △OPE（AAS） ∴PD = PE 提炼归纳：证明几何命题的一般步骤 1. 明确命题中的已知和求证； 2. 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3. 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 必要时先将命题改写成“如果···那么···”的形式 注意可能存在不同情形 如图，∵OC 是∠AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD⊥OA 于点 D， PE⊥OB 于点 E， ∴PD = PE. 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的平分线的性质 C A B O D E P 知识点2 角的平分线的性质 几何语言： 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 知识点2 角的平分线的性质 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 针对训练 1. 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4，则 PE = ______. 4 M B C A D E P 针对训练 2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC = 8，则点 P 到 AB 的距离为______. 8 A C P B 随堂演练 1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，S△ABC = 7，DE = 2，AB = 4，则 AC 的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 D A C D B E 随堂演练 2. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E、F， DE = DF，∠EDB = 60°，则∠EBF =______°，BE =_______. 60 BF G C A D E B F 随堂演练 教材P50练习 第1题 3. 如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在∠AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等. 解：如图所示： 作∠AOB 的平分线与 MN 交于点 P，点 P 即为所求. A B O N M P 随堂演练 教材P50练习 第2题 4. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 点 F，G 分别在 OA，O B上，DF = EG，连接 PF，PG. 求证 PF = PG. C A B O G F D E P 在 △DPF 和 △EPG 中， 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD = PE，∠PDF = ∠PEG = 90°. PD = PE， ∠PDF = ∠PEG， DF = EG， ∴△DPF≌△EPG（SAS）. ∴PF =PG. 随堂演练 教材P50练习 第2题 C A B O G F D E P 随堂演练 5. 如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E．若△ABC 的面积为 70，AB = 16，DE = 5，求 BC 的长． C A B D E 解：如图，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F. ∵BD 是△ABC 的角平分线， DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF = DE = 5． ∵S△ABD = AB·DE = ×16×5 = 40， S△ABC = 70， ∴S△BCD = S△ABC – S△ABD = 70 – 40 = 30． 又S△BCD = BC·DF = BC×5 = 30，∴ BC = 12． 随堂演练 C A B D E F 课堂小结 角平分线 尺规作图 性质 添加 辅助线 依据：SSS 一个点： 二距离： 两相等： 角平分线上的点 点到角两边的距离 两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 $$